For sequences of related linear systems, the computation of a preconditioner for every system can be expensive. Often a fixed preconditioner is used, but this may not be effective as the matrix changes. This research examines the benefits of both reusing and recycling preconditioners, with special focus on ILUTP and factorized sparse approximate inverses and proposes an update that we refer to as a sparse approximate map or SAM update. Analysis of the residual and eigenvalues of the map will be provided. Applications include the Quantum Monte Carlo method, model reduction, oscillatory hydraulic tomography, diffuse optical tomography, and Helmholtz-type problems. / Master of Science

Nous développons des algorithmes parallèles pour la résolution de problèmes non-linéaires de grande taille. Les cadres d'application sont la simulation de matériaux hyperélastiques incompressibles en grandes déformations et l'étude des milieux poreux, dont les modélisations choisies font apparaître des inconnues en déplacement et en pression.<br /><br />Nous retenons une stratégie éléments-finis associée à un solveur Newton-Raphson et une décomposition de domaine sans recouvrement combinée à un solveur de Krylov. <br /><br />Nous proposons des améliorations pour adapter ces approches à nos problèmes, puis pour des cas plus exigeants nous définissons une nouvelle approche de décomposition de domaine, appelée approche hybride, permettant de mieux respecter la physique des phénomènes et unifiant les approches classiques. Nous proposons également des stratégies d'accélération du processus non-linéaire. Enfin un cadre orienté objet est exposé pour la mise en oeuvre de l'ensemble des méthodes proposées.

Advances in numerical optimization have raised the possibility that efficient and novel aircraft configurations may be ``discovered'' by an algorithm. To begin exploring this possibility, a fast and robust set of tools for aerodynamic shape optimization is developed. Parameterization and mesh-movement are integrated to accommodate large changes in the geometry. This integrated approach uses a coarse B-spline control grid to represent the geometry and move the computational mesh; consequently, the mesh-movement algorithm is two to three orders faster than a node-based linear elasticity approach, without compromising mesh quality. Aerodynamic analysis is performed using a flow solver for the Euler equations. The governing equations are discretized using summation-by-parts finite-difference operators and simultaneous approximation terms, which permit nonsmooth mesh continuity at block interfaces. The discretization results in a set of nonlinear algebraic equations, which are solved using an efficient parallel Newton-Krylov-Schur strategy. A gradient-based optimization algorithm is adopted. The gradient is evaluated using adjoint variables for the flow and mesh equations in a sequential approach. The flow adjoint equations are solved using a novel variant of the Krylov solver GCROT. This variant of GCROT is flexible to take advantage of non-stationary preconditioners and is shown to outperform restarted flexible GMRES. The aerodynamic optimizer is applied to several studies of induced-drag minimization. An elliptical lift distribution is recovered by varying spanwise twist, thereby validating the algorithm. Planform optimization based on the Euler equations produces a nonelliptical lift distribution, in contrast with the predictions of lifting-line theory. A study of spanwise vertical shape optimization confirms that a winglet-up configuration is more efficient than a winglet-down configuration. A split-tip geometry is used to explore nonlinear wake-wing interactions: the optimized split-tip demonstrates a significant reduction in induced drag relative to a single-tip wing. Finally, the optimal spanwise loading for a box-wing configuration is investigated.

L'objectif de cette thèse est d'examiner comment les technologies orientées-objet peuvent apporter aux applications scientifiques tout ce qu'elles ont apporté dans la programmation des machines séquentielles: une meilleure réutilisabilité et pérennité des codes, des démarches méthodologiques de conception et de réalisation claires... La contrainte du calcul scientifique parallèle de ne pas sacrifier les performances devant être respectée.<br /><br />Après une revue des moyens de programmation parallèle et des<br />concepts objets, la conception et la réalisation d'une bibliothèque parallèle d'algèbre linéaire orientée-objet sont présentées. Nous étudions deux moyens de programmation parallèle, le premier, C++//, est un LAO parallèle à objets actifs dérivé de C++, le second est l'utilisation de MPI au travers d'une surcouche objet minimale.<br />Ces deux approches objets posent des problèmes soit de performances soit de réutilisabilité séquentielle/parallèle qui sont présentés et résolus.<br /><br />Nous proposons notamment un mécanisme simple de partage en lecture pour les modèles à objets actifs, en montrant son utilité en terme de performances de nos applications. Suite à la seconde approche nous définissons les notions de formes de matrices et de matrices avec forme qui permettent d'atteindre nos objectifs de réutilisabilité séquentielle/parallèle.<br /><br />Au final, la conception et la réalisation permettent d'instancier, à partir du même code [séquentiel] d'algèbre linéaire, une version séquentielle et parallèle offrant des performances satisfaisantes.

