Ma thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes liés à la stabilité des structures de poches de tourbillon dans les équations de Navier-Stokes incompressibles 2D. Dans le premier chapitre on démontre en particulier que si l'on se donne à l'instant initial un tourbillon valant l'indicatrice d'un domaine borné dont le bord est de classe $C^{1+EE}$ (espace de Hölder), alors son transporté par le flot visqueux préserve en tout temps cette régularité. Dans le deuxième chapitre, on montre que dans le cas des données de type poches de tourbillon à bord de mesure nulle, le tourbillon visqueux converge fortement en norme $L^p$ vers le tourbillon eulérien. Le dernier chapitre est une généralisation pour le système de Navier-Stokes d'un résultat obtenu par J.-Y. Chemin dans le cadre eulerien et concernant les poches de tourbillon singulières. On démontre que si le bord de la poche de tourbillon est régulier en dehors d'un ensemble fermé, alors son transporté par le flot visqueux est régulier en dehors de l'image par le flot de l'ensemble singulier. On prouve également qu'en dehors de cet ensemble la solution du système de Navier-Stokes est lipschitzienne avec un contrôle indépendant de la viscosité.

Thurston montre comment munir le complémentaire du noeud de huit dans S³ d'une structure hyperbolique réelle complète en identifiant cet espace au recollement de deux tétraèdres. Falbel prolonge cette méthode dans le cadre CR-sphérique. Il obtient ainsi une géométrisation CR branchée pour le complémentaire du noeud. Cette approche passe par la résolution d'équations polynomiales dont les inconnues sont des invariants caractérisant les tétraèdres. La résolution de ces équations nous a permis de construire des représentations de groupes fondamentaux à valeur dans PU(2,1) pour des variétés non compactes. Dans le cas réel, la rigidité des structures hyperboliques complètes est assurée par le théorème de Mostow, tandis qu'il existe des représentations de variétés CR-sphériques compactes admettant des déformations. Le calcul du rang des équations précédemment évoquées permet de conclure à la rigidité d'une structure CR-sphérique triangulée dès qu'elle existe. Pour les représentations que nous avons construites, le rang des équations est systématiquement maximal. Dans le cas général, nous donnons des minorations du rang. Dans une partie indépendante, nous étudions le corps de trace de sous-groupes de SU(n,1). Nous établissons que pour un groupe G dans SU(2,1) Zariski dense qui contient une transformation parabolique, quitte à conjuguer G, son corps de trace est exactement le corps engendré par les coefficients de ses matrices.

Dans cette thèse, nous construisons une famille concrète d'inclusions de facteurs de type II_1 d'indice (n+ sqrt(n))^2 , pour n entier supérieur ou égal à 1, et nous étudions leurs facteurs intermédiaires, notamment leurs indices et leurs graphes principaux. Nous faisons agir des C*-algèbres de Hopf faibles sur le facteur hyperfini de type II_1 et utilisons ensuite la correspondance de Galois entre les facteurs intermédiaires et les coïdalgèbres. Dans un premier temps, nous décrivons donc une famille de C*-algèbres de Hopf faibles. Elles sont obtenues en appliquant aux catégories de Tambara-Yamagami le théorème de reconstruction pour les catégories de fusion. Nous en donnons ensuite deux familles de coïdalgèbres et montrons qu'elles forment un treillis. Nous sommes donc en mesure de construire les inclusions de facteurs et d'en donner des facteurs intermédiaires. Dans un second temps, nous montrons le lien entre les coïdalgèbres et les catégories de module et nous décrivons un certain type de catégories de module sur les catégories de Tambara-Yamagami. Cette classification étant complète pour une sous-famille des catégories de Tambara-Yamagami, elle nous permet dans ce cas de décrire de manière exhaustive les graphes principaux des facteurs intermédiaires.

