Ce mémoire décrit mes travaux de recherche sur l'analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation d'ondes. Le premier chapitre est consacré à des méthodes numériques pour la propagation ou la diffraction d'ondes élastiques dans des solides : (i) potentiels retardés dans des milieux élastiques homogènes isotropes, (ii) méthodes d'imagerie sismique par tomographie, (iii) équations paraxiales, (iv) éléments finis mixtes pour l'élasto-dynamique. Ce dernier point, (iv), le plus détaillé ici, s'inscrit dans une stratégie générale pour obtenir une méthode numérique performante pouvant traiter des milieux complexes (anisotropes, hétérogènes) avec des obstacles de géométrie quelconque. Il a été développé dans l'optique d'utiliser la méthode des domaines fictifs qui fait l'objet du deuxième chapitre. Après une description de cette méthode sur un problème modèle scalaire, elle est présentée tout d'abord pour un problème de diffraction d'ondes élastiques par une fissure modélisée soit par une condition de surface libre soit par une condition de contact unilatéral, puis pour un problème d'acoustique musicale (modélisation de la guitare). Le troisième chapitre traite de questions de conditions aux limites artificielles utilisées pour borner le domaine de calcul. Des méthodes de couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) sont analysées pour des problèmes transitoires (électromagnétisme, acoustique, élasto-dynamique, système hyperbolique général du premier ordre) puis pour un problème d'acoustique en écoulement en régime harmonique. Le mémoire se termine par un point sur les travaux en cours et des perspectives ouvertes par ces travaux.

Le propos de cette étude est la modélisation numérique de la guitare acoustique dans le domaine temporel. La méthode consiste en l'élaboration d'un modèle qui s'attache à décrire les phénomènes vibratoires et acoustiques mis en jeu depuis le pincer de corde jusqu'au rayonnement 3D du son. La corde est modélisée par une équation des ondes amortie 1D. Elle est couplée à la table d'harmonie via le chevalet. Le mouvement de la table est régi par le modèle de plaque mince amortie de Kirchhoff--Love pour un matériau orthotrope et hétérogène, percée d'un trou et encastrée sur son bord externe. Le reste du corps de la guitare (fond, bords, manche...) est supposé rigide. La table rayonne à l'intérieur et à l'extérieur de la cavité. La modélisation complète du champ acoustique rayonné est une approche originale comparativement aux études antérieures portant sur la guitare. On obtient un système d'équations aux dérivées partielles que l'on résout numériquement dans le domaine temporel. On utilise une méthode spectrale spécifique pour la résolution de l'équation de plaque dynamique de Kirchhoff-Love. Pour l'équation de corde et l'équation des ondes acoustiques, on utilise une méthode mixte standard pour l'approximation spatiale et des différences finies centrées en temps. Le problème d'interaction fluide-structure est résolu par une méthode de domaines fictifs qui permet d'approcher finement la géométrie de la guitare tout en utilisant un maillage cubique régulier pour le calcul du champ sonore 3D. L'originalité du schéma de résolution du modèle est un couplage stable entre une méthode de résolution exacte en temps et une méthode discrète. Un nombre important de simulations numériques est réalisées, montrant la validité de la méthode et les très riches potentialités d'une telle approche.

Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un milieu granulaire, elle est susceptible de provoquer la mobilité des grains, aussi infime soit-elle. Inversement, la mobilité d'un grain dans une matrice fluide peut induire un champ acoustique et dans les deux cas, l'énergie acoustique peut être transférée à la fois au travers des pores et des contacts entre grains. Nous avons mis au point un modèle original permettant de considérer ces deux modes de transfert d'énergie pour simuler la propagation d'ondes acoustiques dans les milieux granulaires immergés. Dans le cas des milieux granulaires secs, l'inertie du fluide est telle que l'énergie transférée dans l'air peut être négligée et le milieu modélisé avec des algorithmes de type "dynamique moléculaire". Au contraire, dans le cas de milieux immergés, l'énergie portée par le fluide ne peut pas être négligée et nous montrons que la méthode des domaines fictifs basée sur les multiplicateurs de Lagrange distribués permet de coupler les équations de la dynamique et l'équation d'onde. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour propager l'onde dans le fluide, les grains étant modélisés en 2D par des sphères rigides et incompressibles afin de satisfaire les hypothèses de l'algorithme de dynamique moléculaire. Les résultats du modèle sur des expériences numériques simples mais pour lesquelles existent des solutions analytiques de l'acoustique mettent en évidence la validité du nouveau modèle. Nous en donnons une illustration pour l'étude des interactions subies par un empilement réaliste de multiples grains mobiles soumis à un signal acoustique.

