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Detection of long-range dependence : applications in climatology and hydrologyRust, Henning January 2007 (has links)
It is desirable to reduce the potential threats that result from the
variability of nature, such as droughts or heat waves that lead to
food shortage, or the other extreme, floods that lead to severe
damage. To prevent such catastrophic events, it is necessary to
understand, and to be capable of characterising, nature's variability.
Typically one aims to describe the underlying dynamics of geophysical
records with differential equations. There are, however, situations
where this does not support the objectives, or is not feasible, e.g.,
when little is known about the system, or it is too complex for the
model parameters to be identified. In such situations it is beneficial
to regard certain influences as random, and describe them with
stochastic processes. In this thesis I focus on such a description
with linear stochastic processes of the FARIMA type and concentrate on
the detection of long-range dependence. Long-range dependent processes
show an algebraic (i.e. slow) decay of the autocorrelation
function. Detection of the latter is important with respect to,
e.g. trend tests and uncertainty analysis.
Aiming to provide a reliable and powerful strategy for the detection
of long-range dependence, I suggest a way of addressing the problem
which is somewhat different from standard approaches. Commonly used
methods are based either on investigating the asymptotic behaviour
(e.g., log-periodogram regression), or on finding a suitable
potentially long-range dependent model (e.g., FARIMA[p,d,q]) and test
the fractional difference parameter d for compatibility with
zero. Here, I suggest to rephrase the problem as a model selection
task, i.e.comparing the most suitable long-range dependent and the
most suitable short-range dependent model. Approaching the task this
way requires a) a suitable class of long-range and short-range
dependent models along with suitable means for parameter estimation
and b) a reliable model selection strategy, capable of discriminating
also non-nested models. With the flexible FARIMA model class together
with the Whittle estimator the first requirement is
fulfilled. Standard model selection strategies, e.g., the
likelihood-ratio test, is for a comparison of non-nested models
frequently not powerful enough. Thus, I suggest to extend this
strategy with a simulation based model selection approach suitable for
such a direct comparison. The approach follows the procedure of
a statistical test, with the likelihood-ratio as the test
statistic. Its distribution is obtained via simulations using the two
models under consideration. For two simple models and different
parameter values, I investigate the reliability of p-value and power
estimates obtained from the simulated distributions. The result turned
out to be dependent on the model parameters. However, in many cases
the estimates allow an adequate model selection to be established.
An important feature of this approach is that it immediately reveals
the ability or inability to discriminate between the two models under
consideration.
Two applications, a trend detection problem in temperature records and
an uncertainty analysis for flood return level estimation, accentuate the
importance of having reliable methods at hand for the detection of
long-range dependence. In the case of trend detection, falsely
concluding long-range dependence implies an underestimation of a trend
and possibly leads to a delay of measures needed to take in order to
counteract the trend. Ignoring long-range dependence, although
present, leads to an underestimation of confidence intervals and thus
to an unjustified belief in safety, as it is the case for the
return level uncertainty analysis. A reliable detection of long-range
dependence is thus highly relevant in practical applications.
Examples related to extreme value analysis are not limited to
hydrological applications. The increased uncertainty of return level
estimates is a potentially problem for all records from autocorrelated
processes, an interesting examples in this respect is the assessment
of the maximum strength of wind gusts, which is important for
designing wind turbines. The detection of long-range dependence is
also a relevant problem in the exploration of financial market
volatility. With rephrasing the detection problem as a model
selection task and suggesting refined methods for model comparison,
this thesis contributes to the discussion on and development of
methods for the detection of long-range dependence. / Die potentiellen Gefahren und Auswirkungen der natürlicher
Klimavariabilitäten zu reduzieren ist ein wünschenswertes Ziel. Solche
Gefahren sind etwa Dürren und Hitzewellen, die zu Wasserknappheit
führen oder, das andere Extrem, Überflutungen, die einen erheblichen
Schaden an der Infrastruktur nach sich ziehen können. Um solche
katastrophalen Ereignisse zu vermeiden, ist es notwendig die Dynamik
der Natur zu verstehen und beschreiben zu können.