Le point de départ de cette thèse est un problème posé par le groupe électromagnétisme de EADS-CCR : comment résoudre plusieurs systèmes linéaires avec la même matrice mais différents seconds membres ? Pour l'application voulue, les matrices sont complexes, denses et de grande taille. Un problème standard comporte environ quelques millions d'inconnues. Comme de telles matrices ne peuvent être ni calculées, ni stockées dans un processus industriel, l'utilisation d'un produit matrice-vecteur approché est la seule alternative. En l'occurrence, le produit matrice-vecteur est effectué en utilisant la méthode multipôle rapide. Dans ce contexte, le but de cette thèse est d'adapter les méthodes itératives de type Krylov de telle sorte qu'elles traitent efficacement les nombreux seconds membres. Des travaux préliminaires avec un seul second membre ont montré que la méthode GMRES est particulièrement efficace et robuste pour cette application. En conséquence dans cette thèse nous abordons uniquement les variantes de GMRES. Les schémas d'orthogonalisation que nous avons implantés dans GMRES sont des variantes de l'algorithme de Gram-Schmidt. <br /><br />Dans une première partie, nous nous intéressons à l'influence des erreurs d'arrondi dans les algorithmes de Gram-Schmidt. Nos résultats répondent à des questions vieilles de vingt-cinq ans. Nous donnons l'explication théorique de ce qui était communément observé et accepté : <br /><br /> - l'algorithme de Gram-Schmidt modifié génère un ensemble de vecteurs bien conditionné ;<br /> - l'algorithme de Gram-Schmidt itéré deux fois fabrique un ensemble de vecteurs orthonormé.<br /><br />Ces deux propositions reposent sur l'hypothèse que la matrice de départ est "numériquement non singulière" en un sens qui est clairement défini. D'autre part, quand l'algorithme de Gram-Schmidt est itéré avec un critère de réorthogonalisation, nous proposons un nouveau critère. Nous montrons que l'algorithme obtenu est robuste alors que le critère communément utilisé est mis en défaut dans certains cas. Finalement, nous généralisons des résultats standards sur les normes en terme de valeurs singulières pour l'algorithme de Gram-Schmidt modifié. Ceci nous permet de dériver un schéma de réorthogonalisation a posteriori utilisant une matrice de rang faible. Ces résultats ont plusieurs applications directes. Nous en donnons des exemples avec les méthodes de Krylov pour résoudre des problèmes linéaires avec plusieurs seconds membres.<br /><br />Dans la deuxième partie, nous avons implémenté des variantes de la méthode GMRES pour les arithmétiques réelle et complexe, simple et double précisions. Cette implémentation convient pour des ordinateurs classiques, à mémoire partagée ou distribuée. Le code en résultant satisfait aux critères de qualité des librairies standards et son implémentation est largement détaillée. Pour des besoins de simplicité, flexibilité et efficacité, les solveurs utilisent un mécanisme de reverse communication pour les produits matrice-vecteur, les étapes de préconditionnement et les produits scalaires. Différents schémas d'orthogonalisation sont implémentés pour réduire le coût de calcul des produits scalaires, un point particulièrement important pour l'efficacité des méthodes de Krylov dans un environnement parallèle distribué. Le critère d'arrêt implémenté est basé sur l'erreur inverse normalisée. Les variantes disponibles sont GMRES-DR, seed-GMRES et block-GMRES. Ces codes s'ajoutent aux variantes déjà existantes (GMRES, flexible GMRES et SQMR). Un produit matrice-vecteur avec une décomposition LU est utilisé dans GMRES-DR de telle sorte que le stockage des approximations des vecteurs propres se fasse sur les premiers vecteurs de l'espace de Krylov. Un restart implicite et une étape de préconditionnement implicite ont été implémentés dans seed-GMRES. Nous supprimons ainsi un produit matrice-vecteur et une étape de préconditionnement par second membre et par cycle de GMRES. La version de block-GMRES permet à l'utilisateur de sélectionner différents modes de déflation. Pour terminer, des résultats reliant la norme du résidu de GMRES à la plus petite valeur singulière de l'espace construit par la méthode de Krylov ont été généralisés à la méthode block-GMRES.<br /><br />La troisième partie est consacrée à l'amélioration des techniques standards pour la résolution des systèmes linéaires dans le cadre des problèmes électromagnétiques. Après une présentation approfondie du code, nous étudions l'influence de la non-symétrie sur la convergence de l'algorithme SQMR. Nous étudions aussi le comportement de GMRES-DR sur nos problèmes. Ceci correspond à deux méthodes avec un seul second membre, le reste de cette partie concerne les cas comportant plusieurs seconds membres. Tout d'abord, nous examinons en détail les techniques qui permettent d'adapter les méthodes utilisées pour un second membre unique aux cas comportant plusieurs seconds membres. Par exemple, on peut améliorer la qualité du préconditionneur, avoir une stratégie de solution initiale, grouper les opérations de plusieurs résolutions ou encore paralléliser plusieurs résolutions. Dans le contexte du calcul de surface équivalente radar monostatique, nous avons montré que l'espace des seconds membres du problème continu était de dimension finie. La dimension donnée par notre théorie est proche de celle que nous observons en pratique. Cette propriété nous permet de réduire considérablement le nombre de systèmes linéaires à résoudre. Dans ce contexte, une version de la méthode block-GMRES est donnée. Ensuite, nous abordons certains problèmes spécifiques des méthodes seed-GMRES et block-GMRES pour lesquels nous proposons des solutions. Pour finir, des résultats plus prospectifs sont donnés. Plusieurs stratégies pour extraire et ajouter de l'information spectrale d'un cycle de GMRES à l'autre sont proposées et comparées. Puis nous utilisons le fait que la méthode multipôle rapide est un produit matrice-vecteur inexact dont la précision est réglable. Moins précis est le produit matrice-vecteur, plus rapide il est. Nous montrons comment tirer partie de cette propriété en utilisant un schéma relâché (méthode de Krylov inexacte) ou des itérations emboîtées (flexible GMRES). Enfin, le critère d'arrêt basé sur l'erreur inverse normalisée dans le cadre du calcul d'une surface équivalente radar est remis en question.

