Cette thèse est constituée de deux parties.<br>Dans la première, je démontre que si certaines variétés de Severi universelles, qui paramètrent les courbes nodales de degré et de genre fixés existant sur une surface K3, sont irréductibles, alors une surface K3 projective générique ne possède pas d'endomorphisme rationnel de degré >1. J'établis également un certain nombre de contraintes numériques satisfaites par ces endomorphismes.<br>Voisin a modifié la pseudo-forme volume de Kobayashi en introduisant les K-correspondances holomorphes. Dans la seconde partie, j'étudie une version logarithmique de cette pseudo-forme volume. J'associe une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque à toute paire (X,D) constituée d'une variété complexe et d'un diviseur à croisements normaux et partie positive réduite. Je démontre qu'elle est génériquement non dégénérée si X est projective et K_X+D est ample. Je démontre d'autre part qu'elle s'annule pour une grande classe de paires à fibré canonique logarithmique trivial.

Un automorphisme non-symplectique d'ordre fini n sur une surface X de type K3 est un automorphisme σ ∈ Aut(X) qui satisfait σ*(ω) = λω où λ est une racine primitive n-ième de l'unité et ω est le générateur de H2,0(X). Dans cette thèse on s’intéresse aux automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et 16 sur les surfaces K3. Dans un premier temps, nous classifionsles automorphismes non-symplectiques σ d'ordre 8 quand le lieu fixe de sa quatrième puissance σ⁴ contient une courbe de genre positif, on montre plus précisément que le genre de la courbe fixée par σ est au plus un. Ensuite nous étudions le cas où le lieu fixe de σ contient au moins une courbe et toutes les courbes fixées par sa quatrième puissance σ⁴ sont rationnelles. Enfin nous étudions le cas où σ et son carré σ² agissent trivialement sur le groupe de Néron-Severi. Nous classifions toutes les possibilités pour le lieu fixe de σ et de son carré σ² dans ces trois cas. Nous obtenons la classification complète pour les automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 sur les surfaces K3. Dans la deuxième partie de la thèse, nous classifions les surfaces K3 avec automorphisme non-symplectique d'ordre 16 en toute généralité. Nous montrons que le lieu fixe contient seulement courbes rationnelles et points isolés et nous classifions complètement les sept configurations possibles. Si le groupe de Néron-Severi a rang 6, alors il y a deux possibilités et si son rang est 14, il y a cinq possibilités. En particulier si l'action de l'automorphisme est trivial sur le groupe de Néron-Severi, alors nous montrons que son rang est six. Enfin, nous construisons des exemples qui correspondent à plusieurs cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 8 et nous donnons des exemples pour chaque cas dans la classification des automorphismes non-symplectiques d'ordre 16. / A non-symplectic automorphism of finite order n on a K3 surface X is an automorphism σ ∈ Aut(X) that satisfies σ*(ω) = λω where λ is a primitive n−root of the unity and ω is a generator of H2,0(X). In this thesis we study the non-symplectic automorphisms of order 8 and 16 on K3 surfaces. First we classify the non-symplectic automorphisms σ of order eight when the fixed locus of its fourth power σ⁴ contains a curve of positive genus, we show more precisely that the genus of the fixed curve by σ is at most one. Then we study the case of the fixed locus of σ that contains at least a curve and all the curves fixed by its fourth power σ⁴ are rational. Finally we study the case when σ and its square σ² act trivially on the Néron-Severi group. We classify all the possibilities for the fixed locus of σ and σ² in these three cases. We obtain a complete classifiction for the non-symplectic automorphisms of order 8 on a K3 surfaces.In the second part of the thesis, we classify K3 surfaces with non-symplectic automorphism of order 16 in full generality. We show that the fixed locus contains only rational curves and isolated points and we completely classify the seven possible configurations. If the Néron-Severi group has rank 6, there are two possibilities and if its rank is 14, there are five possibilities. In particular ifthe action of the automorphism is trivial on the Néron-Severi group, then we show that its rank is six.Finally, we construct several examples corresponding to several cases in the classification of the non-symplectic automorphisms of order 8 and we give an example for each case in the classification of the non-symplectic automorphisms of order 16.

Cette thèse a pour objet l'étude de quelques propriétés arithmétiques et géométriques des variétés de Shimura orthogonales. Ces variétés apparaissent naturellement comme espaces de modules de structures de Hodge de type K3. Dans certains cas, elles paramètrent des objets géométriques tels que les surfaces K3 et leurs analogues en dimensions supérieures, les variétés hyperkähleriennes. Ce point de vue modulaire sera notre fil conducteur tout au long de ce mémoire. Ainsi, dans la première partie, on démontre un résultat d'équirépartition du lieu de Hodge dans les variations de structures de Hodge de type K3 au dessus d'une courbe complexe quasi-projective. Dans la deuxième partie, on étudie des analogues arithmétiques du résultat précédent. Un exemple d'énoncés qu'on obtient est le suivant: étant donnée une surface K3 définie sur un corps de nombres et ayant partout bonne réduction, alors sous certaine hypothèse d'approximation, il existe une spécialisation telle que le nombre de Picard géométrique croît strictement. Dans la troisième partie, on relie les problèmes du saut de nombre de Picard dans les familles de surfaces K3 à la question de construction de courbes rationnelles sur ces surfaces. Enfin, on étend un résultat de Bogomolov et Tschinkel. On montre notamment que toute surface K3 définie sur un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque et admettant une fibration elliptique non-isotriviale contient une infinité de courbes rationnelles. / This thesis deals with some arithmetical and geometrical aspects of orthogonal Shimura varieties. These varieties appear naturally as moduli spaces of Hodge structures of K3 type. In some cases, they parametrize geometric objects as K3 surfaces and their analogous in higher dimensions, the hyperkähler varieties. This modular point of view will be our guiding principle throughout this dissertation. In the first part, we prove an equidistribution result of the Hodge locus in variations of Hodge structures of K3 type above complex quasi-projective curves. In the second part, we study analogous results in the arithemtic setting. An example of statements we get is the following: given a K3 surface having everywhere good reduction and satisfying an approximation hypothesis, there exists a specialization with strictly increasing geometric Picard rank. In both cases, our methods take advantage of the rich arithmetic, automorphic and geometric structure of orthogonal Shimura varieties as well as the Kuga-Satake construction that links them to moduli spaces of abelian varieties. Finally, we extend a result of Bogomolov and Tschinkel. In particular, we show that any K3 surface defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic and admitting a non-isotrivial elliptic fibration contains infinitely many rational curves.

