Ce mémoire fait une revue du concept de qualification des contraintes de premier et deuxième ordre. Les qualifications de premier ordre les plus connues et utilisées sont présentées, ainsi que des exemples et contre-exemples qui mettent en évidence les relations entre elles. Leurs équivalences dans les problèmes convexes sont aussi mises en évidence. Quelques qualifications de second ordre, ainsi que certains contre-exemples, sont présentés. Finalement, les fondations d'un travail visant à alléger les hypothèses essentielles à l'existence de trajectoires centrales d'algorithmes de barrière logarithmique sont présentées.

Cette thèse de doctorat porte sur l'extension du modèle LIP (Logarithmic Image Processing) aux images en couleurs. Le modèle CoLIP (Color Logarithmic Image Processing) est défini, étudié et appliqué au traitement d'image dans ce manuscrit.Le modèle LIP est un cadre mathématique original complet, développé pour le traitement d'images à niveaux de gris, rigoureusement établi mathématiquement, compatible avec les lois physiques de formation d'image, et mieux adapté que l'approche classique pour modéliser la perception visuelle humaine de l'intensité de la lumière. Après une étude de la vision des couleurs et de la science des couleurs, le modèle CoLIP est construit en suivant les étapes de la perception humaine des couleurs, tout en intégrant le cadre mathématique du modèle LIP. Dans un premier temps, le CoLIP est construit en suivant les étapes de la photoréception, de la compression lumineuse et du codage antagoniste. Il est donc développé comme un espace couleur représentant une image couleur par un ensemble de trois fonctions de tons antagonistes, sur lesquelles sont définies les opérations CoLIP d'addition et de multiplication par un scalaire, qui confèrent à cet espace couleur la structure d'espace vectoriel couleur. Ensuite, l'espace couleur CoLIP étant un espace de type luminance-chrominance uniforme, les attributs relatifs et absolus de la perception humaine des couleurs (teinte, chroma, coloration, luminosité, clarté, et saturation) peuvent être définis. Cette construction fait du CoLIP à la fois un espace vectoriel couleur bien structuré mathématiquement, et un modèle d'apparence couleur. Dans un deuxième temps, un grand nombre de justifications physiques, mathématiques, et psychophysiques du modèle CoLIP sont proposées, notamment la comparaison des formes des ellipses de MacAdam dans l'espace de couleur uniforme CoLIP et dans d'autres modèles uniformes, sur des critères d'aire et d'excentricité des ellipses. Enfin, diverses applications utilisant la structure d'espace vectoriel couleur du modèle CoLIP sont proposées, telles que le rehaussement de contraste, le rehaussement d'image et la détection de contour. Des applications utilisant la structure de modèle d'apparence couleur, qui permet de travailler sur les notions de teinte, de luminosité et de saturation, sont également développées. Une application spécifique permettant de mesurer la viabilité des cellules sur des images de lames obtenues par cytocentrifugation et marquage couleur est également proposée. / This doctoral thesis introduces the extension of the LIP (Logarithmic Image Processing) model to color images. The CoLIP (Color Logarithmic Image Processing) model is defined, studied and applied to image processing in this manuscript. The Logarithmic Image Processing (LIP) approach is a mathematical framework developed for the representation and processing of images valued in a bounded intensity range. The LIP theory is physically and psychophysically well justified since it is consistent with several laws of human brightness perception and with the multiplicative image formation model. Following a study of color vision and color science, the CoLIP model is constructed according to the human color perception stages, while integrating the mathematical framework of the LIP.Initially, the CoLIP is constructed by following the photoreception, non-linear cone compression, and opponent processing human color perception steps. It is developed as a color space representing a color image by a set of three antagonists tones functions, that can be combined by means of specific CoLIP operations: addition, scalar multiplication, and subtraction, which provide to the CoLIP framework a vector space structure. Then, as the CoLIP color space is a luminance-chrominance uniform color space, relative and absolute perception attributes (hue, chroma, colorfulness, brightness, lightness, and saturation) can be defined. Thus, the CoLIP framework combines advantages of a mathematically well structured vector space, and advantages of a color appearance model. In a second step, physical, mathematical, physiological and psychophysical justifications are proposed including a comparison of MacAdam ellipses shapes in the CoLIP uniform model, and in other uniform models, based on ellipses area and eccentricity criterions. Finally, various applications using the CoLIP vector space structure are proposed, such as contrast enhancement, image enhancement and edge detection. Applications using the CoLIP color appearance model structure, defined on hue, brightness and saturation criterions are also proposed. A specific application dedicated to the quantification of viable cells from samples obtained after cytocentrifugation process and coloration is also presented.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le problème de Zolotarev pour des ensembles discrets apparaît pour décrire le taux de convergence de la méthode ADI, dans l'approximation de certaines fonctions matricielles ou encore pour quantifier le taux de décroissance des valeurs singulières de certaines matrices structurées. De plus, la réduction de modèle constitue un enjeu important en théorie du contrôle linéaire, et on peut prédire la qualité de l'approximation d'un système dynamique linéaire continu stationnaire de grande dimension donné grâce à la résolution approchée d'une équation de Sylvester. Après avoir prouvé l'existence d'un minimiseur pour le troisième problème de Zolotarev pour des ensembles discrets, on détermine dans cette thèse le comportement asymptotique faible de ce problème sous certaines hypothèses de régularité. Pour mener cette étude, on considère un problème de minimisation d'énergie sous contraintes pour des mesures signées en théorie du potentiel logarithmique. On discute également la précision de nos résultats asymptotiques pour des ensembles discrets généraux du plan complexe, et une formule intégrale explicite est établie dans le cas particulier de deux sous-ensembles discrets de l'axe réel symétriques par rapport à l'origine. L'impact de nos résultats théoriques pour l'analyse du taux de convergence de la méthode ADI appliquée pour la résolution approchée d'une équation de Lyapounov est estimé à l'aide de plusieurs exemples numériques après avoir exposé l'algorithme nous permettant d'obtenir les paramètres utilisés.

