This thesis consists of several problems concerning numerical approximations for stochastic differential equations, and is divided into three parts. The first one is on the integrability and asymptotic stability with respect to a certain class of Lyapunov functions, and the preservation of the comparison theorem for the explicit numerical schemes. In general, those properties of the original equation can be lost after discretisation, but it will be shown that by some suitable modification of the Euler scheme they can be preserved to some extent while keeping the strong convergence rate maintained. The second part focuses on the approximation of iterated stochastic integrals, which is the essential ingredient for the construction of higher-order approximations. The coupling method is adopted for that purpose, which aims at finding a random variable whose law is easy to generate and is close to the target distribution. The last topic is motivated by the simulation of equations driven by Lévy processes, for which the main difficulty is to generalise some coupling results for the one-dimensional central limit theorem to the multi-dimensional case.

abstract: Approximately 1% of the world population suffers from epilepsy. Continuous long-term electroencephalographic (EEG) monitoring is the gold-standard for recording epileptic seizures and assisting in the diagnosis and treatment of patients with epilepsy. However, this process still requires that seizures are visually detected and marked by experienced and trained electroencephalographers. The motivation for the development of an automated seizure detection algorithm in this research was to assist physicians in such a laborious, time consuming and expensive task. Seizures in the EEG vary in duration (seconds to minutes), morphology and severity (clinical to subclinical, occurrence rate) within the same patient and across patients. The task of seizure detection is also made difficult due to the presence of movement and other recording artifacts. An early approach towards the development of automated seizure detection algorithms utilizing both EEG changes and clinical manifestations resulted to a sensitivity of 70-80% and 1 false detection per hour. Approaches based on artificial neural networks have improved the detection performance at the cost of algorithm's training. Measures of nonlinear dynamics, such as Lyapunov exponents, have been applied successfully to seizure prediction. Within the framework of this MS research, a seizure detection algorithm based on measures of linear and nonlinear dynamics, i.e., the adaptive short-term maximum Lyapunov exponent (ASTLmax) and the adaptive Teager energy (ATE) was developed and tested. The algorithm was tested on long-term (0.5-11.7 days) continuous EEG recordings from five patients (3 with intracranial and 2 with scalp EEG) and a total of 56 seizures, producing a mean sensitivity of 93% and mean specificity of 0.048 false positives per hour. The developed seizure detection algorithm is data-adaptive, training-free and patient-independent. It is expected that this algorithm will assist physicians in reducing the time spent on detecting seizures, lead to faster and more accurate diagnosis, better evaluation of treatment, and possibly to better treatments if it is incorporated on-line and real-time with advanced neuromodulation therapies for epilepsy. / Dissertation/Thesis / M.S. Electrical Engineering 2012

>Magister Scientiae - MSc / The influx of infecteds into a population plays a critical role in HIV transmission. These infecteds are known to migrate from one region to another, thereby having some interaction with a host population. This interactive mobility or migration causes serious public health problems. In a very insightful paper by Shedlin et al. [51], the authors discover risk factors but also beneficial factors with respect to fighting human immunodeficiency virus (HIV) transmission, in the lifestyles of immigrants from different cultural backgrounds. These associated behavioral factors with cross-cultural migrations have not received adequate theoretical a attention. In this dissertation we use the compartmental model of Bhunu et al. [6] to form a new model of the HIV epidemic, to include the effect of infective immigrants in a given population. In fact, we first produce a deterministic model and provide a detailed analysis. Thereafter we introduce stochastic perturbations on the new model and study stability of the disease-free equilibrium (DFE) state. We investigate theoretically and computationally how cross-cultural migrations and public health education impacts on the HIV transmission, and how best to intervene in order to minimize the spread of the disease. In order to understand the long-time progression of the disease, we calculate the threshold parameter, known as the basic reproduction number, R0. The basic reproduction number has the property that if R0 is sufficiently small, usually R0 < 1, then the disease eventually vanishes from the population, but if R0 > 1, the disease persists in the population. We study the sensitivity of the basic reproduction number with respect to model parameters. In this regard, if R0 < 1, we show that the DFE is locally asymptotically stable. We also show global stability of the DFE using the Lyapunov method. We derive the endemic equilibrium points of our new model. We intend to counteract the negative effect of the influx of infecteds into a population with educational campaigns as a control strategy. In doing so, we employ optimal control theory to find an optimal intervention on HIV infection using educational campaigns as a basic input targeting the host population. Our aim is to reduce the total number of infecteds while minimizing the cost associated with the use of educational campaign on [0, T ]. We use Pontryagin’s maximum principle to characterize the optimal level of the control. We investigate the optimal education campaign strategy required to achieve the set objective of the intervention. The resulting optimality system is solved numerically using the Runge-Kutta fourth order method. We present numerical results obtained by simulating the optimality system using ODE-solvers in MATLAB program. We introduce randomness known as white noise into our newly formed model, and discuss the almost sure exponential stability of the disease-free equilibrium. Finally, we verify the analytical results through numerical simulations.

