Cette thèse a pour objet d’étude divers modèles de marches aléatoires sur les arbres aléatoires.Nous nous sommes consacrés principalement aux aspects qui relevaient à la fois de la théorie des probabilités et de la théorie ergodique. Notre premier modèle est celui des marches aléatoires sur les arbres à longueurs récursives(qui généralise un modèle apparaissant dans un travail récent de Curien et Le Gall). Nous montrons pour ce modèle sous des conditions très générales qu’un phénomène appelé « chute de dimension » se produit pour la mesure harmonique et donnons une formule assez explicite permettant de calculer cette dimension.En utilisant les outils développés pour ce dernier modèle, nous nous intéressons à la marche aléatoire lambda-biaisée sur un arbre de Galton-Watson infini, pour lequel de nombreuses conjectures sont toujours ouvertes. Notre approche nous permet de calculer la dimension de la mesure harmonique en fonction de la loi de la conductance de l’arbre. C’est un résultat nouveau qui nous permet de vérifier numériquement certaines de ces conjectures ouvertes.Le reste de la thèse porte sur un modèle très riche appelé marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire. D’abord dans le cas transient, où nous montrons par une approche différente de celle des parties précédentes que le phénomène de chute de dimension se produit. Puis sur un cas récurrent appelé sous-diffusif, où nous nous intéressons à la vitesse de convergence vers 0 de la conductance entre la racine et le niveau n de l’arbre lorsque n tend vers l’infini. Nous montrons que la loi limite de cette conductance renormalisée par son espérance est la limite de la martingale de Mandelbrot. / The subject of this thesis is the study of various models of random walks on random trees, with an emphasis on the aspects that fall at the intersection of probability theory and ergodic theory. We called our first model “random walks on Galton-Watson trees with recursive lengths”.It generalizes a model appearing in a recent work by Curien and Le Gall. We show that under fairly general assumptions, a phenomenon called “dimension drop” holds for this model and we give a formula for this dimension. Using the tools developed for the study of the previous model, we turn to the case oft ransient lambda-biased random walks on infinite Galton-Watson trees, for which many famous problems are still open. Our approach allows us to compute the dimension of the harmonic measure as a function of the law of the conductance of the tree. With this new result, we check numerically the validity of some twenty-year-old conjectures.The remainder of this thesis is about a very rich model called random walk on a random weighted Galton-Watson tree. First, we study the transient case, where we show with a different method than in the previous parts, that the dimension drop phenomen on occurs. Then we turn to a recurrent case called subdiffusive and we investigate the rate of decay of the conductance between the root and the n-th level of the tree, as n goes to infinity. We prove that this conductance, suitably renormalized converges to the limit of the Mandelbrot martingale.

Les quadrangulations sont des plongements dans la sphère de graphes planaires pour lesquels toutes les faces sont de degré 4. L'objet central de cette thèse est la quadrangulation infinie de loi uniforme. Cette carte a été définie de deux manières indépendantes. La première méthode, naturelle du point de vue des cartes, est de prendre la limite locale de grandes quadrangulations aléatoires de loi uniforme parmi les quadrangulations de même taille. La seconde méthode repose sur une bijection avec les arbres bien étiquetés. On y construit dans un premier temps un arbre infini de loi uniforme, puis on transporte la loi de cet arbre sur l'ensemble des quadrangulations infinies avec la bijection. L'objet du chapitre 2 de ce mémoire est de démontrer que ces deux constructions aboutissent au même objet. Ce fait n'est a priori pas évident car la bijection entre les arbres et les quadrangulations n'est pas continue pour la topologie de la convergence locale. Le résultat s'obtient alors en étudiant des propriétés combinatoires de cette bijection et les sommets ayant de petites étiquettes dans les générations élevées d'un arbre sous la loi uniforme. Le chapitre 3 utilise ensuite cette équivalence des deux points de vue pour calculer les limites d'échelle de certaines fonctionnelles de la quadrangulation infinie uniforme. En effet, des quantités comme le volume des boules autour d'un point distingué de la quadrangulation infinie uniforme peuvent se calculer grâce à une étude de l'arbre infini uniforme. Ce chapitre est articulé autour de la preuve de la convergence des fonctions de contour de l'arbre infini uniforme vers un processus stochastique lié au serpent brownien.