Typischerweise wird versucht die Dynamik geophysikalischer Datenreihen
mit Differentialgleichungssystemen zu
beschreiben. Es gibt allerdings Situationen in denen dieses Vorgehen
nicht zielführend oder technisch nicht möglich ist. Dieses sind
Situationen in denen wenig Wissen über das System vorliegt oder es zu
komplex ist um die Modellparameter zu identifizieren.
Hier ist es sinnvoll einige Einflüsse als zufällig zu
betrachten und mit Hilfe stochastischer Prozesse zu modellieren.
In dieser Arbeit wird eine solche Beschreibung mit linearen
stochastischen Prozessen der FARIMA-Klasse angestrebt. Besonderer
Fokus liegt auf der Detektion von langreichweitigen
Korrelationen. Langreichweitig korrelierte Prozesse sind solche mit
einer algebraisch, d.h. langsam, abfallenden
Autokorrelationsfunktion. Eine verläßliche Erkennung dieser Prozesse
ist relevant für Trenddetektion und Unsicherheitsanalysen.
Um eine verläßliche Strategie für die Detektion
langreichweitig korrelierter Prozesse zur Verfügung zu stellen, wird
in der Arbeit ein anderer als der Standardweg vorgeschlagen.
Gewöhnlich werden Methoden eingesetzt, die das
asymptotische Verhalten untersuchen, z.B. Regression im Periodogramm.
Oder aber es wird versucht ein passendes potentiell langreichweitig
korreliertes Modell zu finden, z.B. aus der FARIMA Klasse, und den
geschätzten fraktionalen Differenzierungsparameter d auf Verträglichkeit
mit dem trivialen Wert Null zu testen. In der Arbeit wird
vorgeschlagen das Problem der Detektion langreichweitiger
Korrelationen als Modellselektionsproblem umzuformulieren, d.h. das
beste kurzreichweitig und das beste langreichweitig
korrelierte Modell zu vergleichen. Diese Herangehensweise erfordert a)
eine geeignete Klasse von lang- und kurzreichweitig korrelierten
Prozessen und b) eine verläßliche Modellselektionsstrategie, auch für
nichtgenestete Modelle. Mit der flexiblen FARIMA-Klasse und dem
Whittleschen Ansatz zur Parameterschätzung ist die erste
Voraussetzung erfüllt. Hingegen sind standard Ansätze zur
Modellselektion, wie z.B. der Likelihood-Ratio-Test, für
nichtgenestete Modelle oft nicht trennscharf genug. Es wird daher
vorgeschlagen diese Strategie mit einem simulationsbasierten Ansatz zu
ergänzen, der insbesondere für die direkte Diskriminierung
nichtgenesteter Modelle geeignet ist. Der Ansatz folgt
einem statistischen Test mit dem Quotienten der Likelihood
als Teststatistik. Ihre Verteilung wird über
Simulationen mit den beiden zu unterscheidenden Modellen
ermittelt. Für zwei einfache Modelle und verschiedene Parameterwerte
wird die Verläßlichkeit der Schätzungen für p-Wert und Power
untersucht. Das Ergebnis hängt von den Modellparametern ab. Es konnte
jedoch in vielen Fällen eine adäquate Modellselektion etabliert
werden. Ein wichtige Eigenschaft dieser Strategie ist, dass
unmittelbar offengelegt wird, wie gut sich die betrachteten Modelle
unterscheiden lassen.