The main object of study of this work are orbits in so-called minimal sheets in irreducible representations of semisimple groups. Let $G$ be a semisimple group. The notion of sheets goes back to Dixmier: Given a $G$-module $V$, the union of all orbits in $V$ of a fixed dimension is a locally closed subset. Its irreducible components are called sheets of $V$. We call a sheet minimal if it contains an orbit in $V$ of minimal strictly positive dimension among all orbits in $V$. In Chapter I, some notation is fixed and some basic results are proved. In Chapter II, we describe minimal sheets in simple $G$-modules, and study $G$-stable deformations of orbits in minimal sheets by means of an invariant Hilbert scheme. Invariant Hilbert Schemes have been introduced by Alexeev and Brion in 2005. These are quasi-projective schemes representing functors of families of $G$-schemes with prescribed Hilbert function. The discussion in Chapter II is closely related to the work of Jansou in the following way: Choose once and for all a highest weight vector $v_\lambda \in V(\lambda)$ for each dominant weight $\lambda \in \Lambda^+$, and let $X_\lambda = \overline{G v_\lambda} \subset V(\lambda)$ be the closure of the orbit $G v_\lambda$ of $v_\lambda$ in $V(\lambda)$. In his thesis Jansou investigates $G$-stable deformations of $X_\lambda$ in $V(\lambda)$. If $h_\lambda$ denotes the Hilbert function of $X_\lambda$, then Jansou proves that the invariant Hilbert scheme $Hilb^G_{h_\lambda}(V(\lambda))$ is an affine space of dimension 0 or 1, depending on $G$ and $\lambda$. Furthermore, he gives a complete list of all pairs $(G,\lambda)$ such that $Hilb^G_{h_\lambda}(V(\lambda))$ is an affine line. In the sequel, we call these weights Jansou-weights. The orbit $Gv_\lambda$ is of minimal strictly positive dimension among all $G$-orbits in $V(\lambda)$. There exist other orbit of the same dimension as $Gv_\lambda$ in $V(\lambda)$ if and only if $\lambda$ is an integral multiple of a Jansou-weight. Here, we start with a general orbit $X$ of minimal strictly positive dimension in a fixed simple $G$-module $V(\lambda)$, and we study $G$-stable deformations of $X$. In particular, we conjecture that the invariant Hilbert scheme parametrizing the $G$-stable deformations of $X$ in the closure of the sheet of $X$ is an affine space of dimension either 0 or 1. This will stand in contrast to the fact that the invariant Hilbert scheme parametrizing the $G$-stable deformations of $X$ in $V(\lambda)$ can look much more complicated. This is the content of Chapter III, in which we will focus on the group $\SL_2$, and compute some corresponding invariant Hilbert schemes. In particular, we study deformations of orbits of the form $SL_2 \cdot x^{d/2}y^{d/2}$ in the space $k[x,y]_d = V(d)$ of binary forms of degree $d$. It turns out that easiest accessible case is when $d$ is a multiple of 4, and even in this case the corresponding invariant Hilbert scheme can become very complicated. This reflects the principle that even in `simple' cases for invariant Hilbert schemes all possible sort of `bad' things (different irreducible components, non-reduced points, singularities) occur. (This `bad' behavior is also encountered in the case of the classical Grothendieck Hilbert scheme parametrizing closed subschemes of projective space with a given Hilbert polynomial.) In Chapter III Classical Invariant Theory is often used, and some computations are computer-based. Finally, in Chapter IV we turn our attention to not necessarily simple modules. In the multiplicity-free case important work has been done by Bravi and Cupit-Foutou. We translate some of their results to the case of not necessarily multiplicity-free modules. This corrects a result by Alexeev and Brion. Chapter IV is independent from the preceding chapters.