L'objet de ce mémoire est de présenter de façon succincte les travaux que j'ai menés et auxquels j'ai collaboré depuis la fin de ma thèse. Ces travaux sont reliés par le thème central de la structure arborescente aléatoire ou du processus de branchement.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à l'étude asymptotique d'objets combinatoires aléatoires. Deux thèmes ont particulièrement retenu notre attention : les cartes planaires aléatoires et les modèles combinatoires liés à la théorie des fragmentations. La théorie mathématique des cartes planaires aléatoires est née à l'aube de notre millénaire avec les travaux pionniers de Benjamini & Schramm, Angel & Schramm et Chassaing & Schaeffer. Elle a ensuite beaucoup progressé, mais à l'heure où ces lignes sont écrites, de nombreux problèmes fondamentaux restent ouverts. Résumons en quelques mots clés nos principales contributions dans le domaine : l'introduction et l'étude du cactus brownien (avec J.F. Le Gall et G. Miermont), l'étude de la quadrangulation infinie uniforme vue de l'infini (avec L. Ménard et G. Miermont), ainsi que des travaux plus théoriques sur les graphes aléatoires stationnaires d'une part et les graphes empilables dans $\R^d$ d'autre part (avec I. Benjamini). La théorie des fragmentations est beaucoup plus ancienne et remonte à des travaux de Kolmogorov (1941) et de Filippov (1961). Elle est maintenant bien développée (voir par exemple l'excellent livre de J. Bertoin), et nous ne nous sommes pas focalisés sur cette théorie mais plutôt sur ses applications à des modèles combinatoires. Elle s'avère en effet très utile pour étudier différents modèles de triangulations récursives du disque (travail effectué avec J.F. Le Gall) et les recherches partielles dans les quadtrees (travail effectué avec A. Joseph).

Ce manuscrit est un document de synthèse et de présentation d'une majorité des travaux que j'ai effectués entre septembre 2008 et septembre 2013 (voir la liste des publications ci-dessous1). Les publications [P1-6] sont issues de la thèse ainsi qu'une grande partie de [P11]. Afin de présenter un document concis et cohérent nous avons choisi de ne pas traiter les publications [P3], [P5], [P9] et [P10]. Que mes co-auteurs m'excusent. Le document est construit autour de deux parties principales : les arbres aléatoires d'une part et les cartes planaires aléatoires d'autre part. Les contributions originales sont signalées par des théorèmes encadrés et sont numérotés 1, 2, 3, . . ..