Zwei Anwendungen, die Trenddetektion in Temperaturzeitreihen und die
Unsicherheitsanalyse für Bemessungshochwasser, betonen den Bedarf an
verläßlichen Methoden für die Detektion langreichweitiger
Korrelationen. Im Falle der Trenddetektion führt ein fälschlicherweise
gezogener Schluß auf langreichweitige Korrelationen zu einer
Unterschätzung eines Trends, was wiederum zu einer möglicherweise
verzögerten Einleitung von Maßnahmen führt, die diesem entgegenwirken
sollen. Im Fall von Abflußzeitreihen führt die Nichtbeachtung von
vorliegenden langreichweitigen Korrelationen zu einer Unterschätzung
der Unsicherheit von Bemessungsgrößen. Eine verläßliche Detektion von
langreichweitig Korrelierten Prozesse ist somit von hoher Bedeutung in
der praktischen Zeitreihenanalyse. Beispiele mit Bezug zu extremem
Ereignissen beschränken sich nicht nur auf die Hochwasseranalyse. Eine
erhöhte Unsicherheit in der Bestimmung von extremen Ereignissen ist
ein potentielles Problem von allen autokorrelierten Prozessen. Ein
weiteres interessantes Beispiel ist hier die Abschätzung von maximalen
Windstärken in Böen, welche bei der Konstruktion von Windrädern eine
Rolle spielt. Mit der Umformulierung des Detektionsproblems als
Modellselektionsfrage und mit der Bereitstellung geeigneter
Modellselektionsstrategie trägt diese Arbeit zur Diskussion und
Entwicklung von Methoden im Bereich der Detektion von
langreichweitigen Korrelationen bei.
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Nonlinear Long-Range Correlated Stochastic Models of Temperature Time Series: Inference and PredictionKassel, Johannes Adrian 07 May 2024 (has links)
This thesis deals with data-driven stochastic models of daily temperature time series recorded at weather stations. These univariate time series are long-range correlated, i.e. their autocorrelation functions possess a power-law decay. In addition, their marginal distributions violate Gaussianity and their response functions are nonlinear, calling for nonlinear models.
We present two methods for inferring nonlinear long-range correlated stochastic models of single-trajectory data and use them to reconstruct models of daily mean temperature data recorded at Potsdam Telegrafenberg, Germany. The first method employs fractional filtering using the estimated Hurst exponent of the time series. We render the time series short-range correlated with the first-order difference approximation of the Grünwald-Letnikov fractional derivative, the inverse of the fractional integration operation used in ARFIMA processes. Subsequently, we reconstruct a Markovian model of the fractionally differenced time series. The second inference method is ‘fractional Onsager-Machlup optimization’ (fOMo), a maximum likelihood framework apt to infer nonlinear force and diffusion terms of overdamped stochastic differential equations driven by arbitrarily correlated Gaussian noise, in particular fractional Gaussian noise. The optimization corresponds to the minimization of a stochastic action as studied in statistical field theory. The optimal drift and diffusion terms then render a given time series the most probable path of the model. Both inference methods show excellent results for temperature time series. They are applicable to other stationary, monofractal time series and thus may prove beneficial in biophysics, e.g. active matter dynamics and anomalous diffusion, neurophysics and finance.
Finally, we employ stochastic temperature models reconstructed via the fractional filtering method for predictions. A forecast of the first frost date at Potsdam Telegrafenberg using the mean first-passage time of model trajectories and the zero degree temperature line shows small predictive power. The second application extends the stochastic temperature model to include an external forcing by a meteorological index time series that is associated to long-lived circulation patterns in the atmosphere. A causal analysis of Arctic Oscillation (AO) and North-Atlantic Oscillation indices and European extreme temperatures reveals the largest influence of the AO index on daily extreme winter temperatures in southern Scandinavia. We therefore reconstruct a nonlinear long-range correlated stochastic model of daily maximum and minimum winter temperatures recorded at Visby Flygplats, Sweden, with external driving by the AO index. Binary temperature forecasts show predictive power for up to 35 (30) days lead time for daily maximum (minimum) temperatures. An AR(1) model possesses predictive power for only 10 (5) days lead time for daily maximum (minimum) temperature, proving the potential of nonlinear long-range correlated models for predictions.:1 Introduction