Une surface K3 est une surface X complexe compacte projective lisse qui a fibré canonique trivial et h0;1(X) = 0. Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes pour ces surfaces. D'abord on considère des surfaces K3 obtenues comme recouvrement double de P2 ramifié le long d'une sextique. On classifie les fibrations elliptiques sur ces surfaces et leur groupe de Mordell-Weil, c'est-à-dire le groupe des sections. Vu que une section de 2-torsion définit une involution de la surface (dite involution de van Geemen-Sarti), alors en classifiant les fibrations et les section de 2-torsion on obtient une classification complète des involutions de van Geemen-Sarti sur ce type de surfaces K3. On montre aussi comment calculer l'équation de la fibration et on étudie le quotient par l'involution de van Geemen-Sarti. Ensuite on montre la construction de Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR): il s'agit d'une construction miroir qui part d'un polynôme dans un espace projectif à poids et d'un groupe d'automorphismes (avec certaines propriétés) et qui donne, en toute dimension, des paires de variétés Calabi-Yau. Ces deux variétés sont l'une miroir de l'autre en sense classique. On classifie toutes les paires de surfaces K3 obtenues avec cette construction qui aient en plus un automorphisme non{symplectique d'ordre premier p > 3. Pour les surfaces K3 une autre notion de symétrie miroir a été introduite par Dolgachev et Nikulin : la symétrie pour K3 polarisées (LPK3). On montre dans la thèse comment polariser les surfaces obtenues avec la construction BHCR et on preuve que deux surfaces miroir au sense BHCR, dûment polarisées, appartiennent à deux familles miroir LPK3. / A K3 surface is a complex compact projective surface X which is smooth and such that its canonical bundle is trivial and h0;1(X) = 0. In this thesis we study two different topics about K3 surfaces. First we consider K3 surfaces obtained as double covering of P2 branched on a sextic curve. For these surfaces we classify elliptic fibrations and their Mordell-Weil group, i.e. the group of sections. A 2-torsion section induces a symplectic involution of the surface, called van Geemen-Sarti involution. The classification of elliptic fibrations and 2-torsion sections allows us to classify all van Geemen-Sarti involutions on the class of K3 surfaces we are considering. Moreover, we give details in order to obtain equations for the elliptic fibrations and their quotient by the van Geemen-Sarti involutions. Then we focus on the mirror construction of Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR). This construction starts from a polynomial in a weighted projective space together with a group of diagonal automorphisms (with some properties) and gives a pair of Calabi-Yau varieties which are mirror in the classical sense. The construction works for any dimension. We use this construction to obtain pairs of K3 surfaces which carry a non-symplectic automorphism of prime order p > 3. Dolgachev and Nikulin proposed another notion of mirror symmetry for K3 surfaces: the mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces (LPK3). In this thesis we show how to polarize the K3 surfaces obtained from the BHCR construction and we prove that these surfaces belong to LPK3 mirror families.

Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique. / We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution.

Dans ce travail, nous classifions les automorphismes non-symplectiques des variétés équivalentes par déformations à des variétés de Kummer généralisées de dimension 4, ayant une action d'ordre premier sur le réseau de Beauville-Bogomolov. Dans un premier temps, nous donnons les lieux fixes des automorphismes naturels de cette forme. Par la suite, nous développons des outils sur les réseaux en vue de les appliquer à nos variétés. Une étude réticulaire des tores complexes de dimension 2 permet de mieux comprendre les automorphismes naturels sur les variétés de type Kummer. Nous classifions finalement tous les automorphismes décrits précédemment sur ces variétés. En application de nos résultats sur les réseaux, nous complétons également la classification des automorphismes d'ordre premier sur les variétés équivalentes par déformations à des schémas de Hilbert de 2 points sur des surfaces K3, en traitant le cas de l'ordre 5 qui restait ouvert. / Ln this work, we classify non-symplectic automorphisms of varieties deformation equivalent to 4-dimensional generalized Kummer varieties, having a prime order action on the Beauville-Bogomolov lattice. Firstly, we give the fixed loci of natural automorphisms of this kind. Thereafter, we develop tools on lattices, in order to apply them to our varieties. A lattice-theoritic study of 2-dimensional complex tori allows a better understanding of natural automorphisms of Kummer-type varieties. Finaly, we classify all the automorphisms described above on thos varieties. As an application of our results on lattices, we complete also the classification of prime order automorphisms on varieties deformation-equivalent to Hilbert schemes of 2 points on K3 surfaces, solving the case of order 5 which was still open.