Les travaux présentés relèvent d'une branche des probabilités que l'on appelle la mécanique statistique.<br />L'idée générale est que l'on étudie des systèmes infinis de particules en essayant d'établir le lien entre les propriétés microscopiques (par exemple l'interaction entre des particules proches) et les propriétés macroscopiques (par exemple<br />les caractéristiques à grande échelle des mesures d'équilibre.)<br /><br />Ce mémoire se divise en trois parties:<br />- Mesures de Gibbs et champs gaussiens<br />- Percolation et mesures de Gibbs<br />- Percolation de premier passage et compétition<br /><br />La première partie<br />traite des mesure de Gibbs gaussiennes, classiques et quantiques.<br />On y étudie finement la structure de l'ensemble des mesures de Gibbs<br />classiques (\resp quantiques) dont le support est raisonnable ainsi que les dynamiques stochastiques de gradient canoniquement associées. Une attention particulière est accordée à l'influence de la transition de phase.<br /><br />La deuxième partie traite de problèmes associant percolation et mesure de<br />Gibbs, à savoir l'existence de transition de percolation dans des modèles issus<br />de perturbations d'interactions quadratiques et des théorèmes de limite centrale pour la répartition des phases dans les modèles d'Ising et de Potts.<br /><br />La troisième partie étudie des modèles de percolation de premier passage et<br />des problèmes de compétion associés. On montre en particulier des théorèmes<br />de forme asymptotique et de grandes déviations pour la percolation de premier<br />passage sur l'amas de percolation Bernoulli et l'on étudie des problèmes<br />de coexistence/non-coexistence entre des espèces qui se propagent de manière analogue à ce qui se passe en percolation de premier passage.

Résumé: Dans cette thèse, on étudie les équations cohomologiques discrètes et continues dans les situations qui suivent.<br /> 1- Pour un champ de vecteurs X qui définit un feuilletage riemannien complet sur une variété M, on donne explicitement les conditions qui permettent de résoudre complètement l'équation cohomologique continue.<br /><br /> 2- Pour un champ X sur une la variété M obtenus (M et X) par suspension d'un difféomorphisme γ : N → N, on montre que l'équation cohomologique discrète du système dynamique discret (N, γ) est équivalente à l'équation cohomologique continue du système dynamique continu (M, X) .<br /><br /> 3- Dans le cas où la variété M est le quotient TAⁿ⁺¹du groupe de Lie G=ℝⁿ ⋊A ℝ par le réseau Γ=ℤⁿ ⋊Aℤ avec A ∈SL(n,ℤ)<br /> hyperbolique à valeurs propres réelles positives et X l'élément de l'algèbre de Lie Ģ de G qui induit le flot d'Anosov ℱ sur TAⁿ⁺¹,on donne explicitement les solutions des deux équations en question ainsi que d'autres invariants géométriques qui leur sont associés notamment la cohomologie feuilletée de ℱ et les distrbutions A-invariantes

Cette thèse traite du problème industriel de la modélisation et de<br />la simulation numérique du rayonnement acoustique à l'entrée d'air des nacelles<br />d'Airbus. Les hypothèses physiques subséquentes au contexte industriel<br />précis conduisent à un modèle simplifié de propagation acoustique linéaire sur<br />un écoulement porteur potentiel et non-linéaire. La modélisation de la source<br />modale de bruit du moteur se traduit par une condition de bord exprimée par<br />un opérateur Dirichlet-Neumann. L'existence et l'unicité du problème mathématique<br />général (auquel on a rajouté une condition de Sommerfeld convectée)<br />de la perturbation potentielle et locale autour d'un écoulement uniforme sont<br />démontrées. Un couplage discret alliant le potentiel acoustique (éléments finis<br />de volume) et sa dérivée conormale de bord (éléments finis de frontière) par une<br />équation intégrale est proposé. Le code informatique est validé analytiquement<br />et comparativement. Les résultats originaux prouvent la nécessité de la prise en<br />compte des non-linéarités de l'écoulement par des différences de plus de 5 décibels<br />en champ lointain. Le positionnement optimal de la surface rayonnante et<br />la possibilité d'adaptation de la méthode multipôle rapide rendent ce couplage<br />incontournable. Le modèle simplifié potentiel-linéaire, même si il n'est a priori<br />apte qu'à traiter l'entrée d'air, trouve toute sa justification en tant que brique<br />d'un code global basé sur la décomposition de domaine. Finalement, soulignons<br />l'avènement d'un élément fini axisymétrique naturel et d'une alternative originale<br />de calcul de l'écoulement non-linéaire par une méthode de point fixe.