1.1 Long-Range Correlations in Geophysical Time Series
1.2 Stochastic Modeling of Geophysical Time Series
1.3 Structure of the Thesis
2 Preliminaries
2.1 Time Series and Stochastic Processes
2.1.1 Stochastic Processes
2.1.2 Basic Concepts of Time Series Analysis
2.1.3 Classification of Stochastic Processes
2.1.4 Inference of Stochastic Processes
2.2 Markov Processes
2.2.1 Fokker-Planck Equation
2.2.2 Langevin Equation
2.2.3 Stochastic Integration
2.2.4 Correspondence of Langevin Equation and Fokker-Planck Equation
2.2.5 Numerical Solution of Langevin Equation
2.2.6 Path Integral Formulation
2.2.7 Discrete-Time Processes
2.3 Long-Range Correlated Processes
2.3.1 Self-Similarity and Long-Range Correlations
2.3.2 Fractional Calculus
2.3.3 Fractional Brownian Motion and Fractional Gaussian Noise
2.3.4 Stochastic Differential Equations driven by fGn
2.3.5 Numerical Solution of SDE driven by fGn
2.3.6 ARFIMA Processes
2.4 Estimation of the Hurst parameter
2.4.1 Estimation Methods
2.4.2 Detrended Fluctuation Analysis
2.5 Discussion of Previous Approaches to Modeling LRC Data
2.5.1 Generalized Langevin Equation
2.5.2 Modified Discrete Langevin Equation
2.5.3 Atmospheric Response Functions
3 Inference via Fractional Differencing
3.1 Surface Temperature Time Series
3.2 Fractional Differencing of Time Series
3.2.1 Removing Long-Range Correlations
3.2.2 Memory Selection
3.2.3 Testing for Markovianity
3.3 Finite-Time Kramers-Moyal Analysis
3.3.1 Kernel-Based Regression of Kramers-Moyal Moments
3.3.2 The Adjoint Fokker-Planck Equation
3.3.3 Numerical Procedure
3.3.4 Inferred Drift and Diffusion Terms
3.3.5 Model Data Generation
3.3.6 Results for Temperature Anomalies
3.4 Discrete-Time Langevin Equation
3.4.1 Estimation of Force and Diffusion Terms
3.4.2 Model Data Generation
3.4.3 Nonlinear Toy Model
3.4.4 Application to Temperature Data
3.4.5 Results for Temperature Anomalies
3.5 Discussion
4 Inference via Fractional Onsager-Machlup Optimization
4.1 Derivation of the Maximum Likelihood Estimator
4.2 Analytical Approaches
4.2.1 Force Estimation for Fixed Diffusion
4.2.2 Diffusion Estimation for Fixed Drift
4.2.3 Fractional Ornstein-Uhlenbeck Process
4.2.4 Superposition of Noise Processes
4.3 Numerical Procedure
4.4 Toy Model with Double-Well Potential
4.4.1 Comparison with Markovian Estimate
4.4.2 Finite-Size Error Scaling
4.5 Application to Temperature Data
4.5.1 Consistency of Inferred Drift and Diffusion
4.5.2 Comparison of Synthetic Data and Temperature
4.5.3 Residual Noise
4.6 Discussion
5 Predictions with Long-Range Correlated Models
5.1 First Frost Date
5.1.1 Forecast Ensemble and Forecast Error
5.1.2 Numerical Details
5.1.3 Results
5.2 Causal Analysis of Meteorological Indices and European Extreme Temperatures
5.2.1 Measures for Causal Influence
5.2.2 Causal Analysis Results
5.2.3 Causal Analysis for Visby Flygplats, Sweden
5.3 Forecasting Winter Temperature Extremes at Visby Flygplats, Sweden
5.3.1 Model Inference and Forecast
5.3.2 Root-Mean-Square Error Analysis
5.3.3 Binary Forecasts of Temperature Extremes
5.4 Discussion
6 Conclusion and Outlook
6.1 Inference of Nonlinear LRC Models
6.2 Predictions with LRC models
6.3 Further Research Directions
6.3.1 Method Extensions
6.3.2 Meteorological Applications
6.3.3 Data Interpolation
6.3.4 Anomalous Diffusion and Active Matter Dynamics
Bibliography / Diese Arbeit befasst sich mit datengetriebenen stochastischen Modellen von Tagestemperatur-Zeitreihen, die von Wetterstationen aufgezeichnet wurden. Diese univariaten Zeitreihen sind langreichweitig korreliert, d.h. ihre Autokorrelationsfunktionen fallen gemäß eines Potenzgesetzes ab. Darüber hinaus sind ihre Randverteilungen nicht-Gaußsch und ihre Antwortfunktionen nichtlinear, was nichtlineare Modelle erforderlich macht.
