Une partie importante des simulations en chimie quantique computationnelle utilisent aujourd'hui des techniques très avancées de mathématiques appliquées et de calcul scientifique. Ainsi ce champ d'application suscite un intérêt croissant de la part des numériciens et fournit des sujets de réflexion d'une grande complexité aussi bien théorique que pratique. Ayant abordé ce domaine de recherche lors de mon stage de DEA et ensuite lors de ma thèse, mes recherches en chimie quantique computationnelle ont continué par la suite et seront l'objet central de ce mémoire. La présentation de mes travaux a été divisée en chapitres thématiques. Après un chapitre introductif sur l'équation de SchrÄodinger et ses approximations, le second chapitre, dédié aux méthodes de discrétisation, présente mes contributions théoriques sur la méthode des bases réduites. Le troisième chapitre traite de l'analyse d'erreur a posteriori qui, de la même façon que les barres d'erreur sont utilisées lors des expériences réelles, permet de donner des informations quantitatives sur la confiance à mettre dans le résultat d'une simulation numérique. Cette méthode est appliquée à deux situations : le calcul du mouvement nucléaire et les calculs de structure électronique. Une autre contribution qui utilise les mêmes techniques et qui aboutit sur la construction d'algorithmes de type Newton pour les équations de Kohn-Sham est présenté en Section 3.4. Passant aux équations dépendantes de temps, le Chapitre 4 introduit un schéma parallèle en temps pour la résolution des équations d'évolution. L'extension de cette approche à des situations de contrôle est aussi détaillée. Situé au coeur de mes recherches en chimie quantique, l'étude du contrôle des phénomènes au niveau atomique est décrit Chapitre 5. Après une courte introduction je présente en Sections 5.2 et 5.3 mes travaux sur la contrôlabilité des équations bilinéaires intervenant dans la description mathématique de l'interaction laser-matière. Ces résultats continuent à la Section 5.4 avec une application à la discrimination optimale des systèmes quantiques. Ensuite, dans la Section 5.5, je traite des algorithmes d'optimisation utilisés pour de la recherche par des simulations numériques de champs laser réalisant les objectifs du contrôle. Enfin, au Chapitre 6, on trouve un travail sur un modèle en épidémiologie. Le Chapitre 7 réunit quelques projets de recherche en cours ou bien à plus long terme qui font suite aux travaux des chapitres précédents.

Les automates temporisés avec mises à jour.

Dans la première partie de la thèse, nous étudions les projections<br />orthogonales d'un couple de demi-surfaces régulières qui<br />se coupent transversalement le long<br />d'une courbe. Nous prenons comme modèle la variété $X=\{ (x,0,z): x\ge<br />0\}\cup \{ (0,y,z): y\ge 0\}$ et classifions les germes d' applications $R^3,0\to<br />R^2,0$ sous l'action des germes de difféomorphismes $R^3,0\to<br />R^3,0$ qui préservent la variété $X$, et calquer difféomorphisme de<br />$R^2,0\to R^2,0$. Nous obtenons toutes les singularités de<br />codimension $\le 3$ et étudions leurs géométrie. Nous généralisons<br />ces résultas pour 3 surfaces dans $R^3$ qui se coupent<br />transversalement en un point.<br /><br />Dans la seconde partie, nous étudions quelque propriétés des<br />courbes plane. Une manière de capter la symétrie réflexionnelle<br />locale d'une courbe $\gamma$ est de considérer les centres des<br />cercles bi-tangents à la courbe. L'ensemble de centres de tous ces<br />cercles est appellé l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous<br />donnons une autre méthode pour écrire la symétrie réflexionnelle<br />locale de $\gamma$. Celle-ci consiste à trouver les droites du<br />plan telle que la réflexion par rapport à ces droites envoie un<br />point de $\gamma$ et sa tangente à un autre point de la courbe et<br />sa tangente. L'ensemble de toutes ces droites forme la courbe<br />duale de l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous étudions les<br />singularités génériques de cette courbe duale et les bifurcations de<br />ses singularités de co-dimension 1.<br /><br />Nous introduisons aussi dans cette thèse la réflexion rotationnelle<br />locale de courbes planes. Nous définissons l'ensemble symétrique<br />rotationnel d'une courbe $\gamma$ comme l'ensemble des centres de<br />rotation qui envoie un point $\gamma(t_1)$, sa tangente et son<br />centre de courbure à un autre point $\gamma(t_2)$, sa tangente et<br />son centre de courbure. Nous étudions les propriétés génériques de<br />l'ensemble symétrique rotationnel ainsi que les bifurcations de ses<br />singularités de co-dimension 1.

