Os processos de conformação de metais, apesar de sua extensa aplicação na indústria, tem seus projetos baseados principalmente em técnicas experimentais. Com o desenvolvimento e facilidade de acesso a computadores mais potentes, tornou-se viável a utilização de soluções numéricas como ferramentas de otimização das características do produto, do processo, bem como de seu custo. Um método numérico amplamente utilizado para simulação do processo de conformação é o Método dos Elementos Finitos, que permite a previsão do comportamento do fluxo de material durante a operação de conformação de chapas. Considera-se um blank com perfil ideal aquele onde a peça produzida a partir de sua conformação possua uma flange constante, minimizando ou eliminando a operação de retirada da rebarba. Com o objetivo de se obter o blank com perfil ideal para operação de conformação de chapas, desenvolveu-se uma metodologia de otimização geométrica da forma do blank, que trabalha integrada a um software comercial de análise pelo Método dos Elementos Finitos, o ANSYS/LS-Dyna3D. Apresentam-se os resultados aplicados à simulação da estampagem de uma peça prismática de base quadrada, como meio de validação da metodologia de otimização proposta. / The metal forming processes have extensive industrial application although their projects are based mainly in experimental techniques. With the development of more powerful computers, the use of numerical methods to design, simulate and optimize costs of such processes has become possible. Among the numerical methods, the Finite Element Method have large application in forming simulation, since it allows the prediction of the material flow during the sheet metal forming process. Ideal blank shape is that one which produces a part with constant flange, minimizing or eliminating trimming operations. In order to determine the ideal blank shape, this work developed a methodology to blank shape optimization. This optimization methodology has been integrated to a commercial Finite Element analysis software, the ANSYS/LS-Dyna3D. The results applied to a simulation of a square cup part are showed and discussed in order to validate the proposed optimization methodology.

O aumento no número de veículos tem levado a um exagerado aumento das colisões. Para diminuir a quantidade e a gravidade dos acidentes, a segurança veicular passou a ser um ponto determinante na concepção de um automóvel. Dentre as principais frentes de estudo da segurança veicular está a redução da energia cinética transmitida aos ocupantes quando de uma colisão. Neste caso, os projetos de veículos empregam absorvedores de impacto, também conhecidos pelo termo em inglês crash box, para absorver a energia cinética do impacto em energia de deformação da estrutura. Este estudo tem por objetivo avaliar o desempenho dos absorvedores de energia mais comuns na literatura e na indústria. A avaliação ocorre por meio de simulações numéricas usando o método dos elementos finitos e por considerações teóricas de várias medidas de eficiência. Uma vez identificados os absorvedores de melhor desempenho ao impacto, estes são considerados como base para análises paramétricas de forma e material de modo a se aumentar sua eficiência. / The increase in vehicle production has lead to an increase in the number os colisions. To reduce the amount and severity of accident vehicle safety became an important issue in automobile design. Among the main vehicle safety researches is the reduction in the kinectic energy transmitted to the occupants in a colision event. Impact absorbers or crash boxes transform the impact kinectic energy into plastic deformation. This research aims to asses the performance of the most common energy absorbers used in the industry. The assesment is done trough numerical simulations by finite element analysis and trough theoretical approaches using different effciency measures. The most successful absorbers are used as basis for optimizing its shape and material usage.