Wir stellen zwei Methoden zur Rekonstruktion nichtlinearer, langreichweitig korrelierter stochastischer Modelle von Einzeltrajektorien vor und verwenden sie zur Rekonstruktion von Modellen aus Tagesmitteltemperaturdaten, die an der Wetterstation Potsdam Telegrafenberg, Deutschland, aufgezeichnet wurden. Die erste Methode verwendet eine fraktionale Filterung unter Verwendung des geschätzten Hurst-Exponenten der Zeitreihe. Dabei werden die langreichweitigen Korrelationen der Zeitreihe mit der Differenzenapproximation erster Ordnung der fraktionalen Grünwald-Letnikov-Ableitung, der inversen Operation der in ARFIMA-Prozessen verwendeten fraktionalen Integration, entfert. Anschließend rekonstruieren wir ein Markov-Modell der fraktional differenzierten, nun kurzreichweitig korrelierten Zeitreihe. Die zweite Inferenzmethode ist die ‘fractional Onsager-Machlup optimization’ (fOMo), ein Maximum-Likelihood-Schätzer, der nichtlineare Kraft- und Diffusionsterme von überdämpften stochastischen Differentialgleichungen rekonstruiert, die von beliebig korreliertem Gaußschen Rauschen, insbesondere fraktionalem Gaußschen Rauschen, angetrieben werden. Die Optimierung entspricht der Minimierung einer stochastischen Wirkung, wie sie in der statistischen Feldtheorie untersucht wird. Die optimalen Drift- und Diffusionsterme machen die gegebene Zeitreihe dann zum wahrscheinlichsten Pfad des Modells. Beide Inferenzmethoden zeigen exzellente Ergebnisse für Temperaturzeitreihen. Sie sind auf weitere stationäre, monofraktale Zeitreihen anwendbar und können daher in der Biophysik, z. B. der Dynamik aktiver Materie und anomaler Diffusion, in der Neurophysik und im Finanzwesen nützlich sein.
Schließlich verwenden wir stochastische Temperatur-Modelle, die mit Hilfe der Methode der fraktionalen Filterung rekonstruiert wurden, für Vorhersagen. Eine Vorhersage des ersten Frosttages im Herbst mit Temperaturdaten der Wetterstation Potsdam Telegrafenberg unter Verwendung der mittleren Erstauftreffszeit von Modelltrajektorien und der Null-Grad-Temperaturlinie zeigt nur geringe Vorhersagekraft. Die zweite Anwendung erweitert das stochastische Temperaturmodell um einen zusätzlichen Antrieb durch eine meteorologische Indexzeitreihe, welche langlebige Zirkulationsmuster in der Atmosphäre charakterisiert. Eine Kausalsanalyse des Einflusses der Indizes der Arktischen Oszillation und der Nordatlantischen Oszillation auf Extremtemperaturen in Europa zeigt den größten Einfluss des Arktischen-Oszillations-Index auf die täglichen Maximal- und Minimaltemperaturen im Winter in Südskandinavien. Darauf aufbauend rekonstruieren wir ein nichtlineares, langreichweitig korreliertes stochastisches Modell der Tagesmaximal- und -minimaltemperaturen im Winter der Wetterstation Visby Flygplats in Schweden mit zusätzlichem Antrieb durch den Arktischen Oszillationsindex. Binäre Vorhersagen des Modells besitzen einen Vorhersagehorizont von bis zu 35 (30) Tagen für Tages-Maximal-(Minimal-)Temperaturen. Binäre Vorhersagen mithilfe eines AR(1)-Modells besitzen einen Vorhersagehorizont von nur 10 (5) Tagen für tägliche Maximal-(Minimal-)Temperaturen. Dies beweist das Potenzial nichtlinearer, langreichweitig korrelierter Modelle für Vorhersagen.:1 Introduction
1.1 Long-Range Correlations in Geophysical Time Series
1.2 Stochastic Modeling of Geophysical Time Series
1.3 Structure of the Thesis
2 Preliminaries
2.1 Time Series and Stochastic Processes
2.1.1 Stochastic Processes