Lorsque l'on cherche à modéliser le comportement d'une onde de fréquence donnée qui se diffracte sur un objet, on a à sa disposition divers types de méthodes. Nous pouvons citer parmi celles-ci l'optique physique qui vise à trouver une approximation du courant ou du saut de pression dans la limite des hautes fréquences, la théorie géométrique de la diffusion qui utilise un modèle de rayons qui se réfléchissent sur la surface ou bien, :après un certain cheminement le long des géodésiques de celle-ci, diffractent un nouveau rayon, et la méthode des équations intégrales qui a pour but de calculer exactement le courant ou le champ de pression sur toute la surface de l'objet. Nous avons choisi ici d'utiliser les équations intégrales pour plusieurs raisons. D'une part, dans les problèmes de surfaces équivalente radar ou surface équivalente sonar, on cherche à étudier des objets furtifs. On a alors besoin d'une grande précision et seule cette méthode peut l'apporter dans le cas de corps complexes. D'autre part, elle est une des seules à pouvoir être mise en oeuvre facilement quel que soit le corps. En effet, les autres méthodes demandent, soit de suivre une multitude de rayons à travers les diffractions et réflections multiples sur toute la surface, soit de connaître les courants crées par tous les types de singularités de la surface de l'objet. De plus, elle peut tenir compte de détails de la géométrie de l'ordre de la longueur d'onde, ce qui n'est pas le cas des méthodes asymptotiques. Ceci est important par exemple dans le cas des antennes à cornet (cl. [Ben84]. Enfin, seules les équations intégrales peuvent être couplées de manière assez naturelle avec des éléments finis dans l'intérieur de l'objet pour étudier un corps complexe composé de différents types de matériaux. [A compléter]

L'assimilation de données, telle qu'elle s'est développée en particulier en météorologie ou en océanographie, désigne le processus par lequel on cherche à estimer de la manière la plus précise possible l'état atmosphérique ou océanique à partir d'observations et en s'appuyant sur un modèle de prévision. Le formalisme de l'assimilation peut être appréhendé de multiples manières. Il conduit à des algorithmes divers, mais présentant entre eux des liens aujourd'hui assez clairement établis. Une première partie des travaux présentés correspond au développement de techniques visant à améliorer la représentation des covariances d'erreur d'ébauche qui jouent un rôle important dans un schéma d'analyse. Une autre thématique traitée concerne le gain apporté par le 4D-Var sur la qualité des prévisions et des réanalyses d'expériences comme FASTEX. Nous présentons également des travaux associés au développement théorique et pratique de diagnostics des schémas d'assimilation. Il est montré comment ces diagnostics permettent aussi de mesurer l'impact des observations dans une analyse. Des perspectives d'évolution de l'assimilation de données sont enfin indiquées.

Des inclusions de petits encombrements sont sources de perturbations pour les champs électromagnétiques ambiants (ceux qui existeraient en leurs absences, par exemple). Il est facilement imaginable que la mesure de ces perturbations puisse fournir des informations permettant l'identification des inclusions, où par iden- tification l'on signifie au minimum leur localisation, mais où l'on pourrait aussi signifier quantifocation de leurs paramètres électriques, voire dans la meilleure des hypothèses, caractérisation de leurs encombrements et formes. Récemment, une théorie mathématique a été développée pour préciser de petites inclusions à partir de mesures de frontière, voir [7] et références citées. Cette thèse porte principalement sur l'identication d'inclusions homogènes (de nombre inconnu a priori) d'un milieu donné à partir de mesures d'amplitudes de diraction lors de l'éclairement approprié de ce milieu. Premièrement, nous four- nissons de nouvelles formules asymptotiques, tant robustes que précises, des champs électromagnétiques résultant du phénomène de diffraction. Ensuite, nous les ex- ploitons pour la construction d'algorithmes d'identification non itératifs pertinents. Le problème est traité en trois grandes parties, chacune étant dédiée à une géométrie spécique : 1) Le milieu d'enfouissement de la collection est homogène, l'espace libre. 2) Le milieu est constitué de deux demi-espaces séparés par une interface plane, la collection étudiée se situant dans le demi-espace inférieur et sources et capteurs se situant dans le demi-espace supérieur. 3) Le milieu est un guide d'ondes, et la collection est dans le coeur de ce guide d'ondes.

