Serre classes of modules over a ring R are important because they describe relationships between certain classes of modules and sets of ideals of R. We characterize the Serre classes of three different types of modules. First we characterize all Serre classes of noetherian modules over a commutative noetherian ring. By relating noetherian modules to artinian modules via Matlis duality, we characterize the Serre classes of artinian modules. A module M is reflexive with respect to E if the natural evaluation map from M to its bidual is an isomorphism. When R is complete local and noetherian, take E as the injective envelope of the residue field of R. The main result provides a characterization of the Serre classes of reflexive modules over a complete local noetherian ring. This characterization depends on an ability to “construct” reflexive modules from noetherian modules and artinian modules. We find that Serre classes of reflexive modules over a complete local noetherian ring are in one-to-one correspondence with pairs of collections of prime ideals which are closed under specialization.

O objetivo desta dissertação é estudar a caracterização dos módulos injetivos sobre anéis noetherianos e comutativos, dada por Eben Matlis em [16], como soma direta de módulos da forma E(A P ). Assim, discutimos algumas propriedades dos mó- dulos injetivos indecomponíveis sobre esses tipos de anéis. Em particular, mostramos que o completamento do anel local Ap é isomorfo ao anel HomA(E(A P );E(A P )). A partir disso, mostramos que, quando o anel for comutativo, noetheriano, local e completo, então a categoria dos módulos noetherianos e a categoria dual dos módulos artinianos são equivalentes. / The goal of this work is to study the characterization of injective modules over Noetherian and commutative rings, given by Eben Matlis in [16], as a direct sum of modules of the form E(A P ). Thus, we discuss some properties of injective indecomposable modules over these types of rings. In particular, we show that the completion of the local ring Ap is isomorphic to the ring HomA(E(A P );E(A P )). From this, we show that, when a ring is commutative, noetherian, local and complete, the category of the Noetherian modules and the dual category of Artinian modules are equivalent.

O objetivo desta dissertação é estudar a caracterização dos módulos injetivos sobre anéis noetherianos e comutativos, dada por Eben Matlis em [16], como soma direta de módulos da forma E(A P ). Assim, discutimos algumas propriedades dos mó- dulos injetivos indecomponíveis sobre esses tipos de anéis. Em particular, mostramos que o completamento do anel local Ap é isomorfo ao anel HomA(E(A P );E(A P )). A partir disso, mostramos que, quando o anel for comutativo, noetheriano, local e completo, então a categoria dos módulos noetherianos e a categoria dual dos módulos artinianos são equivalentes. / The goal of this work is to study the characterization of injective modules over Noetherian and commutative rings, given by Eben Matlis in [16], as a direct sum of modules of the form E(A P ). Thus, we discuss some properties of injective indecomposable modules over these types of rings. In particular, we show that the completion of the local ring Ap is isomorphic to the ring HomA(E(A P );E(A P )). From this, we show that, when a ring is commutative, noetherian, local and complete, the category of the Noetherian modules and the dual category of Artinian modules are equivalent.