2.1.2 Basic Concepts of Time Series Analysis
2.1.3 Classification of Stochastic Processes
2.1.4 Inference of Stochastic Processes
2.2 Markov Processes
2.2.1 Fokker-Planck Equation
2.2.2 Langevin Equation
2.2.3 Stochastic Integration
2.2.4 Correspondence of Langevin Equation and Fokker-Planck Equation
2.2.5 Numerical Solution of Langevin Equation
2.2.6 Path Integral Formulation
2.2.7 Discrete-Time Processes
2.3 Long-Range Correlated Processes
2.3.1 Self-Similarity and Long-Range Correlations
2.3.2 Fractional Calculus
2.3.3 Fractional Brownian Motion and Fractional Gaussian Noise
2.3.4 Stochastic Differential Equations driven by fGn
2.3.5 Numerical Solution of SDE driven by fGn
2.3.6 ARFIMA Processes
2.4 Estimation of the Hurst parameter
2.4.1 Estimation Methods
2.4.2 Detrended Fluctuation Analysis
2.5 Discussion of Previous Approaches to Modeling LRC Data
2.5.1 Generalized Langevin Equation
2.5.2 Modified Discrete Langevin Equation
2.5.3 Atmospheric Response Functions
3 Inference via Fractional Differencing
3.1 Surface Temperature Time Series
3.2 Fractional Differencing of Time Series
3.2.1 Removing Long-Range Correlations
3.2.2 Memory Selection
3.2.3 Testing for Markovianity
3.3 Finite-Time Kramers-Moyal Analysis
3.3.1 Kernel-Based Regression of Kramers-Moyal Moments
3.3.2 The Adjoint Fokker-Planck Equation
3.3.3 Numerical Procedure
3.3.4 Inferred Drift and Diffusion Terms
3.3.5 Model Data Generation
3.3.6 Results for Temperature Anomalies
3.4 Discrete-Time Langevin Equation
3.4.1 Estimation of Force and Diffusion Terms
3.4.2 Model Data Generation
3.4.3 Nonlinear Toy Model
3.4.4 Application to Temperature Data
3.4.5 Results for Temperature Anomalies
3.5 Discussion
4 Inference via Fractional Onsager-Machlup Optimization
4.1 Derivation of the Maximum Likelihood Estimator
4.2 Analytical Approaches
4.2.1 Force Estimation for Fixed Diffusion
4.2.2 Diffusion Estimation for Fixed Drift
4.2.3 Fractional Ornstein-Uhlenbeck Process
4.2.4 Superposition of Noise Processes
4.3 Numerical Procedure
4.4 Toy Model with Double-Well Potential
4.4.1 Comparison with Markovian Estimate
4.4.2 Finite-Size Error Scaling
4.5 Application to Temperature Data
4.5.1 Consistency of Inferred Drift and Diffusion
4.5.2 Comparison of Synthetic Data and Temperature
4.5.3 Residual Noise
4.6 Discussion
5 Predictions with Long-Range Correlated Models
5.1 First Frost Date
5.1.1 Forecast Ensemble and Forecast Error
5.1.2 Numerical Details
5.1.3 Results
5.2 Causal Analysis of Meteorological Indices and European Extreme Temperatures
5.2.1 Measures for Causal Influence
5.2.2 Causal Analysis Results
5.2.3 Causal Analysis for Visby Flygplats, Sweden
5.3 Forecasting Winter Temperature Extremes at Visby Flygplats, Sweden
5.3.1 Model Inference and Forecast
5.3.2 Root-Mean-Square Error Analysis
5.3.3 Binary Forecasts of Temperature Extremes
5.4 Discussion
6 Conclusion and Outlook
6.1 Inference of Nonlinear LRC Models
6.2 Predictions with LRC models
6.3 Further Research Directions
6.3.1 Method Extensions
6.3.2 Meteorological Applications
6.3.3 Data Interpolation
6.3.4 Anomalous Diffusion and Active Matter Dynamics
Bibliography
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Scale-free Fluctuations in in Bose-Einstein Condensates, Quantum Dots and Music Rhythms / Skalenfreie Fluktuationen in Bose-Einstein Kondensaten, Quantenpunkten und MusikrhythmenHennig, Holger 27 May 2009 (has links)
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