Cette thèse montre que pour innover, le secteur privé peut faire appel à la connaissance académique. En effet, un partenariat entre un établissement universitaire et un professionnel du transport de marchandises a permis de répondre à des problématiques industrielles par l'application de mathématiques de pointe. Cette thèse porte sur la conception, l'implémentation et la mise en production d'un système de prévision d'activité pour l'optimisation de la planification des ressources. Elle propose également un modèle mathématique pour modéliser les flux de marchandises qui transitent sur un quai de messagerie. Pour comprendre la problématique posée par l'industriel, le contexte industriel dans lequel s'insèrent les travaux de recherche est posé. Il s'en suit une réflexion sur la manière d'aborder le problème de mise en place d'un système de prévision en entreprise. Une synthèse de l'existant en matière de production d'information prévisionnelle est menée dans l'entreprise. En s'appuyant sur les informations récoltées, une méthodologie pour intégrer, analyser et prévoir des indicateurs économiques, est avancée. Cette méthodologie est appliquée avec succès dans le groupe STEF-TFE, leader français du transport sous température dirigée. Dans le but de planifier les ressources nécessaires pour faire face à l'activité prévue, une recherche a été menée pour modéliser les flux de marchandises en transit sur un quai de messagerie. Le résultat de la thèse est, qu'en 2010, 70 agences de transports du groupe STEF-TFE ont accès aux prévisions d'activités. Aussi, la méthodologie avancée est susceptible d'être utilisée dans divers secteurs industriels.

On peut associer à tout groupe de réflexions complexes, son algèbre de Hecke H(W). Celle-ci peut etre vue comme une déformation de l'algèbre du groupe W. La théorie d'Ariki-Lascoux-Leclerc-Thibon a permis de montrer que les représentations de ces algèbres sont dans certains cas intimement reliées à des objets remarquables provenant de la théorie des groupes quantiques en type A affine (comme les cristaux ou les bases canoniques de Kashiwara-Lusztig). Le principal objectif de ce mémoire est d'étudier puis d'étendre les liens unissant ces deux théories. Nous obtenons entre autres des paramétrisations des modules simples pour H(W) grace à l'étude des cristaux du groupe quantique, calculons les matrices de décompositions associées ou encore étudions certaines involutions remarquables de H(W). Des résultats concernant la théorie des représentations des algèbres de Hecke affines de type A sont également présent\és (règle de branchement modulaire, calcul de l'involution de Zelevinsky etc.)

Nous nous intéressons à l'application de la méthode de Galerkine discontinue avec pénalité intérieure (IPDGM) pour la migration terrestre par équations d'ondes. Il s'agit d'utiliser la propagation d'ondes sismiques pour produire des images du sous-sol et notre contribution se situe au niveau de la résolution du problème direct que nous proposons de faire par une méthode d'éléments finis s'appuyant sur des tétraèdres. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour la migration terrestre où il est nécessaire de prendre en compte la topographie du site qui est de plus en plus souvent accidentée. Tout d'abord, nous analysons les performances de la méthode d'éléments finis que nous avons choisie et concluons qu'elle surpasse les méthodes de différences finies classiquement utilisées pour la Reverse Time Migration (RTM) et qu'elle est aussi performante en terme de précision que la méthode d'élément spectraux qui est la méthode d'éléments finis la plus populaire en géophysique. Nous justifions ensuite notre choix en montrant qu'on peut imager des régions complexes en utilisant notamment des données synthétiques générées avec un autre code que le code IPDGFem développé durant la thèse. Pour finir, nous nous intéressons à la technique de pas de temps locaux qui permet d'adapter le pas de temps de la méthode à la taille des mailles utilisées et proposons une nouvelle discrétisation temporelle qui permet de combiner des ordres différents en temps et en espace. Les premiers résultats obtenus en 1D sont très intéressants et encourageants et le 2D est en cours de développement.