Cette thèse concerne l'étude des interactions entre le plasma et la paroi d'un réacteur à fusion nucléaire de type tokamak. L'objectif est de proposer des méthodes de résolution des systèmes d'équations issus de modèles de plasma de bord. Nous nous sommes intéressés au traitement de deux difficultés qui apparaissent lors de la résolution numérique de ces modèles. La première difficulté est liée à la forme complexe de la paroi du tokamak. Pour cela, il a été choisi d'utiliser des méthodes de pénalisation volumique. Des tests numériques de plusieurs méthodes de pénalisation ont été réalisés sur un problème hyperbolique non linéaire avec un domaine 1D. Une de ces méthodes a été étendue à un système hyperbolique quasilinéaire avec bord non caractéristique et conditions aux limites maximales strictement dissipatives sur un domaine multidimensionnel : il est alors démontré que cette méthode de pénalisation ne génère pas de couche limite. La deuxième difficulté provient de la forte anisotropie du plasma, entre la direction parallèle aux lignes de champ magnétique et la direction radiale. Pour le potentiel électrique, cela se traduit par une résistivité parallèle très faible. Afin d'éviter les difficultés liées au fait que le problème devient mal posé quand la résistivité parallèle tend vers 0, nous avons utilisé des méthodes de type asymptotic-preserving (AP). Pour les problèmes non linéaires modélisant le potentiel électrique avec un domaine 1D et 2D, nous avons fait l'analyse théorique ainsi que des tests numériques pour deux méthodes AP. Des tests numériques sur le cas 1D ont permis une étude préliminaire du couplage entre les méthodes de pénalisation volumique et AP. / This thesis deals with the study of wall plasma interactions in a nuclear fusion reactor such as a tokamak. The goal is to propose methods to solve partial differential equations issued from edge plasma models. We focus on two difficulties for the numerical resolution of these models. The first issue concerns the complex shape of the tokamak wall: we choose volume penalty methods. Numerical tests on several penalization methods have been performed on a nonlinear hyperbolic problem. One of these methods has been extended to a quasilinear hyperbolic system with a non characteristic boundary and maximally strictly dissipative boundary conditions on a multidimensional domain: it is proven that this penalty method does not generate any boundary layer. The second question comes from the strong plasma anisotropy between the direction parallel to the magnetic field lines and the radial one. Concerning the electrical potential, this results in a very low parallel resistivity. In order to avoid the troubles due to the ill-posedness of the equations when the parallel resistivity tends to 0, we study asymptotic preserving (AP) methods. For 1D and 2D nonlinear models of the electrical potential, we performed the theoretical analysis and numerical simulations for two AP methods. A preliminary study of the coupling between volume penalty and AP methods is also presented.