En 1857, en traduisant dans un langage moderne, Riemann a montré que l'équation hypergéométrique peut être reconstruite, à isomorphisme près, à partir de la connaissance de ses mono dromies aux points 0, 1 et ∞. Dans un langage moderne, on dit que l'équation hypergéométrique est rigide et que son système local est physiquement rigide. Katz, dans son livre Rigid Local Systems [11], donne une condition nécessaire et usante pour qu'un système local L sur P1 soit physiquement rigide (Théorème 1.1.2 page 14). Dans la section 3.1 on étend cette définition au cadre des DP1 -modules en utilisant la notion d'extension minimale, laquelle est présentée dans le chapitre 2. Katz montre, cf. [11] Théorème 3.0.2 page 91, que la transformation de Fourier, en caractéristique positive, préserve l'indice de rigidité des faisceaux pervers irréductibles, pourvu que ni le faisceau ni sont transformé de Fourier soient à support ponctuel. D'autre part Katz pense aussi que la transformation de Fourier dans le cadre des D-modules doit préserver l'indice de rigidité, cf. [11] page 10. En utilisant ces conditions comme guide, on infère l'énoncé du théorème 3.2.1, cf. section 3.2, et on le démontre dans le cas où le module de départ est régulier sur P1. Pendant la préparation de cette thèse, S. Bloch et H. Esnault ont montré ce résultat en toute généralité dans [2]. Nous proposons ici une démonstration différente lorsque le module de départ est à singularités régulières sur P1. La démonstration est faite en comparant l'indice de rigidité d'un DP1 -module, cf. Théorème 3.1.1, et de son transformé de Fourier, cf. Théorème 3.1.7. L'expression de l'indice de rigidité du DP1 -module de départ fait appel à la connaissance de la monodromie sur chacun de ses points singuliers et l'expression de l'indice de rigidité de son transformé de Fourier fait appel à la connaissance de la monodromie en 0 et des mono dromies de la décomposition de Turrittin à l'infini. Les notions de transformation de Fourier et de décomposition de Turrittin sont présentées dans le chapitre 1. Dans son livre Équations différentielles à coefficients polynomiaux Malgrange montre, d'une façon analytique, que ces mono dromies ne sont pas indépendantes, cf. [16] Théorème XII.2.9 page 203. Dans le chapitre 3 on le démontre d'une façon algébrique en utilisant aussi la notion de couples d'espaces vectoriels, notion présenté dans le chapitre 2.

La possibilité de focaliser l'énergie acoustique ou électromagnétique à la fois spatialement et temporellement constitue depuis quelques années un sujet de recherche intéressant en raison de la diversité et de l'importance des applications. Dans le domaine des télécommunications, en particulier en acoustique sous-marine, en téléphonie mobile et dans le domaine des réseaux locaux sans l, l'un des enjeux majeurs consiste à trouver des techniques sécurisées pour acheminer la plus grande quantité d'information possible entre un émetteur et différent utilisateur via l'utilisation d'ondes acoustiques ou électromagnétiques. Ces ondes sont susceptibles d'être réfléchies plusieurs fois entre l'émetteur et le récepteur compte tenu de la multitude des obstacles rencontres au cours de la propagation dans les milieux concernés. Ces obstacles pouvant être les parois des immeubles, les voitures ou les meubles dans le cas de téléphonie mobile ou bien les interfaces entre l'eau et l'air ou entre l'eau et le fond marin dans le cas de l'acoustique sous-marine. L'une des questions que se posent les chercheurs dans ce domaine, est de déterminer sous quelles conditions cette diffusion multiple peut influer positivement sur la concentration d'énergie au niveau du récepteur. D'autres applications concernent le domaine de l'imagerie et de la thérapie médicale. Il s'agit par exemple de visualiser certains organes ou tissus du corps humain au moyen d'ondes ultrasonores (fréquence allant de 1 MHz µ a 10 MHz). On cherche également à détecter, localiser et détruire les calculs rénaux et les tumeurs du sein ou du cerveau par concentration des ondes ultrasonores d'un fa» con non invasive. Le champ d'applications s'étend au contrôle non destructif des matériaux, on s'intéresse à l'observation des irrégularités dans les métaux ou encore a la géophysique pour la recherche pétrolière. Nous nous proposons dans cette thèse de donner différents modèles de retournement temporel et d'étudier et de simuler leurs propriétés de focalisation. Apres avoir dans un premier temps explique le principe général du retournement temporel et différentes approches de cette technique, nous décrivons plus précisément le contexte particulier de notre étude.

Dans ce memoire, j'expose la theorie des familles equivariantes de mesures sur le bord a l'infini du revetement universel d'une variete compacte a courbure strictement negative. Ensuite j'utilise cette theorie pour etudier le comportement du bas du spectre du laplacien des fonctions sur le revetement universel lorsqu'on fait varier la metrique sur la variete compacte. J'utilise aussi cette theorie pour demontrer la rigidite du spectre marque des longueurs dans la classe conforme d'une metrique a courbure negative sur une variete compacte.

On s'intéresse à la régularité du bord des domaines minimisant des fonctionnelles du type energie de Dirichlet pénalisée par le périmètre de l'ensemble.