Cette thèse porte sur la construction de nouveaux exemples de surfaces minimales dérivées de la famille de surfaces de Costa-Hoffman-Meeks. Il s'agit d'une famille de surfaces minimales complètes plongées avec trois bouts et genre k > 0. Soit M_k la surface de Costa_Hoffman_Meeks de genre k. Dans le chapitre 1, j'ai démontré que M_k est non dégénérée pour k > 37. J'ai donc étendu les résultats de S. Nayatani qui assuraient que la surface M_k est non dégénérée seulement pour k=1,...,37. Ce résultat permet de montrer dans les chapitres 2 et 3 l'existence de nouveaux exemples de surfaces minimales de genre g arbitraire à l'aide d'une procédure de collage d'autres surfaces déjà connues (parmi lesquelles y figure la surface M_k). Sans ceci, ces résultats ne seraient valables que pour k < 38. En particulier dans le chapitre 2, j'ai démontré l'existence, dans H^2 x R, (H^2 étant le plan hyperbolique) d'une famille de surfaces minimales plongées inspirées de M_k, pour tout k > 0. Ce résultat peut être censé un cas particulier d'un théorème générale de désingularisation de l'intersection de deux surfaces minimales annoncé par N. Kapouleas et jamais publié. Le chapitre 3 est consacré à la construction de trois familles de surfaces minimales simplement périodiques plongées dans R^3 dont le quotient a genre arbitraire. Les résultats présentés dans ce chapitre (obtenus en collaborations avec L. Hauswirth et M. Rodríguez) généralisent plusieurs anciennes constructions

La présence d'objets métalliques en Imagerie par Résonance Magnétique provoque des dysfonctionnements qui peuvent se manifester par des artefacts, des échauffements, ... Dans le présent travail, on construit et étudie des modèles mettant en évidence le phénomène d'échauffement.<br /><br />Dans la première partie, on étudie l'antenne cage d'oiseau. On montre que les pulsations de résonance sont les valeurs propres d'un problème aux valeurs propres généralisé et on développe une méthode de calcul efficace de celles-ci. On étudie ensuite les propriétés du champ radiofréquence à l'aide de simulations numériques : mouvement de rotation en tout point et homogénéité au centre de l'antenne.<br /><br />Dans la deuxième partie, on modélise le problème magnétique associé à l'IRM par les équations de Maxwell avec le champ radiofréquence comme condition aux limites. On montre que ce problème est bien posé en dimension 3 et qu'il est équivalent à une série de problèmes axisymétriques bidimensionnels découplés. Des calculs numériques sont effectués sur les problèmes axisymétriques, qui confirment les résultats théoriques obtenus.

Les quadrangulations sont des plongements dans la sphère de graphes planaires pour lesquels toutes les faces sont de degré 4. L'objet central de cette thèse est la quadrangulation infinie de loi uniforme. Cette carte a été définie de deux manières indépendantes. La première méthode, naturelle du point de vue des cartes, est de prendre la limite locale de grandes quadrangulations aléatoires de loi uniforme parmi les quadrangulations de même taille. La seconde méthode repose sur une bijection avec les arbres bien étiquetés. On y construit dans un premier temps un arbre infini de loi uniforme, puis on transporte la loi de cet arbre sur l'ensemble des quadrangulations infinies avec la bijection. L'objet du chapitre 2 de ce mémoire est de démontrer que ces deux constructions aboutissent au même objet. Ce fait n'est a priori pas évident car la bijection entre les arbres et les quadrangulations n'est pas continue pour la topologie de la convergence locale. Le résultat s'obtient alors en étudiant des propriétés combinatoires de cette bijection et les sommets ayant de petites étiquettes dans les générations élevées d'un arbre sous la loi uniforme. Le chapitre 3 utilise ensuite cette équivalence des deux points de vue pour calculer les limites d'échelle de certaines fonctionnelles de la quadrangulation infinie uniforme. En effet, des quantités comme le volume des boules autour d'un point distingué de la quadrangulation infinie uniforme peuvent se calculer grâce à une étude de l'arbre infini uniforme. Ce chapitre est articulé autour de la preuve de la convergence des fonctions de contour de l'arbre infini uniforme vers un processus stochastique lié au serpent brownien.