L'objet de cette thèse est l'étude d'un phénomène de concentration pour une série de problèmes non linéaires issus de la géométrie : l'existence d'hypersurfaces plongées dans une variété Riemannienne dont la r-courbure moyenne est constante. (La r-courbure moyenne d'une hypersurface est la rième fonction symétrique de la<br />courbure principale de l'hyersurface). Nous donnons dans cette thèse quelques résultats d'existence de telles hypersurfaces. En outre, les exemples que nous construisons mettent en évidence un phénomène de concentration le long de sous variétés, phénomène<br />associé à un phénomène de résonance qui rend l'analyse de ces objets particulièrement délicate et que l'on rencontre dans l'étude de nombreux autres problèmes non-linéaires, équation de Schrödinger non linéaire, problème de perturbations singulière,<br />système de réaction-diffusion,...

On étudie la théorie et l'application pour plusieurs méthodes dans le domaine de l'estimation de la puissance spectrale. Dans le cas 1D, les deux approches de Levinson et Burg sont exposées dans le même contexte théorique et numérique. Dans le cas 2D, et plus généralement le cas ND, de nouvelles méthodes sont proposées pour l'estimation de la puissance spectrale. Ces méthodes conduisent à des extensions répondant à un critère de positivité et d'une maximisation d'une entropie adaptée à la puissance spectrale : la matrice de corrélation ND doit être définie positive et doit vérifier un critère de maximum d'entropie. Aussi, les systèmes de corrélation ND Toeplitz sont exposés dans le contexte des coefficients de réflexion généralisés pour le cas bloc Toeplitz, et le cas Toeplitz bloc Toeplitz. Dans les deux cas, on propose des nouveaux algorithmes pour la solution du système linéaire autorégressif. La structure ND Toeplitz de la matrice de corrélation est étudiée sous deux conditions. La première est que le support d'extension positive est infini avec une propriété de « matching » approximative. La deuxième est l'extension positive avec une propriété de maximum d'entropie. Suivant la deuxième condition, on formalise une théorie de positivité fondamentale, qui établit la correspondance entre un groupe minimal des coefficients de réflexion généralisés et la matrice de corrélation ND avec le même degré de liberté.

Le processus de Mumford bidimensionnel est un processus gaussien réel à accroissements stationnaires généralisé qui a été introduit par Mumford et Gidas, en vue de modéliser certaines images naturelles comme les nuages. Nous nous propposons d'étudier la généralisation d'un tel processus.

Cette thèse porte sur l'étude de systèmes de type gaz particules, tant d'un point de vue mathématique que physique et numérique. Par ailleurs, quelques aspects de la turbulence en lien avec ces systèmes et le modèle k- sont étudiés.

La première partie de la thèse introduit une méthode de déquantification de l'image qui améliore les propriétés statistiques du champ de gradient. Nous appliquons notre méthode à la détection de segments significatifs développée par Agnès Desolneux.La seconde partie présente une méthode d'évaluation du flou dans les images naturelles. Nous tirons profit du scale space morphologique pour permettre une évaluation aussi précise que possible de la quantité de flou local, sans connaissances sur le noyau.

Cette thèse étudie des phénomènes de concentration. Des méthodes sont développées pour éviter les concentrations et obtenir des résultats de compacité (1ère partie). Une fonctionelle menant à des solutions concentrées sur un ensemble 1-dimensionnel est ensuite introduite (2ème partie).

Nous considérons l'analyse de stabilité et la stabilisation des systèmes linéaires incertains à commande contrainte. A l'aide d'une modélisation polytopique des saturations et de la notion de stabilité quadratique locale, nous proposons tout d'abord une méthode d'analyse de stabilité autorisant les saturations. Par la suite, les propriétés géométriques des ellipsoïdes et polyèdres nous permettent de décrire plusieurs méthodes de synthèse: par commande saturante, par commande linéaire par morceaux et finalement par commande polynomiale. Toutes ces méthodes font systématiquement appel à des outils numériques efficaces et largement répandus: équations algébriques de Riccati, inégalités matricielles linéaires et matrices polynomiales.