Flexible pipes are used in the offshore oil production to transport fluid and gas from the sea bead to the floating stations, and vice versa. These pipes have several concentric layers, of different materials, geometries and structural functions, since they are exposed to adverse operating environments, subjected to high internal and external pressures, high axial stresses and a series of dynamic loads. The local analysis is an important stage of a flexible pipe design and it consists on determining the stresses and strains distributions along the layers of the pipe. Multipurpose finite element packages are commonly used in the local analysis of flexible pipes, but they possess many limitations due to its generic nature, varying from the absence of specific tools for model creation to heavy restrictions of the number of degrees-of-freedom to make computational processing feasible. At the Polytechnic School of the University of São Paulo, within a research line in progress, several finite macroelements were formulated specifically for structural analysis of flexible pipes, taking into account their particularities, such as geometric patterns and layers assemblage. However, the numerical tools that implement these elements present very high memory and processing consumptions, limiting its usage for large-scale models. Therefore, this work has been motivated by memory and processing limitations of finite element structural analysis of flexible pipes for offshore applications. In this context, the Element-by-Element method, which does not require the global stiffness matrix, was chosen for its potential in memory reduction and processing capabilities, given its scalability and ease of parallelization. After an extensive literature review on numerical methods regarding the EBE method, it was chosen the Element-by-Element Diagonal Preconditioned Conjugate Gradient Method (EBE-PCG) algorithm. Aiming higher computational performance, the finite macroelements formulated by (PROVASI, 2013) were converted to the C++ language, implemented and parallelized in a new analysis tool, named as PipeFEM. The diagonal preconditioned EBE-PCG algorithm was implemented and parallelized with OpenMP. The scalability of the PCG algorithm is directly influenced by the efficiency of the matrix-vector product, an operation that, in the element-by-element method, is computed in a local basis with the blocks that comprise the model, and that requires synchronization techniques when performed in parallel. Four different synchronization strategies were developed, being the one based on geometric- and mesh- based mappings the most efficient of them. Numerical experiments showed a reduction of almost 92% in the EBE-PCG solution time of the parallelized version in comparison to the sequential one. In order to compare the efficiency of PipeFEM with the well-established finite element package ANSYS, a simplified flexible pipe was modeled in both software. PipeFEM was approximately 82 times faster than ANSYS to solve the problem, spending 24.27 seconds against 33 minutes and 18 seconds. In addition to this, PipeFEM required much less memory, 61.8MB against 6.8GB in ANSYS. In comparison to the dense version of MacroFEM, a reduction of more than three orders of magnitude was achieved in memory consumption. Despite the low the rate of convergence presented by the diagonal preconditioner, the implementation is very efficient in computational terms. Therefore, the objectives of this work were fulfilled with the development and application of the EBE method, allowing a reduction of memory and simulation costs. / Tubos flexíveis são utilizados na produção offshore de petróleo para o transporte de fluidos e gás natural das estruturas submersas até as estações flutuantes, e vice-versa. Estes tubos possuem diversas camadas concêntricas, de diferentes materiais, geometrias e funções estruturais, pois são expostos a ambientes adversos de operação, nos quais são submetidos à elevadas pressões internas e externas, elevados carregamentos e tensões axiais, além de uma série de carregamentos dinâmicos. A análise local é uma etapa importante do dimensionamento de um tubo flexível e consiste em determinar as distribuições de tensões e deformações ao longo das camadas do tubo. Pacotes multiuso de elementos finitos são comumente utilizados na análise local de tubos flexíveis, mas, devido as suas naturezas genéricas, possuem limitações que variam desde a ausência de ferramentas específicas para a criação de modelos até restrições pesadas no número total de graus de liberdade para tornar exequível o processo computacional. Na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, dentro de uma linha de pesquisa em andamento, diversos macroelementos finitos foram formulados especificamente para a análise estrutural de tubos flexíveis, levando em consideração as suas particularidades, como por exemplo padrões de geometrias e de montagem de camadas. Entretanto, a ferramenta numérica que implementa esses elementos apresenta elevado consumo de memória e de processamento, o que limita o seu uso para modelos de grande escala. Portanto, este trabalho foi motivado por limitações de memória e processamento em análises estruturais com o método dos elementos finitos para tubos flexíveis de aplicações offshore. Neste contexto, o método elemento-a-elemento, caracterizado pela eliminação da matriz global de rigidez, foi escolhido devido ao seu potencial de redução de consumo de memória e às suas capacidades de processamento, dada a sua escalabilidade e facilidade de paralelização. Após uma extensa revisão bibliográfica em métodos numéricos a respeito do método EBE, foi escolhido a versão diagonalmente precondicionada do método do gradiente conjugado (EBE-PCG). Com o intuito de se obter maior performance computacional, os macroelementos finitos formulados por (PROVASI, 2013) foram convertidos para a linguagem C++, paralelizados e implementado em uma nova ferramenta de análise chamada de PipeFEM, totalmente escrita em C++ e que explora paralelismo em todos as etapas. O algoritmo EBE-PCG foi implementado e paralelizado com OpenMP. A escalabilidade do algoritmo PCG é diretamente influenciada pela eficiência do produto entre matriz e vetor, uma operação que no método elemento-a-elemento é calculada na base local com os blocos que compõem o modelo, o que requer técnicas de sincronização quando realizada de modo paralelo. Quatro diferentes estratégias de sincronização foram desenvolvidas, sendo a mais eficiente delas a que utilizada mapeamentos baseados em características da geometria e malha. Experimentos numéricos mostraram uma redução de quase 92% no tempo de simulação do algoritmo PCG da versão paralelizada em relação à sequencial. De modo a comparar a eficiência do PipeFEM com o pacote bem estabelecido de elementos finitos, ANSYS, um tubo simplificado foi modelado em ambos os programas. PipeFEM foi aproximadamente 82 vezes mais rápido do que o ANSYS, gastando 24.27 segundos contra 33 minutos e 18 segundos. Além disso, PipeFEM consumiu muito menos memória, 61.8MB contra 6.8GB in ANSYS. Em comparação com a versão densa do MacroFEM, uma redução superior a três ordens de grandeza no consum e de memória foi obtida. Assim, apesar da baixa taxa de convergência apresentada pelo precondicionador diagonal, a implementação está muito eficiente em termos computacionais. Portanto, os objetivos deste trabalho foram alcançados com o desenvolvimento e aplicação do método EBE, o que permitiu uma redução considerável dos custos de simulação e memória.