O objetivo desta dissertação é estudar a caracterização dos módulos injetivos sobre anéis noetherianos e comutativos, dada por Eben Matlis em [16], como soma direta de módulos da forma E(A P ). Assim, discutimos algumas propriedades dos mó- dulos injetivos indecomponíveis sobre esses tipos de anéis. Em particular, mostramos que o completamento do anel local Ap é isomorfo ao anel HomA(E(A P );E(A P )). A partir disso, mostramos que, quando o anel for comutativo, noetheriano, local e completo, então a categoria dos módulos noetherianos e a categoria dual dos módulos artinianos são equivalentes. / The goal of this work is to study the characterization of injective modules over Noetherian and commutative rings, given by Eben Matlis in [16], as a direct sum of modules of the form E(A P ). Thus, we discuss some properties of injective indecomposable modules over these types of rings. In particular, we show that the completion of the local ring Ap is isomorphic to the ring HomA(E(A P );E(A P )). From this, we show that, when a ring is commutative, noetherian, local and complete, the category of the Noetherian modules and the dual category of Artinian modules are equivalent.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-11T12:32:04Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 604214 bytes, checksum: ba88d16062ebf0bc144fe2cd43359547 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-11T12:32:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 604214 bytes, checksum: ba88d16062ebf0bc144fe2cd43359547 (MD5) Previous issue date: 2016-03-09 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / The connection between the theory of local cohomology and the theory of secondary representation and attached prime ideals is exposed in the work of R. Y. Sharp and I. G. Macdonald and it displayed itself as very prolific since the statement of various conditions of vanishing and non-vanishing for some local cohomology modules. In this work we show that, in some conditions, the (generalised) Matlis dual DR (M ) of a module M over a semi-local ring R is Artinian, hence representable. Under the same conditions we show that AttR (DR (M )) = Ass(M ). We also describe the set of attached primes of co-localisations of modules and of some local cohomology modules. The use for the latter is, as an example, to describe the set of attached primes of the top local cohomology module Ha dim(R)(R) as the set of prime ideals of R which satisfy the condition of Lichtenbaum–Hartshorne Vanishing Theorem. / A conexão entre a teoria de cohomologia local e a teoria de representação secundária e ideais primos anexados foi exposta nos trabalhos de R. Y. Sharp e I. G. Macdonald e mostrou-se bastante prolı́fica, uma vez que foram estabelecidas condições de anulamento e não anulamento de determinados módulos de cohomologia local. Neste trabalho, provamos que, para determinadas condições, o dual de Matlis (generalizado) de um módulo M , DR (M ), sobre um anel semi-local R, é Artiniano e, portanto, representável. Sob estas condições, mostramos que AttR DR (M ) = AssM . Além disso, descrevemos os conjuntos de primos anexados de alguns módulos de cohomologia local e módulos via co-localização. Por exemplo, mostramos que o conjunto dos ideais primos anexados do módulo de cohomologia local Ha dim(R) (R) é justamente o conjunto de ideais primos de R que satisfazem a condição do Teorema de Anulamento de Lichtenbaum–Hartshorne.

Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-08-11T16:01:13Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1341956 bytes, checksum: 725d00067ec252af7f139395f2803b1b (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-11T16:01:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1341956 bytes, checksum: 725d00067ec252af7f139395f2803b1b (MD5) Previous issue date: 2015-12-15 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work develops the theories of local cohomology and local homology with respect to an arbitrary set of ideals and generalises most of the important results from the classical theories. It also introduces the category of quasi-holonomic D-modules and proves some finiteness properties of local cohomology modules which generalise Lyubeznik's results in some sense. / Este trabalho desenvolve as teorias de cohomologia e homologia locais com respeito a um conjunto arbitrário de ideais e generaliza vários dos resultados importantes das teorias clássicas. Também, introduz a categoria dos D-módulos quase-holônomos e prova alguns resultados de finitude de cohomologia local que generalizam, em algum sentido, os resultados de G. Lyubeznik.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-05-03T14:34:10Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 773251 bytes, checksum: a945323994dc94077e6e07ea3444ef1c (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-03T14:34:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 773251 bytes, checksum: a945323994dc94077e6e07ea3444ef1c (MD5) Previous issue date: 2016-08-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we study the I-adic completion functor, its properties and main results. Moreover, we study local homology modules as de ned by N. T. Cuong and T. T. Nam. The nal part of this work is reserved to the study of local homology of Artinian modules. In some aspects, local homology theory has a dual behaviour with respect to Grothendieck's local cohomology theory of sheaves. / Neste trabalho, estudamos o funtor completamento I-ádico. Sua de finição, propriedades e resultados importantes. Além disso, estudamos também os módulos de homologia local, segundo a de finição dada por Nguyen Tu Cuong e Tran Tuan Nam. Uma parte do trabalho é reservada ao estudo da homologia local de módulos Artinianos. Em alguns aspectos, a teoria de homologia local aqui apresentada é dual a teoria de cohomologia local de Grothendieck. Palavras-chave: Funtor completamento; Funtor derivado; Homologia local; Dual de Matlis; Mittag-Leffer; Dimensão Noetheriana.