Neste trabalho utiliza-se como sistema dinâmico o circuito eletrônico que integra o sistema de equações acopladas de Rossler modificado. Este sistema possui uma nãolinearidade dada por uma função linear por partes e apresenta comportamento caótico para certos valores dos seus parâmetros. Isto e evidenciado pela rota de dobramento de período obtida variando-se um dos parâmetros do sistema. A caracterização experimental da dinâmica do sistema Rossler modificado e realizada através do diagrama de bifurcações. Apresenta-se uma fundamentação teórica de sistemas dinâmicos introduzindo conceitos importantes tais como atratores estranhos, variedades invariantes e tamb em uma análise da estabilidade de comportamentos assintóticos como pontos fixos e ciclos limites. Para uma caracterização métrica do caos, apresenta-se a definção dos expoentes de Lyapunov. São introduzidos também os expoentes de Lyapunov condicionais e transversais, que estão relacionados com a teoria de sincronizção de sistemas caóticos. A partir de uma montagem mestre-escravo, onde dois osciladores de Rossler estão acoplados unidirecionalmente, introduz-se a de nição de sincronização idêntica, sincronização de fase e variedade de sincronização. Demonstra-se a possibilidade de sincronização em uma rede de osciladores caóticos de Rossler, acoplados simetricamente via acoplamento de primeiros vizinhos. A rede composta por seis osciladores mostrou ser adequada pelo fato de apresentar uma rica estrutura espacial e, ao mesmo tempo, ser experimentalmente implementável. Além da sincronização global (osciladores identicamente sincronizados), obtém-se a sincronização parcial, onde parte dos osciladores sincronizam entre si e a outra parte não o faz. Esse tipo de sincronização abre a possibilidade da formação de padrões de sincronização e, portanto, exibe uma rica estrutura de comportamentos dinâmicos. A sincronização parcial e investigada em detalhes e apresentam-se vários resultados. A principal ferramenta utilizada na análise experimental e numérica e a inspeção visual do gráfico yi yj , fazendo todas as combinações entre elementos diferentes (i e j) da rede. Na análise numérica obtém-se como resultado complementar o máximo expoente de Lyapunov transversal, que descreve a estabilidade da variedade de sincronização global.

Nas últimas décadas uma considerável parcela das pesquisas nas áreas de Física e Matemática tem sido dedicada ao estudo de fenômenos não lineares. Uma possível explicação para isso foi o rápido desenvolvimento de sistemas computacionais, tanto em nível de hardware quanta em nível de software, algoritmos e técnicas de programação que propiciaram ao homem maiores facilidades no tratamento de sistemas não lineares, o que levou a um maior grau de entendimento de sua complexidade. Geralmente, aos sistemas não lineares esta associada uma geometria irregular, onde comum o aparecimento de regimes caóticos, com um conjunto atrator de órbitas cuja dimensão não é um inteiro positivo, mas sim um número real positivo. Por esta razão, tais atratores, são denominados estranhos e ditos possuírem uma geometria fractal. É possível, através de métodos cuidadosamente desenvolvidos, estimar-se as dimensões associadas à dinâmica de séries temporais. Uma das séries de maior dificuldade de análise através do computador, e de particular interesse na medicina, são as séries de sons pulmonares humanos. Desde quando o estetoscópio foi inventado até os dias de hoje não há uma ferramenta plenamente confiável para a análise destas séries. Recentemente, temos trabalhado com estas séries e verificamos que há uma geometria fractal. Esta tese propõe a utilização da análise não-linear para identificação de padrões sonoros. Além da geometria fractal, a análise por wavelets tem sido utilizada no estudo de sinais complexos, sobretudo naqueles que apresentam estruturas fractais. O conjunto de filtros construído através da translação, expansão ou compressão de uma função wavelet mãe tem uma estrutura auto-similar, mostrando-se particularmente apropriado para a verificação da auto similaridade dos sons. A técnica da estimativa dos expoentes de Lyapunov dependente do tempo, a qual e desenvolvida na tese, tem se mostrado bastante adequada para identificação de padrões sonoros de origem pulmonar. / It has been observed that in the last decades, considerable amount of the research in the areas of Physics and Mathematics have been dedicated to the study of nonlinear phenomena. A possible explanation for this fact is the fast development of computational systems occurring in the level of the hardware as in computer languages, algorithms and programming techniques. These developments propitiated to the researchers a broader contact with nonlinear systems, which led to a better understanding of their complexity. In general, for nonlinear systems an irregular geometry is associated, where the appearance of chaotic regimes has an associated attractor set of orbits whose dimension is not a positive integer number, but a real one. Such attractors are called strange and said to possess fractal geometry. It is possible, through carefully developed methods, to estimate the dimension associated to the dynamics of time series. One of the series with high difficulty to be analyzed through a computer and of particular interest in medicine, is the time series generated out of human pulmonary sounds. Since the creation of the stethoscope, there is not yet a fully trustworthy tool for the lung sound analysis. Recently, we have studied these series and verified that they have a fractal geometry nature. The purpose of this thesis is to investigate non-linear analysis as a tool for pattern recognition in lung sounds. In addition to fractal geometry, the wavelet analysis has been used in the study of complex signs, in particular for those presenting a fractal structure. The set of filters constructed through the translation, expansion or compression of a function wavelet mother has an auto-similar structure, being particularly useful for the verification of self similarity of pulmonary sounds. The largest time dependent Lyapunov exponent estimation technique that has been proposed in this thesis has shown a high degree of confidence for the identification of lung sound patterns.