Este trabalho objetiva o estudo específico, teórico e numérico, da determinação dos diferentes modos de colapso, elásticos e elastoplásticos, de uma estrutura tubular sujeita a esforços: pressão externa, flexão e flexo-pressurização. Entre os mais importantes elementos estruturais básicos, analisaremos inicialmente o modelo de um anel comprimido por uma carga radial. Isso significa determinar as pressões de instabilidade, elástica e elastoplástica, e de colapso, com os correspondentes modos, para anéis com diferentes relações diâmetro-espessura, D/t , submetidos a uma série gradual de pressões externas. A Estabilidade estrutural é computada utilizando uma formulação variacional, com discretização por elementos finitos. O modelo material pressupõe comportamento elastoplástico, com pequenas deformações. A análise não linear envolve a aplicação de pressurização externa aos anéis, de forma incremental, para a obtenção da resposta, tomando em conta a falta de circularidade inicial dos mesmos. Casos específicos envolvendo anéis de paredes finas e grossas serão considerados. Será analisado depois o estudo da resposta e da estabilidade de tubos de metal de parede fina e relativamente grossa sob flexão e flexo-pressurização através do método dos elementos finitos. Durante as últimas décadas este problema tem muito sido estudado através de métodos analíticos e experimentais. A maioria das soluções, entretanto, referem-se ao comportamento destas estruturas sob condições elásticas. No entanto, uma experiência de um elemento tubular é um problema inerentemente não linear com flambagem ou colapso do cilindro tomando lugar. Ás vezes com localização. Confrontaremos no final principalmente os resultados numéricos com aqueles da literatura, Kyriakides et al (1987), (1991) e (1992). / This work looks first at the determination of instability pressures as well as elastoplastic collapse, with the corresponding modes of rings with different diameter/thickness ratios under incremental external pressure loading and . Structural stability is computed by a variational formulation with discretization by finite elements. Material modeling considers elastoplastic behaviour with small deformations. Non Linear analysis produces the response curves considering lack of initial out-of-roundness. .After the response and stability of long and relatively thick wall metal tubes under bending and combined bending and external pressure were studied through experimental and analytical methods during the last decades. Most of the solutions, however, refered to the behavior under elastic conditions. In these cases we used the Finite Element Method with several discretizations. Nonetheless these experiments of a tube element is an inherently nonlinear problem with cylinder buckling or collapse taking place. Sometimes with localization. At the end numerical results are mainly compared to experimental measurements of Kyriakides et al (1987), (1991) e (1992).