La première partie est consacrée à la résolution de systèmes linéaires. Le chapitre 1 expose des résultats théoriques et numériques sur les méthodes proposées par Altman et précise le lien avec les méthodes de Krylov. Le chapitre 2 utilise des techniques d'extrapolation introduites par Brezinski pour obtenir une estimation du vecteur erreur. Plusieurs méthodes de projection sont retrouvées et de nouvelles procédures d'accélération données. Dans la deuxième partie, une nouvelle stratégie inspirée de la méthode de Cauchy-Barzilai-Borwein permet de définir de nouveaux schémas résolvant des problèmes de point fixe. Des résultats numériques sur un problème de bifurcation et un théorème de convergence sont donnés. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'accélération de l'algorithme EM utilisé pour calculer des estimateurs du maximum de vraisemblance. Une classe de schémas itératifs basés sur la stratégie précédente est présentée, un théorème de convergence et une application à un problème de tomographie sont donnés. La dernière partie, fruit d'un projet du cemracs 2003, traite d'un problème issu de la physique des plasmas : l'amélioration des Codes Particles in Cell à l'aide d'une reconstruction de la densité basée sur une méthode d'ondelettes et sa validation numérique.

Dans certains regimes hypersoniques, le rayonnement peut enormement modifier l'ecoulement aerodynamique. Pour de telles applications, il est important d'avoir un modele qui realise un couplage fort entre l'hydrodynamique et le transfert radiatif afin d'avoir un bon comportement de la solution. Cependant, le couplage avec l'equation du transfert radiatif est en general extremement couteux et donc peu raisonnable pour des simulations multidimensionnelles instationnaires. Notre choix est d'utiliser un modele aux moments pour la partie rayonnement, ce qui est bien moins couteux. Celui-ci est base sur une fermeture entropique a la Levermore qui permet de conserver les principales proprietes de la physique. On developpe une version multigroupe de ce modele afin de pouvoir traiter des cas realistes tres dependants de la frequence. Le systeme couple resultant est hyperbolique et possede des proprietes interessantes qui sont etudiees. Ce modele radiatif est couple avec les equations de Navier-Stokes avec une approche totalement implicite et fortement couplee. De plus, pour gagner de la place memoire, on choisit d'utiliser une methode sans Jacobienne, en pratique une methode de type GMRes preconditionne. Cette methode se revele assez rapide pour pouvoir simuler des applications realistes a un cout de calcul raisonnable, ce qui n'est pas le cas de la plupart des modeles courament utilises dans la litterature. Plusieurs applications sont donnees pour illustrer le bon comportement du modele a la fois dans des configurations academiques simplifiees ou l'on peut faire des comparaisons et dans des configurations realistes comme l'ecoulement lors de l'entree atmospherique de sondes superorbitales.