Cette thèse est constituée de deux parties.<br>Dans la première, je démontre que si certaines variétés de Severi universelles, qui paramètrent les courbes nodales de degré et de genre fixés existant sur une surface K3, sont irréductibles, alors une surface K3 projective générique ne possède pas d'endomorphisme rationnel de degré >1. J'établis également un certain nombre de contraintes numériques satisfaites par ces endomorphismes.<br>Voisin a modifié la pseudo-forme volume de Kobayashi en introduisant les K-correspondances holomorphes. Dans la seconde partie, j'étudie une version logarithmique de cette pseudo-forme volume. J'associe une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque à toute paire (X,D) constituée d'une variété complexe et d'un diviseur à croisements normaux et partie positive réduite. Je démontre qu'elle est génériquement non dégénérée si X est projective et K_X+D est ample. Je démontre d'autre part qu'elle s'annule pour une grande classe de paires à fibré canonique logarithmique trivial.

1°) Utilisation d'inégalités fonctionnelles de Bobkov pour l'établissement de principes de grandes déviations quasi-gaussiens. <br /><br />2°) Etude de l'inégalité de Sobolev logarithmique en théorie de l'information. <br /><br />3°) Etablissement d'inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques pour certaines dynamiques de Kawasaki et Glauber pour un modèle à spins continus en mécanique statistique.

Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués après la thèse, soutenue à l'université Toulouse III en décembre 2001. <br /><br /><br />Une large partie de ces recherches est consacrée aux inégalités fonctionnelles, dont les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique sont deux représentantes emblématiques. De façon générale, les inégalités fonctionnelles sont à la frontière de l'analyse et des probabilités et sont utilisées dans de nombreux problèmes mathématiques. On pourra citer par exemple l'étude de la convergence à l'équilibre d'équations différentielles ou de chaîne de Markov, l'étude des ensembles convexes en grande dimension, l'étude de la concentration de mesures produits ou corrélées, l'étude de la convergence de systèmes de particules, ou l'étude de l'existence d'une unique mesure de Gibbs en mécanique statistique. La résolution de chacun de ces problèmes repose sur l'établissement d'une inégalité fonctionnelle adaptée au modèle. <br /><br /><br />Dans ce mémoire, nous traitons ces problèmes de deux façons. D'une part, nous nous intéressons directement aux inégalités fonctionnelles, en cherchant à établir des hiérarchies entre elles, à trouver des critères simples permettant d'établir leur existence. D'autre part, à partir de problèmes de convergence à l'équilibre d'équations d'évolutions, nous élaborons et utilisons des inégalités fonctionnelles appropriées permettant d'obtenir des taux de convergence à l'équilibre.<br /><br /><br />Ce document est divisé en 5 chapitres. Les 4 premiers chapitres traitent des inégalités fonctionnelles et leurs implications pour des équations d'évolutions linéaires, non-linéaires, locales ou non-locales. <br /><br />Le dernier chapitre traite quant à lui un tout autre problème. Nous essayons de montrer la convergence à l'équilibre d'un algorithmique génétique utilisé pour des problèmes de filtrage non-linéaire.