O método dos elementos finitos é o método numérico mais difundido na análise de estruturas. Ao longo das últimas décadas foram formulados inúmeros elementos finitos para análise de cascas e placas. As formulações de elementos finitos lidam bem com o campo de deslocamentos, mas geralmente faltam testes que possam validar os resultados obtidos para o campo das tensões. Este trabalho analisa o elemento finito T6-3i, um elemento finito triangular de seis nós proposto dentro de uma formulação geometricamente exata, em relação aos seus resultados de tensões, comparando-os com as teorias analíticas de placas, resultados de tabelas para o cálculo de momentos em placas retangulares e do ANSYSr, um software comercial para análise estrutural, mostrando que o T6-3i pode apresentar resultados insatisfatórios. Na segunda parte deste trabalho, as potencialidades do T6-3i são expandidas, sendo proposta uma formulação dinâmica para análise não linear de cascas. Utiliza-se um modelo Lagrangiano atualizado e a forma fraca é obtida do Teorema dos Trabalhos Virtuais. São feitas simulações numéricas da deformação de domos finos que apresentam vários snap-throughs e snap-backs, incluindo domos com vincos curvos, mostrando a robustez, simplicidade e versatilidade do elemento na sua formulação e na geração das malhas não estruturadas necessárias para as simulações. / The Finite Element Method (FEM) is the numerical method most commonly used in structural analysis. A number of shell and plate finite elements has been suggested in the last decades. Finite element formulations deal well with the displacements field, but they usually lack tests that can validate the results obtained for the stress field. This work analyzes the finite element T6-3i, a six-nodes triangular finite element derived from a geometrically exact theory, regarding its stress results, comparing them with analytic plate theories, results from tables of moments in rectangular plates and from ANSYSr, a commercial software for structural analysis, showing that T6-3i can present unsatisfactory results. In the second part of this work, the T6-3i potentialities are expanded as a dynamic formulation for nonlinear shell analysis is proposed. An updated Lagrangian framework has been used and the weak form is obtained from the Principle of VirtualWork. Several numerical examples of folding a thin dome, which present various snap-throughs and snap-backs are presented, including creased shells, showing the robustness, simplicity and versatility of the element formulation and in generation of the unstructured curved meshes indispensable for the simulations.

Este trabalho é uma contribuição importante para o desenvolvimento de um modelo numérico de arênquima pulmonar capaz de simular manobras de ventilação mecânica. O pulmão é um órgão estruturalmente complexo e hierarquizado. Por isso uma revisão bibliográfica multidisciplinar foi realizada. A revisão apresenta as propriedades mecânicas do parênquima, sua morfologia e os efeitos da tensão superficial para a contração e adesão dos septos interalveolares. Um aspecto importante para o modelo de alvéolo é um modelo de contato com adesão causada pela tensão superficial. Um modelo de contato adesivo simplificado foi desenvolvido e simulado em uma estrutura com parâmetros de mesma ordem de grandeza de um alvéolo real. A simulação foi realizada com o método dos elementos finitos não-linear e foi necessário empregar o método da corda para evitar divergência em pontos limites. Os resultados numéricos se aproximaram de resultados experimentais globai no pulmão com pressões de mesma ordem de grandeza. / This work is an important step on the development of a computational model of lung parenchyma capable to simulate mechanical ventilation maneuveres. The lung has a complex and hierarchized structure. Therefore a multidisciplinary literature review was held. The review presents the mechanical properties of the parenchyma, its morphology and the effects of surface tension to septums contraction and adhesion. An important aspect for the alveolus model is a contact model which includes the adhesion caused by surface tension. Thus a simplified model was developed and then simulated in a structure with properties of the same order of magnitude of a real alveolus. The simulation was performed with the nonlinear finite element method. The implementation of the arc-length method was also necessary in order to prevent diversion at limit points. The numerical results were close to whole lung experimental results with pressure levels of the same order of magnitude.

