Cette thèse s’inscrit dans l’étude des catégories d’algèbres associées aux opérades. On développe des outils d’algèbre homologique et une méthode générale de classification (à homotopie près) des morphismes entre algèbres sur une opérade.La dualité de Koszul des opérades, introduite par V. Ginzburg et M. Kapranov, permet de construire des théories homologiques appropriées pour des catégories d’algèbres associées à certaines bonnes opérades – les opérades de Koszul. On donne dans la première partie de cette thèse un critère effectif pour qu’une opérade soit de Koszul : on montre qu’une opérade, linéairement engendrée par une base, est de Koszul dès lors que l’on peut ordonner sa base de façon compatible avec la structure de composition opéradique – on parle alors d’opérade de Poincaré-Birkhoff-Witt.La théorie originale de Ginzburg-Kapranov s’applique en caractéristique nulle seulement. On construit une théorie homologique adaptée - la Gamma-homologie - pour l’étude des catégories d’algèbres différentielles graduées associées à une opérade de Koszul en toute caractéristique. Cette théorie généralise la Gamma-homologie définie par A. Robinson et S. Whitehouse pour la catégorie des algèbres commutatives.On montre que la Gamma-homologie opéradique contient l’obstruction à la réalisation de morphismes entre algèbres sur une opérade, ainsi que l’obstruction à la réalisation d’homotopies entre morphismes, et donne de la sorte un outil général pour classifier les morphismes entre algèbres sur une opérade. / This thesis is concerned with the study of categories of algebras associated to operads. We develop tools of homological algebra and a general method to classify morphisms in the homotopy category of algebras over an operad.The Koszul duality of operads, introduced by V. Ginzburg and M. Kapranov, allows us to construct suitable homology theories for categories of algebras associated to some good operads – the Koszul operads. We give in the first part of this thesis an effective criterion to prove that an operad is Kozul : we show that an operad, linearly generated by a basis, is Koszul as soon as we can order its basis compatibly with the operadic composition structure – we call such operads Poincaré-Birkhoff-Witt operads.The original theory of Ginzburg and Kapranov works in characteristic zero only. We construct a homology theory - the Gamma-homology - for the study of the categories of the differential graded algebras associated to a Koszul operad in any characteristic. This theory generalizes the Gamma-homology introduced by A. Robinson and S. Whitehouse for the category of commutative algebras.We show that our Gamma-homology contains the obstruction to the realization of morphisms between algebras over an operad, and also the obstruction to the realization of homotopies between morphisms. We obtain in this way a general tool to classify morphisms between algebras over an operad.

Nous explicitons la cohomologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérade à l'aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s'écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c'est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotopique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D'un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour coder le défaut d'augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D'un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul.

Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

Nous généralisons la dualité de Koszul des algèbres et des opérades aux PROPs. Alors que les opérades sont des objets algébriques qui représentent les opérations à plusieurs entrées et une seule sortie sur les différents types d'algèbres, les PROPs modélisent les opérations à plusieurs entrées et plusieurs sorties agissant sur des structures algébriques telles que les bigèbres et les bigèbres de Lie. Nous introduisons un nouveau produit monoidal qui décrit les compositions entre ces opérations et nous restreignons notre étude à la partie connexe de chaque PROP, que nous appelons "propérade", par analogie avec les opérades. Nous généralisons aux propéades les différents objets homologiques associés aux algèbres et aux opérades comme les bar et cobar constructions, les modules et les propérades quasi-libres. Pour une propérade (resp. un PROP) donnée, nous construisons une copropérade (resp. un coPROP) dual ainsi qu'un complexe de Koszul dont l'acyclicité est un critère qui permet de déterminer si la cobar construction fournit une résolution quasi-libre, appelée modèle minimal, de la propérade (resp. du PROP) de départ. Pour démontrer ce théorème, nous introduisons une graduation supplémentaire qui provient ici des différents foncteurs analytiques engendrés par le produit monoidal. Cette théorie nous permet de définir des notions de "bigèbres" à homotopie près, sur un PROP de Koszul. Cette notion est l'équivalente au niveau des "bigèbres" de celle d'algèbre à homotpie près, qui est très importante en topologie algèbrique.