La première partie de cette thèse s’inscrit dans le domaine des cartes aléatoires, qui est un sujet à la frontière des probabilités, de la combinatoire et de la physique statistique. Nos travaux complètent une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne, qui est un espace métrique compact aléatoire. Plus précisément, on montre que la limite d’échelle d’une carte de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à n arêtes, munie de la distance de graphe renormalisée par (2n)^(−1/4), est, au sens de Gromov–Hausdorff, la carte brownienne. Pour prouver ce résultat, les arguments importants sont d’une part l’utilisation d’une bijection combinatoire entre cartes biparties et arbres multitypes, et d’autre part des théorèmes de convergence pour les arbres de Galton–Watson multitypes étiquetés. Dans un deuxième temps, le but est de présenter une théorie des excursions pour le mouvement brownien indexé par l’arbre brownien. De manière analogue à la théorie d’Itô des excursions pour le mouvement brownien, chaque excursion correspond à une composante connexe du complémentaire des zéros du mouvement brownien indexé par l’arbre, et l’excursion est définie comme un processus indexé par un arbre continu. On explique comment mesurer la longueur de la frontière de ces excursions, de sorte que la famille de ces longueurs coïncide avec les sauts d’un processus de branchement à temps continu de mécanisme de branchement stable d’indice 3/2. De plus, conditionnellement aux longueurs des frontières, les excursions sont indépendantes et leur loi conditionnelle est déterminée à l’aide d’une mesure d’excursion explicite que l’on introduit et décrit. Dans ce travail, le serpent brownien apparaît comme un outil particulièrement important. / The first part of this thesis concerns the area of random maps, which is a topic in between probability theory, combinatorics and statistical physics. Our work complements several results of convergence of various classes of random maps to the Brownian map, which is a random compact metric space. More precisely, we prove that the scaling limit of a map which is uniformly distributed over the class of rooted planar maps with n edges, equipped with the graph distance rescaled by (2n)^(−1/4), is, in the Gromov-Hausdorff sense, the Brownian map. To establish this result, the main arguments are the use of a combinatorial bijection between bipartite maps and multitype trees, together with convergence theorems for Galton-Watson multitype trees. We then aim to develop an excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree. Analogous to the Itô excursion theory for Brownian motion, each excursion corresponds to a connected component of the complement of the zero set of the tree-indexed Brownian motion, and the excursion is defined as a process indexed by a continuous tree. We explain how to measure the length of the boundary of these excursions, in a way that the collection of these lengths coincides with the collection of jumps of a continuous-state branching process with a 3/2-stable branching mechanism. Moreover, conditionally on the boundary lengths, the excursions are independent and their conditional distribution is determined in terms of an excursion measure that we introduce and study. In this work, the Brownian snake appears as a particularly important tool.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés à l'étude asymptotique d'objets combinatoires aléatoires. Deux thèmes ont particulièrement retenu notre attention : les cartes planaires aléatoires et les modèles combinatoires liés à la théorie des fragmentations. La théorie mathématique des cartes planaires aléatoires est née à l'aube de notre millénaire avec les travaux pionniers de Benjamini & Schramm, Angel & Schramm et Chassaing & Schaeffer. Elle a ensuite beaucoup progressé, mais à l'heure où ces lignes sont écrites, de nombreux problèmes fondamentaux restent ouverts. Résumons en quelques mots clés nos principales contributions dans le domaine : l'introduction et l'étude du cactus brownien (avec J.F. Le Gall et G. Miermont), l'étude de la quadrangulation infinie uniforme vue de l'infini (avec L. Ménard et G. Miermont), ainsi que des travaux plus théoriques sur les graphes aléatoires stationnaires d'une part et les graphes empilables dans $\R^d$ d'autre part (avec I. Benjamini). La théorie des fragmentations est beaucoup plus ancienne et remonte à des travaux de Kolmogorov (1941) et de Filippov (1961). Elle est maintenant bien développée (voir par exemple l'excellent livre de J. Bertoin), et nous ne nous sommes pas focalisés sur cette théorie mais plutôt sur ses applications à des modèles combinatoires. Elle s'avère en effet très utile pour étudier différents modèles de triangulations récursives du disque (travail effectué avec J.F. Le Gall) et les recherches partielles dans les quadtrees (travail effectué avec A. Joseph). / The subject of this thesis is the asymptotic study of large random combinatorial objects. This is obviously very broad, and we focused particularly on two themes: random planar maps and their limits, and combinatorial models that are in a way linked to fragmentation theory. The mathematical theory of random planar maps is quite young and was triggered by works of Benjamini & Schramm, Angel & Schramm and Chassaing & Schaeffer. This fascinating field is still growing and fundamental problems remain unsolved. We present some new results in both the scaling limit and local limit theories by introducing and studying the Brownian Cactus (with J.F. Le Gall and G. Miermont), giving a new view point, a view from infinity, at the Uniform Infinite Planar Quadrangulation (UIPQ) and bringing more theoretical contributions on stationary random graphs and sphere packable graphs (with I. Benjamini). Fragmentation theory is much older and can be tracked back to Kolmogorov and Filippov. Our goal was not to give a new abstract contribution to this well-developed theory (see the beautiful book of J. Bertoin) but rather to apply it to random combinatorial objects. Indeed, fragmentation theory turned out to be useful in the study of the so-called random recursive triangulations of the disk (joint work with J.F. Le Gall) and partial match queries in random quadtrees (joint work with A. Joseph).