A soldagem é o processo de união mais utilizado na fabricação de equipamentos pela indústria mecânica. Devido à introdução de calor durante o processo de soldagem, dependente do posicionamento da tocha e consequentemente do tempo, dilatações e contrações não uniformes produzem tensões térmicas no componente em questão, as quais permanecem como residuais ao final do processo, ao se atingir o equilíbrio térmico. O entendimento da formação e comportamento destas tensões se torna importante, pois na presença de carregamentos externos, a integridade estrutural do elemento mecânico pode ser comprometida. Portanto, este estudo visa analisar o comportamento destas tensões térmicas, avaliando ao final a magnitude e distribuição das tensões residuais, tendo como ferramenta o método dos elementos finitos. Inicialmente são apresentados os principais processos de soldagem envolvendo a fusão de materiais por meio de arco elétrico, sendo possível com base em uma explicação teórica, observar e entender a formação das tensões oriundas destes processos. Na sequência uma revisão bibliográfica contendo as principais técnicas para modelamento deste problema pelo método dos elementos finitos é apresentada, navegando por conceitos da análise térmica, que envolve o estudo das temperaturas e mecânica, a qual avalia as tensões formadas. Com toda parte teórica consolidada, um caso exemplo é analisado, simulando desta maneira um processo GTAW pelo programa computacional ANSYS, e comparando os resultados numéricos com os dados experimentais e numéricos obtidos na literatura. Ao final da simulação conclui-se que o modelo analisado reproduz fielmente a distribuição de temperaturas durante o processo e também estima corretamente as tensões residuais na chapa soldada, mostrando que a simulação de processos de soldagem utilizando o método dos elementos finitos se apresenta como uma ferramenta alternativa a indústria no aprimoramento de processos existentes ou desenvolvimento de novos. / Welding is the most used joining process in equipment manufacture by mechanical industry. Due to heat application during welding, varying with torch position and therefore by time, non-uniform expansion and contraction produces thermal stresses, which remains as residual when the component reaches thermal equilibrium. Formation and behavior of these stresses understanding becomes important since on external forces presence the mechanical piece may have it structural integrity compromised. This study aims to analyze thermal stress behavior due to welding evaluating residual stress magnitude and distribution at the process end by the finite element method. First of all fusion welding process by an electric arc are presented and a theoretical explanation about thermal stresses formation during welding is shared. Next is shown a bibliographic research with main techniques to model these problems using the finite element method, including thermal analysis, which involves temperature distribution study, and structural analysis that evaluate resulting stresses. With all theoretical background consolidated an example case of a GTAW process is studied utilizing ANSYS software, comparing numerical results with experimental and numerical data obtained in literature. It is possible to conclude that analyzed model accurately reproduces temperature distribution and also residual stress in the welded specimen proving that a welding process simulation via finite element method is an alternative tool for industry purposes on improving existing process and developing new ones.

Ao se estudar problemas de impacto de estruturas deformáveis, a consideração dos efeitos térmicos se faz muito importante, pois além de se observar a transformação de energia mecânica em calor pode-se considerar, ao longo do processo de análise, as mudanças das propriedades mecânicas do material envolvido devido ao aquecimento do meio. Neste sentido, o objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento de uma formulação termodinamicamente consistente e sua implementação computacional, baseada no potencial de energia livre de Helmholtz e na primeira e segunda leis da termodinâmica, para se analisar, via elementos finitos, o impacto entre estruturas com comportamento termo-elástico e termo-plástico. O problema mecânico será tratado com formulação posicional desenvolvida em projetos de pesquisa anteriores e que podem ser classificados como Lagrangeano total com cinemática exata. Para a modelagem do impacto utilizar-se-á a técnica do multiplicador de Lagrange associada à teoria potencial para previsão do impacto, técnica de retorno geometricamente definida e algoritmo de integração temporal de Newmark adequadamente adaptado para problemas gerais de impacto. / It becomes quite important study the thermal effects when considering impact in structures, because besides the mechanical energy changing into heat, one may consider the changes in the material properties due overheating. In this sense, the main goal of this work is develop a thermodynamic formulation and its implementation, based in the Helmholtz free-energy and in the first and second law of thermodynamics, to analyze structures under impact. The mechanical problem will be solved by a positional finite element application developed in past researches and it can be classified as a total Lagrangean with exact kinematics. In order to consider the impact, the Lagrangean multiplier will be associated to the potential theory of impact prevision, technique geometrically defined and an adapted technique based on the time integration of Newmark, modified to impact problems.