Dans cette thèse, nous démontrons de nouvelles propriétés algébriques et homotpiques des opérades : probème du scindage des opérations et dualité de Koszul sur une algbre de Hopf. Dans une première partie, nous fournissons une construction opéradique qui donne un cadre général répondant au problème du scindage des opérations définissant des structures algébriques. Nous montrons que cette construction est équivalente au produit noir de Manin et qu'elle est reliée aux opérateurs de Rota-Baxter. Nous obtenons ainsi une méthode plus efficace pour calculer des produits noirs de Manin, illustrée par plusieurs exemples. Ceci nous permet de décrire une structure algébrique canonique sur l'espace des matrices carrées à coefficients dans une algèbre sur un certain type d'opérades. Dans une seconde partie, nous étendons la dualité de Koszul classique de opérades aux catégories de modules sur une algèbre de Hopf. Ceci nous permet d'obtenir une nouvelle version optimale du théorème de transfert homotopique. Dans ce cas, nous pouvons décrire la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky, par exemple, transférée à travers une équivalence d'homotopie lorsqu'il y a compatibilité entre les données homotopique et algébrique.

Nous introduisons les notions de forêts préordonnées et préordonnées en tas, généralisant les constructions des forêts ordonnées et ordonnées en tas. On démontre que les algèbres des forêts préordonnées et préordonnées en tas sont des algèbres de Hopf pour le coproduit de coupes et on construit un morphisme d'algèbres de Hopf dans l'algèbre des mots tassés. Ensuite, nous définissons un autre coproduit sur les forêts préordonnées donné par la contraction d'arêtes et nous donnons une description combinatoire de morphismes définis sur des algèbres de Hopf de forêts et à valeurs dans les algèbres de Hopf de battages et de battages contractants. Par ailleurs, nous introduisons la notion d'algèbre bigreffe, généralisant les notions d'algèbres de greffes à gauche et à droite. Nous décrivons l'algèbre bigreffe libre engendrée par un générateur et nous munissons cette algèbre d'une structure d'algèbre de Hopf et d'un couplage. Nous étudions ensuite le dual de Koszul de l'operade bigreffe et nous donnons une description combinatoire de l'algèbre bigreffe dual engendrée par un générateur. A l'aide d'une méthode de réécriture, nous prouvons que l'opérade bigreffe est Koszul. Nous définissons la notion de bialgèbre bigreffe infinitésimale et nous prouvons un analogue des théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt et de Cartier-Milnor-Moore pour les bialgèbres bigreffe infinitésimales connexes. Pour finir, à partir de deux opérateurs de greffes, nous construisons des algèbres de Hopf d'arbres enracinés et ordonnés $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ et $ mathbf{B} $ vérifiant les relations d'inclusions $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. On munit $ mathbf{B} $ d'une structure de bialgèbre dupliciale dendriforme et on en déduit que $ mathbf{B} $ est colibre et auto-duale. Nous démontrons que $ mathbf{B} $ est engendrée comme algèbre bigreffe par un générateur. / We introduce the notions of preordered and heap-preordered forests, generalizing the construction of ordered and heap-ordered forests. We prove that the algebras of preordered and heap-preordered forests are Hopf for the cut coproduct, and we construct a Hopf morphism to the Hopf algebra of packed words. In addition, we define another coproduct on the preordered forests given by the contraction of edges, and we give a combinatorial description of morphims defined on Hopf algebras of forests with values in the Hopf algebras of shuffes or quasi-shuffles. Moreover, we introduce the notion of bigraft algebra, generalizing the notions of left and right graft algebras. We describe the free bigraft algebra generated by one generator and we endow this algebra with a Hopf algebra structure, and a pairing. Next, we study the Koszul dual of the bigraft operad and we give a combinatorial description of the free dual bigraft algebra generated by one generator. With the help of a rewriting method, we prove that the bigraft operad is Koszul. We define the notion of infinitesimal bigraft bialgebra and we prove an analogue of Poincaré-Birkhoff-Witt and Cartier-Milnor-Moore theorems for connected infinitesimal bigraft bialgebras. Finally, with two grafting operators, we construct Hopf algebras of rooted and ordered trees $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ and $ mathbf{B} $ satisfying the inclusion relations $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. We endow $ mathbf{B} $ with a structure of duplicial dendriform bialgebra and we deduce that $ mathbf{B} $ is cofree and self-dual. We prove that $ mathbf{B} $ is generated as bigraft algebra by one generator.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés homotopiques des algèbres sur une opérade, desopérades elles-mêmes et des opérades colorées, dans le monde des complexes de chaînes. Nousintroduisons une nouvelle adjonction bar-cobar entre les opérades unitaires et les coopéradesconilpotentes courbées. Ceci nous permet de munir ces dernières d'une structure de modèles induite parla structure projective des opérades le long de cette adjonction, qui devient alors une équivalence deQuillen. Ce résultat permet de passer, sans perte d'information homotopique, dans le monde descoopérades qui est plus puissant : on peut y décrire, par exemple, les objets fibrants-cofibrants en termesd'opérades à homotopie près. Nous appliquons ensuite la même stratégie aux algèbres sur une opérade.Pour cela, on munit la catégorie des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure demodèles induite par celle de la catégorie des algèbres d'origine le long de leur adjonction bar-cobar, quidevient une équivalence de Quillen. Cela nous permet de décrire explicitement pour la première fois despropriétés homotopique des algèbres sur une opérade non nécessairement augmentée. Dans unedernière partie, nous introduisons la notion d'opérade colorée à homotopie près que nous arrivons àcomparer aux infinies-opérades de Moerdijk--Weiss au moyen d'un foncteur : le nerf dendroidal. Nousmontrons qu'il étend des constructions dues à Lurie et à Faonte et nous étudions ses propriétéshomotopiques. En particulier, sa restriction aux opérades colorées est un foncteur de Quillen à droite.Tout ceci permet de relier explicitement deux mondes des opérades supérieures / This thesis deals with the homotopical properties of algebras over an operad, of operads themselves andof colored operads, in the framework of chain complexes. We introduce a new bar-cobar adjunctionbetween unital operads and curved conilpotent cooperads. This allows us to endow the latter with aDépôt de thèseDonnées complémentairesmodel structure induced by the projective model structure on operads along this adjunction, which thenbecomes a Quillen-equivalence. This result allows us to study the homotopy theory of operads in theworld of cooperads which is more powerful: for instance, fibrant-cofibrant objects can be described interms of operads up to homotopy. We then apply the same strategy to algebras over an operad. Morespecifically, we endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad with a model structureinduced by that of the category of algebras along their bar-cobar adjunction, which becomes a Quillenequivalence.This allows us to describe explicitly for the first time some homotopy properties of algebrasover a not necessarily augmented operad. In the last part, we introduce the notion of homotopy coloredoperad that we compare to Moerdijk--Weiss' infinity-operads by means of a functor: the dendroidalnerve. We show that it extends existing constructions due to Lurie and Faonte and we study itshomotopical properties. In particular, we show that its restriction to colored operads is a right Quillenfunctor. All this allows us to connect explicitly two different worlds of higher operads