En industrie automobile la créativité et l'innovation technologique sont les principaux atouts de développement et croissance économique. Le potentiel des constructeurs à innover et à rester compétitive font que la concurrence soit intense et durable. Ces évolutions technologiques des moyens de conception ont permit l'émergence de solutions orientées vers un perfectionnement continu du confort et de la sécurité active. Concevoir de tels systèmes requière une bonne connaissance du comportement du véhicule. Ceci peut être fait par une modélisation rigoureuse des différents organes afin de constituer un modèle dont la représentativité soit la plus proche possible du véhicule réel. A ce jour, il existe une multitude de modèles analytiques généralement issus d'une linéarisation individuelle du comportement de chaque composante du véhicule (surtout au niveau le comportement du pneumatique) autour d'une gamme d'excitation définie, comme le modèle bicyclette linéaire ou le modèle linéaire 4 roues. La maniabilité et la simplicité des méthodes d'analyses linéaires font que ces modèles soient largement utilisés dans l'industrie automobile pour l'analyse des réponses du véhicule. Cependant, ces modèles linéarisés sont très limités en termes de domaine de validité. En effet, pour les grandes sollicitations, le véhicule est généralement soumis à de fortes accélérations latérales (supérieurs à ) qui provoquent un fonctionnement non linéaire saturé des pneumatiques. Dans ce cas les modèles non linéaires deviennent obsolètes et ne permettent pas de prédire correctement les réponses d'un véhicule. Afin d'obtenir des modèles représentative dans le domaine non linéaire, l'approche principale est de considérer la totalité du modèle de pneumatique dans le modèle du véhicule à savoir la formule de Pacejka. De cette procédure résulte un modèle non linéaire complexe dont la résolution analytique pour extraire les caractéristiques des réponses est quasi-impossible. Dans ce cas la résolution numérique reste préférable. Afin d'éviter l'utilisation de la formule de Pacejka nous proposons d'utiliser un modèle bicyclette non linéaire basé sur une approximation polynomiale. L'idée principale est l'utilisation de méthodes non linéaires avancées dans le but d'obtenir les caractéristiques statiques et dynamiques des réponses du véhicule. Notre travail est orienté principalement dans l'analyse des non linéarités causées par de forts glissements latéraux des pneumatiques. Trois méthodes ont été retenues : La première est la méthode des séries des séries de Volterra et qui permet d'étudier l'impact des non linéarités sur les réponses d'un système dans le domaine temporel et fréquentiel. La deuxième méthode est l'équilibrage harmonique qui permet de déterminer analytiquement les fonctions réponses fréquentielles et des paramètres modaux non linéaires et leurs dépendances à l'amplitude d'excitation. La dernière technique est la méthode de Krylov-Bogoliubov qui permet l'analyse des réponses transitoire harmonique du véhicule pour excitations sinusoïdales. A l'issu de notre travail de recherche, nous avons réussi à répondre aux besoins de la problématique et nous avons abouti à des résultats innovants et très concluants concernant la dynamique non linéaire du véhicule. Ces résultats n'ont jamais été obtenus auparavant et ont donné lieu à deux publications internationales. Une première publication dans le journal de la dynamique de véhicule et une deuxième publication au congrès international de la dynamique de véhicule de la SIA (Société des Ingénieurs de l'Automobiles) à Lyon.

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Rational Krylov methods for model order reduction are studied. A dual rational Arnoldi method for model order reduction and a rational Krylov method for model order reduction and eigenvalue computation have been implemented. It is shown how to deflate redundant or unwanted vectors and how to obtain moment matching. Both methods are designed for generalised state space systems---the former for multiple-input-multiple-output (MIMO) systems from finite element discretisations and the latter for single-input-single-output (SISO) systems---and applied to relevant test problems. The dual rational Arnoldi method is designed for generating real reduced order systems using complex shift points and stabilising a system that happens to be unstable. For the rational Krylov method, a forward error in the recursion and an estimate of the error in the approximation of the transfer function are studie. A stability analysis of a heat exchanger model is made. The model is a nonlinear partial differential-algebraic equation (PDAE). Its well-posedness and how to prescribe boundary data is investigated through analysis of a linearised PDAE and numerical experiments on a nonlinear DAE. Four methods for generating reduced order models are applied to the nonlinear DAE and compared: a Krylov based moment matching method, balanced truncation, Galerkin projection onto a proper orthogonal decomposition (POD) basis, and a lumping method. / QC 20101013