Risers em configuração de catenária podem apresentar nível de tração muito baixo próximos ao fundo do mar. Isso pode ocorrer em algumas condições de lançamento, em que sua estrutura pode se configurar de forma quase vertical. Quando se trata de tubos flexíveis ou cabos umbilicais, a composição interna do riser contém armaduras helicoidais de tração. Essas podem induzir a ocorrência de giro axial quando o tubo é solicitado à tração. Se esse movimento não for permitido, surgirá um momento de torção na estrutura. O baixo nível de tração da configuração de catenária combinado com o momento de torção surgido durante o lançamento do riser pode levar a uma forma de instabilidade estrutural que culmina na formação de um laço. Isso é indesejável uma vez que, se existe o laço, dependendo dos esforços submetidos à linha, é possível que o laço se transforme em uma dobra, danificando a estrutura. O presente trabalho analisa as condições de formação de laços em configurações de catenária. Para isso, foram utilizados critérios de estabilidade aplicados a um modelo de elementos finitos, que leva em conta as não linearidades geométrica e de contato entre o riser e o solo. Foi utilizada uma formulação cinematicamente exata de elemento de viga através de uma descrição lagrangiana atualizada, que pode tratar de forma correta as grandes rotações que são impostas ao riser para induzir o surgimento do momento de torção. É mostrado que uma expressão analítica baseada na Fórmula de Greenhill pode prever o fenômeno com boa concordância com os resultados numéricos, mesmo considerando-se fenômenos como contato unilateral com atrito e correntezas marítimas. Além disso, foi feita uma análise paramétrica para prever a formação do laço para diversas geometrias de catenária, procurando generalizar as conclusões obtidas. / Catenary risers can show a very low tension level close to the seabed. This can occur in some launching conditions, in which the structure can be almost vertical. When dealing with flexible pipes or umbilical cables, their internal composition includes the helical tension armors. These can induce an axial rotation to the riser when it is tensioned. If this movement is constrained, a torsion moment will act upon the structure. The low tension level present in the catenary configuration combined with the torsion moment that occurs during the riser launching can lead to a structural instability, resulting in a loop formation. This is undesirable since, if the loop is present, depending on the loads applied to the riser it is possible that it turns into a kink, causing damage. The present work analyzes the loop formation conditions in catenary riser. For that, stability criteria were applied to a finite element model that takes into account the geometric nonlinearities and also the contact between the riser and the seabed. A kinematically-exact beam formulation was adopted, dealing correctly with the large rotations that are imposed to the riser, in order to induce the torsion moment. It is showed that an analytical expression based on Greenhills formula can predict the phenomenon with a good agreement with numerical results, even including phenomena as frictional unilateral contact and sea currents. Furthermore, a parametric analysis was done to predict the loop formation to some catenary geometries, in order to generalize the obtained conclusions.

Estruturas que estão sujeitas a altas temperaturas absolutas, à convecção natural, ou ainda, estruturas que trocam calor na ausência de um meio físico, apresentam relevante transferência de calor por radiação térmica. Este fenômeno é importante para diversas aplicações e processos, como, por exemplo, no funcionamento de coletores solares, satélites, fornos industriais, motores a combustão e usinas nucleares. O presente trabalho de mestrado apresenta a aplicação do método da otimização topológica (MOT) no projeto de estruturas que trocam calor substancialmente por radiação térmica no interior de confinamentos, através da distribuição de material refletor ou de aquecedores. Por meio do MOT, cuja principal característica é a liberdade de distribuição do material dentro de um domínio inicial, é possível adicionar ou remover material de uma determinada região do domínio, criando ou desfazendo fronteiras, de forma livre, visando à obtenção de um projeto otimizado. O algoritmo de otimização é baseado no Método das Assíntotas Móveis (MMA) e é complementado pelo Método dos Elementos Finitos (MEF), para a análise do fenômeno de radiação em confinamentos. Ambos são implementados através do software Matlab. Os casos considerados são o da distribuição de material refletor de radiação térmica ou de aquecedores, sujeitos a uma eventual restrição nas quantidades destes materiais, sobre uma superfície plana, de forma a extremizar-se a irradiação ou a minimizar-se a temperatura em determinada área específica do domínio de projeto. Este problema depende, dentre outros fatores, da geometria da superfície e dos ângulos dos raios incidentes sobre ela. / Structures subjected to high absolute temperatures or to natural convection, as well structures that exchange heat in the absence of a physical medium present significant heat transfer through thermal radiation. This phenomenon is important for several applications and processes, such as in the operation of solar collectors, satellites, industrial furnaces, combustion engines and nuclear plants. The present work shows the application of topology optimization to the design of structures that exchange heat substantially by thermal radiation within an enclosure, through the distribution of reflective material or heaters. However, the design of such radiant enclosures is not trivial and it is necessary to use robust and systematic design tools, such as optimization techniques. Topology optimization is a numerical method which allows finding the layout, or topology, of a structure such that a prescribed objective is maximized or minimized subjected to design constraints. The optimization algorithm, based on the method of moving asymptotes (MMA), and the finite element method for analysis of the phenomenon of radiation in enclosures, are implemented using $Matlab^\\circledR$. The cases considered are the distribution of thermal radiation reflective material or heaters, subjected to a volume fraction constraint of these materials on a flat surface, in order to extremize the irradiation or to minimize the temperature in a specified region of the design domain. This problem depends, among other factors, on the geometry of the surfaces that exchange heat through thermal radiation.