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This dissertation introduces a Dynamical Neural Network (DNN) model based adaptive inverse optimal control design for a class of nonlinear systems. A DNN structure is developed and stabilized based on a control Lyapunov function (CLF). The CLF must satisfy the partial Hamilton Jacobi-Bellman (HJB) equation to solve the cost function in order to prove the optimality. In other words, the control design is derived from the CLF and inversely achieves optimality when the given cost function variables are determined posterior. All the stability of the closed loop system is ensured using the Lyapunov-based analysis. In addition to structure stability, uncertainty/ disturbance presents a problem to a DNN in that it could degrade the system performance. Therefore, the DNN needs a robust control against uncertainty. Sliding mode control (SMC) is added to nominal control design based CLF in order to stabilize and counteract the effects of disturbance from uncertain DNN, also to achieve global asymptotic stability. In the next section, a DNN observer is considered for estimating states of a class of controllable and observable nonlinear systems. A DNN observer-based adaptive inverse optimal control (AIOC) is needed. With weight adaptations, an adaptive technique is introduced in the observer design and its stabilizing control. The AIOC is designed to control a DNN observer and nonlinear system simultaneously while the weight parameters are updated online. This control scheme guarantees the quality of a DNN's state and minimizes the cost function. In addition, a tracking problem is investigated. An inverse optimal adaptive tracking control based on a DNN observer for unknown nonlinear systems is proposed. Within this framework, a time-varying desired trajectory is investigated, which generates a desired trajectory based on the external inputs. The tracking control design forces system states to follow the desired trajectory, while the DNN observer estimates the states and identifies unknown system dynamics. The stability method based on Lyapunov-based analysis is guaranteed a global asymptotic stability. Numerical examples and simulation studies are presented and shown for each section to validate the effectiveness of the proposed methods.

In this work, we establish the Lyapunov-type inequalities for the fractional boundary value problems with Hilfer derivative for different boundary conditions. We apply this inequality to fractional eigenvalue problems and prove one of the important results of real zeros of certain Mittag-Leffler functions and improve the bound of the eigenvalue using the Cauchy-Schwarz inequality and Semi-maximum norm. We extend it for higher order cases.

Neste trabalho utiliza-se como sistema dinâmico o circuito eletrônico que integra o sistema de equações acopladas de Rossler modificado. Este sistema possui uma nãolinearidade dada por uma função linear por partes e apresenta comportamento caótico para certos valores dos seus parâmetros. Isto e evidenciado pela rota de dobramento de período obtida variando-se um dos parâmetros do sistema. A caracterização experimental da dinâmica do sistema Rossler modificado e realizada através do diagrama de bifurcações. Apresenta-se uma fundamentação teórica de sistemas dinâmicos introduzindo conceitos importantes tais como atratores estranhos, variedades invariantes e tamb em uma análise da estabilidade de comportamentos assintóticos como pontos fixos e ciclos limites. Para uma caracterização métrica do caos, apresenta-se a definção dos expoentes de Lyapunov. São introduzidos também os expoentes de Lyapunov condicionais e transversais, que estão relacionados com a teoria de sincronizção de sistemas caóticos. A partir de uma montagem mestre-escravo, onde dois osciladores de Rossler estão acoplados unidirecionalmente, introduz-se a de nição de sincronização idêntica, sincronização de fase e variedade de sincronização. Demonstra-se a possibilidade de sincronização em uma rede de osciladores caóticos de Rossler, acoplados simetricamente via acoplamento de primeiros vizinhos. A rede composta por seis osciladores mostrou ser adequada pelo fato de apresentar uma rica estrutura espacial e, ao mesmo tempo, ser experimentalmente implementável. Além da sincronização global (osciladores identicamente sincronizados), obtém-se a sincronização parcial, onde parte dos osciladores sincronizam entre si e a outra parte não o faz. Esse tipo de sincronização abre a possibilidade da formação de padrões de sincronização e, portanto, exibe uma rica estrutura de comportamentos dinâmicos. A sincronização parcial e investigada em detalhes e apresentam-se vários resultados. A principal ferramenta utilizada na análise experimental e numérica e a inspeção visual do gráfico yi yj , fazendo todas as combinações entre elementos diferentes (i e j) da rede. Na análise numérica obtém-se como resultado complementar o máximo expoente de Lyapunov transversal, que descreve a estabilidade da variedade de sincronização global.

La orientación general de este trabajo concierne la explotación óptima de recursos naturales renovables con un interés particular en las plantaciones forestales compuestas por múltiples especies.