L'étude de stabilité des ouvrages géotechniques sur sol renforcé (capacité portante des fondations,<br />stabilité des remblais et des soutènements) par les méthodes directes du calcul à la<br />rupture soure parfois d'insusances dès que le nombre d'inclusions devient important, ce<br />qui peut conduire à une surestimation des capacités de résistance. Une approche alternative,<br />fondée sur la méthode d'homgénéisation en calcul à la rupture permet de s'aranchir des dif-<br />cultés mentionnées en substituant au problème initial, un problème homogène équivalent<br />dont il est plus facile d'estimer les capacités de résistance et d'aboutir ainsi à des méthodes<br />de dimensionnement accessibles à l'ingénieur. Dans le présent travail, une extension a été faite<br />quant à l'application de la méthode d'homogénéisation aux problèmes des sols renforcés par<br />des inclusions tridimensionnelles (colonnes).<br />La première partie du mémoire est consacrée à l'estimation de la capacité portante d'une<br />fondation sur sol renforcé par une tranchée à l'aide de l'approche cinématique du calcul à<br />la rupture, en se placant dans un cas général d'un sol et d'une tranchée pesants cohérents<br />et frottants. Le mécanisme de rupture utilisé à cet eet est du type de “Prandtl”, des résultats<br />analytiques intéressants (estimant la borne supérieure de la capacité portante) sont établis : ceuxci<br />englobent en eet un bon ensemble de résultats antérieurs disponibles dans la littérature.<br />Une analyse critique actualisée des méthodes de calcul de la capacité portante d'un sol renforcé<br />par colonnes est ensuite fournie dans cette première partie du mémoire. On insiste alors sur le<br />caractère limité des approches directes du calcul à la rupture, à appréhender le caractère souvent<br />typiquement anisotrope des ouvrages étudiés, et en particulier ceux renforcés par colonnes.<br />Après avoir rappelé brièvement les concepts fondamentaux de la méthode d'homogénéisation,<br />on aborde dans la deuxième partie, la détermination du critère de résistance macroscopique<br />d'un sol purement cohérent renforcé par colonnes constituées d'un matériau purement cohérent.<br />Un encadrement précis du critère de résistance macroscopique a été établi. Les résultats ainsi<br />obtenus sont exploités, en déformation plane, pour le calcul de la capacité portante d'une<br />fondation rigide sur sol renforcé homogénéisé. Le résultat qui en découle est une amélioration<br />sensible de la borne supérieure de la capacité portante, par rapport à celle obtenue à l'aide<br />de l'approche cinématique directe du calcul à la rupture. Une autre application portant sur la<br />stabilité d'un remblai construit sur sol renforcé par colonnes est ensuite entammée. Pour ce type<br />d'ouvrage, un majorant du facteur de stabilité du remblai a été déterminé.<br />La troisième partie du mémoire a été consacrée au renforcement d'un sol purement cohérent<br />(une argile molle par exemple) par des colonnes constituées par un matériau cohérent et frottant<br />(le ballast par exemple). On met en œuvre une approche par l'intérieur (par les contraintes) de la<br />méthode d'homogénéisation à la détermination d'une borne inférieure du critère de résistance<br />macroscopique. En vue de fournir une formulation, plus facile pour un usage pratique, une<br />linéarisation de la frontière de ce domaine, permettant de se placer du côté de la sécurité, a été<br />faite. C'est alors que la borne inférieure de la capacité portante d'une fondation a été recherchée<br />via un champ de contrainte à trois zones, puis avec un champ à six zones (avec un paramètre<br />variable). Le champ à six zones a permis une amélioration sensible du résultat obtenu avec le<br />champ à trois zones.<br />En conclusion du mémoire de thèse, on récapitule les principaux résultats tout en insistant sur<br />l'apport, qu'apporte la méthode d'homogénéisation en calcul à la rupture pour appréhender<br />l'étude de stabilité des ouvrages en sol renforcé par colonnes.<br />Mots clés : sols renforcés par colonnes, critère de résistance, homogénéisation, périodique,<br />problème homogène associé, cellule de base, domaine de résistance macroscopique, anisotrope,<br />facteur de stabilité, capacité portante, linéarisation.

Nous étudions des équations aux dérivées partielles non linéaires du type McKean-Vlasov. Nous leur associons des systèmes de particules en interaction de type champ moyen pour lesquels nous établissons des inégalités de Sobolev logarithmiques à temps fini. Grâce à un résultat supplémentaire de propagation du chaos, nous déduisons, dans certains cas, le comportement en temps long de l'équation non linéaire en fonction de celui du système de particules. Enfin, nous établissons des intervalles de confiance exacts pour la convergence de méthodes de Monte-Carlo pour les schémas d'Euler explicites et implicites associés à des processus de diffusion. Ces résultats s'appliquent notamment pour les systèmes de particules cités plus haut.

Ce travail de thèse prolonge les développements récents, dûs à Talagrand, Friedgut et Kalai de l'étude des conditions générales assurant l'existence d'un phénomène de seuil. Dans une première partie, nous apportons une contribution à l'unification du cadre théorique des phénomènes de seuil, d'une part en reliant rigoureusement le cadre originel des ``fonctions seuils'' introduit par Erdös et Rényi, celui des travaux de Friedgut et Kalai et la concentration du temps d'atteinte de la propriété qui suit le phénomène de seuil; d'autre part en initiant une recherche sur la stabilité des phénomènes de seuil par trois types d'opérations: l'union, l'intersection et le produit tensoriel. On obtient ainsi un moyen simple de construire des largeurs de seuil d'ordres variés. Dans une seconde partie, on optimise la majoration générale de la largeur de seuil d'une propriété croissante et symétrique, à l'aide de l'inégalité de Sobolev logarithmique sur l'hypercube discret.