Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à la mise en place de schémas semi-implicites pour l’amélioration des simulations numériques du déplacement d’un globule rouge dans le sang. Nous considérons la méthode levelset, où l’interface fluide-structure est représentée comme la ligne de niveau 0 d’une fonction auxiliaire et le couplage est effectué en ajoutant un terme source dans l’équation fluide.Le principe de ces schémas semi-implicites est de prédire la position et la forme de la structure par une équation de la chaleur et d’utiliser cette prédiction pour obtenir un terme de force dans l’équation fluide plus précis. Ce type de schémas semi-implicites a d’abord été mis en place dans le cadre d’un système diphasique ou d’une membrane élastique immergée afin d’utiliser un plus grand pas de temps que pour un couplage explicite. Cela a permis d’améliorer les conditions sur le pas de temps et ainsi augmenter l’efficacité globale de l’algorithme complet par rapport à un schéma explicite classique.Pour étendre ce raisonnement au cas d’un globule rouge, nous proposons un algorithme pour simuler le flot de Willmore en dimension 2 et 3. Notre méthode s’inspire des méthodes de mouvements d’interface générés par diffusion et nous arrivons à obtenir un flot non linéaire d’ordre 4 uniquement avec des résolutions d’équations de la chaleur. Pour assurer la conservation du volume et de l’aire d’un globule rouge, nous proposons ensuite une méthode de correction qui déplace légèrement l’interface afin de recoller aux contraintes.La combinaison des deux étapes précédentes décrit le comportement d’un globule rouge laissé au repos. Nous validons cette méthode en obtenant une formed’équilibre d’un globule rouge. Nous proposons enfin un schéma semi-implicite dans le cas d’un globule rouge qui ouvre la voie vers l’utilisation de cette méthode comme prédicteur de l’algorithme de couplage complet. / In this work, we propose new semi-implicit schemes to improve the numerical simulations of the motion of an immersed red blood cell. We consider the levelset method where the interface is described as the 0 isoline of an auxiliary function and the fluid-structure coupling is done by adding a source term in the fluid equation.The idea of these semi-implicit scheme is to predict the position and the shape of the structure through a heat equation and to use this prediction to improve the accuracy of the source term in the fluid equation. This type of semi-implicit scheme has firstly been implemented in the case of a multiphase flow and a immersed elastic membrane and has shown better temporal stability than an explicit scheme, resulting in an improved global efficiency.In order extend this method to the case of a red blood cell, we propose an algorithm to compute the Willmore flow in dimenson 2 and 3. In the spirit of the diffusion generated motion methods, our method simulate a non linear four order flow by only solving heat equations. To ensure the conservation of the volume and area of the the vesicle, we add to the method a correction step that slightly moves the interface so that we recover the constraints.Combnation of these two steps allows to compute the behavior of a red blood cell left at rest. We validate this method by obtaining the convergence to an equilibrium shape in both 2D and 3D. Finaly we introduce a semi-implicit scheme in the case of a red blood cell that shows how we can use this method as a prediction in the complete coupling model.

En optimisation de formes, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le <br />cas de domaines à frontière régulière et pour des perturbations régulières de ces domaines. <br />Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple, <br />et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est <br />plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine de recherche est motivé par de multiples <br />applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées. Les <br />outils tels que la dérivée topologique permettent d'appréhender ces perturbations singulières <br />de domaines et leur utilisation est maintenant fréquente. <br /><br />Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, de classe C1 ou lipschitzien par exemple, <br />la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de <br />la normale. Ce théorème de structure n'est plus valable pour des domaines contenant des <br />fissures. On généralise ici ce théorème de structure aux domaines fissurés en dimension quelconque pour les dérivées premières et secondes. En dimension deux, on retrouve le résultat <br />usuel, à savoir qu'en plus du terme classique, deux nouvelles contributions apparaissent dûes <br />aux extrémités de la fissure. En dimension supérieure, un nouveau terme apparaît en plus du <br />terme classique, dû à la frontière de la variété à bord représentant la fissure. <br /><br />Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous <br />modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. Nous décrivons cette modélisation, puis nous montrons comment elle peut être utilisée pour un problème <br />d'optimisation de forme. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle. <br /><br />Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique <br />et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie <br />associée à la solution d'un problème de Signorini dans un domaine ­. L'évolution du domaine <br />est représentée à l'aide d'une méthode levelset.