A l'échelle de plusieurs dizaines de millions d'années, un système de subduction implique de grandes déformations de la plaque plongeante assimilée un solide viscoélastique, et du manteau supérieur assimilé à un fluide newtonien. L'objectif de ce travail est de développer une stratégie de couplage solide-fluide appliquée à l'étude de l'interaction lithosphère-asthénosphère. Cette stratégie est basée sur l'utilisation de maillages non-conformes aux interfaces et d'une méthode de domaines fictifs (MDF) pour la résolution du problème fluide. Pour l'efficience des modèles 3D, nous employons une formulation simplifiée de la méthode de domaines fictifs par multiplicateurs de Lagrange. La MDF développée est validée par des comparaisons avec des solutions analytiques qui montrent que la méthode est d'ordre 1. La stratégie de couplage est également validée par la comparaison avec d'autres méthodes de couplage solide-fluide. Une première étude est ensuite menée pour analyser l'influence de certains paramètres rhéologiques et cinématiques sur la dynamique d'une subduction contrôlée par les vitesses des plaques. Cette étude, en 2D, concerne plus spécifiquement le mécanisme de plissement périodique du slab lorsque celui-ci est ancré à 660 km de profondeur. Ce mécanisme induit des variations de pendage du slab générant des variations de l'état de contrainte de la plaque chevauchante. Un intérêt particulier est porté sur l'influence de la viscosité du manteau sur les plissements. Dans ce cadre, nous réalisons une application à la subduction andine. / Over the time scale of tens of millions of years, a subduction system involves large deformations of tectonics plates, as one plate sinks into the Earth's mantle. The aim of this work was to develop a soli-fluid coupling method applied to the lithosphere-asthenosphere interaction in the context of subduction zones. Plates were assumed to behave as viscoelastic bodies, while the upper mantle was assimilated to a newtonian fluid. The method developped here is based on the use of non-matching interface meshes and a fictitious domain method (FDM) for the fluid problem. To optimize the computational efficiency of 3D model, we used a simplified version of the Lagrange multipliers fictitious domain method. The developped FDM has been benchmarked with analytical solutions and we showed that this FDM is a first-order method. The coupling method has also been compared to other fluid-solid coupling methods using matching interfaces meshes. A first two-dimensional study was performed in order to evaluate the influence of some rheological and kinematic parameters on the dynamics of a subduction controlled by the velocity of the plates. This study aimed at investigating cyclic slab folding over a rigid 660 km depth transition zone. This folding mechanism induces variations in slab dip that generate variations in the stress state of the overriding plate. We focussed on the influence of the upper mantle viscosity on slab folding. We also applied this model to the Andean subduction zone. Several studies have determined a cyclic variation of the South-American tectonic regime (period of 30-40~Myrs) which may have been related to the slab dip evolution.

Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un milieu granulaire, elle est susceptible de provoquer la mobilité des grains, aussi infime soit-elle. Inversement, la mobilité d'un grain dans une matrice fluide peut induire un champ acoustique et dans les deux cas, l'énergie acoustique peut être transférée à la fois au travers des pores et des contacts entre grains. Nous avons mis au point un modèle original permettant de considérer ces deux modes de transfert d'énergie pour simuler la propagation d'ondes acoustiques dans les milieux granulaires immergés. Dans le cas des milieux granulaires secs, l'inertie du fluide est telle que l'énergie transférée dans l'air peut être négligée et le milieu modélisé avec des algorithmes de type "dynamique moléculaire". Au contraire, dans le cas de milieux immergés, l'énergie portée par le fluide ne peut pas être négligée et nous montrons que la méthode des domaines fictifs basée sur les multiplicateurs de Lagrange distribués permet de coupler les équations de la dynamique et l'équation d'onde. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour propager l'onde dans le fluide, les grains étant modélisés en 2D par des sphères rigides et incompressibles afin de satisfaire les hypothèses de l'algorithme de dynamique moléculaire. Les résultats du modèle sur des expériences numériques simples mais pour lesquelles existent des solutions analytiques de l'acoustique mettent en évidence la validité du nouveau modèle. Nous en donnons une illustration pour l'étude des interactions subies par un empilement réaliste de multiples grains mobiles soumis à un signal acoustique. / When an acoustic wave propagates through a granular medium, it causes the grains to move, usually very slightly. In the same way, the movement of a grain embedded in a fluid matrix generates an acoustic wave. In both cases, acoustic energy is transmitted by the fluid and by the inter-granular contacts. We have developed a new numerical model for simulating wave propagation in submerged granular media that takes into account these two modes of energy transport. For the case of dry granular media, the grains are embedded in air whose inertia is so low that the energy it carries can be neglected. These media can be modeled with "Molecular Dynamics" or related methods. On the contrary, when granular media are submerged in water, the energy carried by the fluid cannot be neglected, rendering their modelization much more difficult. We use the fictitious domain method with distributed Lagrange multipliers to couple the equation of motion of the grains to the wave equation of the fluid. We use finite elements to propagate the wave in the fluid, and the grains are modeled in 2D by rigid, incompressible spheres compatible with the hypotheses of Molecular Dynamics. To validate the model, we perform series of numerical experiments whose results are compared to analytic solutions from acoustics. We also perform a simulation with hundreds of grains under an incident wave to demonstrate the possibilities of the model.