Les limites d'échelle de grands arbres aléatoires jouent un rôle central dans cette thèse.Nous nous intéressons plus spécifiquement au comportement asymptotique de plusieurs fonctions codant des arbres de Galton-Watson conditionnés. Nous envisageons plusieurs types de conditionnements faisant intervenir différentes quantités telles que le nombre total de sommets ou le nombre total de feuilles, avec des lois de reproductions différentes.Lorsque la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d'attraction d'uneloi stable, un phénomène d'universalité se produit : ces arbres ressemblent à un même arbre aléatoire continu, l'arbre de Lévy stable. En revanche, lorsque la criticalité est brisée, la communauté de physique théorique a remarqué que des phénomènes de condensation peuvent survenir, ce qui signifie qu'avec grande probabilité, un sommet de l'arbre a un degré macroscopique comparable à la taille totale de l'arbre. Une partie de cette thèse consiste à mieux comprendre ce phénomène de condensation. Finalement, nous étudions des configurations non croisées aléatoires, obtenues à partir d'un polygône régulier en traçant des diagonales qui ne s'intersectent pas intérieurement, et remarquons qu'elles sont étroitement reliées à des arbres de Galton-Watson conditionnés à avoir un nombre de feuilles fixé. En particulier, ce lien jette un nouveau pont entre les dissections uniformes et les arbres de Galton-Watson, ce qui permet d'obtenir d'intéressantes conséquences de nature combinatoire.

Au cours de ce travail, nous nous intéressons aux limites d'échelle de deux classes de cartes. Dans un premier temps, nous regardons les quadrangulations biparties de genre strictement positif g fixé et, dans un second temps, les quadrangulations planaires à bord dont la longueur du bord est de l'ordre de la racine carrée du nombre de faces. Nous voyons ces objets comme des espaces métriques, en munissant leurs ensembles de sommets de la distance de graphe, convenablement renormalisée. Nous montrons qu'une carte prise uniformément parmi les cartes ayant n faces dans l'une de ces deux classes tend en loi, au moins à extraction près, vers un espace métrique limite aléatoire lorsque n tend vers l'infini. Cette convergence s'entend au sens de la topologie de Gromov--Hausdorff. On dispose de plus des informations suivantes sur l'espace limite que l'on obtient. Dans le premier cas, c'est presque sûrement un espace de dimension de Hausdorff 4 homéomorphe à la surface de genre g. Dans le second cas, c'est presque sûrement un espace de dimension 4 avec une frontière de dimension 2, homéomorphe au disque unité de R^2. Nous montrons en outre que, dans le second cas, si la longueur du bord est un petit~o de la racine carrée du nombre de faces, on obtient la même limite que pour les quadrangulations sans bord, c'est-à-dire la carte brownienne, et l'extraction n'est plus requise.

Cette thèse étudie certaines propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement en temps et espace continus. De façon informelle, ce type de processus est obtenu en considérant l'évolution d'une population où les individus se reproduisent et meurent au cours du temps, et ce de manière aléatoire. Le premier chapitre concerne la classe des processus de branchement avec immigration. On donne une formule semi-explicite pour la transformée de Laplace des temps d'atteinte ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante de récurrence-transience. Ces deux résultats illustrent la compétition branchement/immigration. Le second chapitre considère l'arbre Brownien et ses mesures de temps local, dites mesures de niveau. On montre que celles-ci s'obtiennent comme restriction, à une constante près explicitée, d'une certaine mesure de Hausdorff sur l'arbre. Le résultat est montré simultanément pour tous niveaux. Le troisième chapitre étudie le Super-mouvement Brownien associé à un mécanisme de branchement général. Sa mesure d'occupation totale est obtenue comme restriction d'une certaine mesure de packing dans l'espace euclidien. Le résultat est valable en grande dimension. La condition sur la dimension de l'espace ambiant est discutée à travers le calcul, sous des hypothèse de régularité faibles pour le mécanisme de branchement, de la dimension de packing du range total du processus. / This thesis investigates some fractal and pathwise properties of branching processes with continuous time and state-space. Informally, this kind of process can be described by considering the evolution of a population where individuals reproduce and die over time, randomly. The first chapter deals with the class of continuous branching processes with immigration. We provide a semi-explicit formula for the hitting times and a necessary and sufficient condition for the process to be recurrent or transient. Those two results illustrate the competition between branching and immigration. The second chapter deals with the Brownian tree and its local time measures : the level-sets measures. We show that they can be obtained as the restriction, with an explicit multiplicative constant, of a Hausdorff measure on the tree. The result holds uniformly for all levels. The third chapter study the Super-Brownian motion associated with a general branching mechanism. Its total occupation measure is obtained as the restriction to the total range, of a given packing measure on the euclidean space. The result is valid for large dimensions. The condition on the dimension is discussed by computing the packing dimension of the total range. This is done under a weak assumption on the regularity of the branching mechanism.