On construit et étudie la généralisation des algèbres double Poisson décalées à toute catégorie monoïdale symétrique additive. On s’intéresse notamment aux algèbres double Poisson linéaires et quadratiques. Dans un second temps, on étudie la koszulité des propérades DLie et DPois = As ⮽c DLie qui encodent respectivement les algèbres double Lie et les algèbres doubles Poisson. On associe à chacune de ces propérades, un S-module muni d’une structure de monoïde pour un nouveau produit monoïdal dit de composition connexe : on appelle de tels monoïdes protopérades. On montre notamment l’existence, pour toutS-module, d’une protopérade libre associée et l’on explicite la combinatoire sous-jacente en terme de briques et de murs. On définit une adjonction bar-cobar, une dualité de Koszul et une notion de base PBW pour les protopérades. On présente également une tentative de théorème PBW à la Hoffbeck pour les protopérades, de laquelle on déduit la koszulité de la diopérade associée à la propérade DLie. / We construct and study the generalization of shifted double Poisson algebras to all additive symmetric monoidal categories. We are especially interested in linear and quadratic double Poisson algebras. We then study the koszulity of the properads DLie and DPois = As ⮽c DLie which encode double Lie algebras and double Poisson algebras respectively. We associate to each, a S-module with a monoidal structure for a new monoïdal product call the connected composition product : we call such monoids protoperads. We show, for any S-module, the existence of the associated free protoperad and we make explicit the underlying combinatorics. We define a bar-cobar adjunction, the notion of Koszul duality and PBW bases for protoperads. We present an attempt of prove a PBW theorem à la Hoffbeck for protoperads, and prove the koszulity of the dioperad associated to the properad DLie.