This thesis is devoted to a number of structural and behavioural problems in linear multivariable control system theory. The first problem addresses the subject of determination of the finite and infinite frequency structure of a rational matrix. A novel method is proposed that determines the finite and infinite frequency structure of any rational matrix. Some neat and numerically stable algorithms are developed to implement this method. The second problem concerns the resol vent decompositions of a regular polynomial matrix and solutions of regular polynomial matrix descriptions (PMDs). Regarding these fundamental is'sues, three contributions are made therein. Firstly, based on a general resolvent decomposition a complete solution of regular PMDs is presented that takes into account both the non-zero initial conditions of the pseudo state and the non-zero initial conditions of the input. Secondly, two special resolvent decompositions are proposed, both of which are applied to formulate the solution of the regular PMDs. The first one is formulated in terms of the finite, infinite, and the generalised infinite Jordan pairs, which is a refinement of the results given by Gohberg et al. [74] and Vardulakis [25]. The second resolvent decomposition is proposed on the Weierstrass canonical form of the generalised companion matrix of the polynomial matrix. Thirdly, a new characterization of the impulsive free initial conditions of regular PMDs is given and the relationship between the finite and infinite frequency structure of a regular polynomial matrix and its generalised companion matrix is determined. In the third problem a generalization of the chain-scattering representation for general plants is presented. Through the notion of input-output consistency, the conditions under which the generalised chain-scattering representation and the dual generalised chain-scattering representation exist are proposed. Some algebraic system properties of the GCSRs and DGCSRs are studied. The fourth problem is devoted to a new notion of realization of behaviour. We introduce a notion realization of behavior which is shown to be a generalization of the classical concept of a realization of transfer function. By using this approach, the input-output structures of the generalized chain-scattering representations and the dual generalized chain-scattering representations are investigated in a behavioral theory context. The last problem is devoted to the subjects of system wellposedness and internal stability. We present certain generalisations to the classical concepts of wellposedness and internal stability. The input consistency and output uniqueness of the closed-loop system in the standard control feedback configurations are discussed. Based on this, a number of notions are introduced such as fully internal wellposedness, externally internal wellposedness, and externally internal stability, which characterize the rich input-output and stability features of the general control systems in a general setting. On the basis of these notions the extended JL control problem is defined in a general setting.

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在這一篇論文中，我們討論 Ck/Cm/1 的等候系統。 我們利用矩陣多項式的奇異點及向量造 C_k/C_m/1 的機率分配的解空間。而矩陣多項式的非零奇異點和一個由抵達間隔時間與服務時間所形成的方程式有密切的關係。我們證明了在 E_k/E_m/1 的等候系統中，方程式的所有根都是相異的。但是當方程式有重根時，我們必須解一組相當複雜的方程式才能得到構成解空間的向量。此外，我們建立了一個描述飽和機率為 Kronecker products 線性組合的演算方法。 / In this thesis, we analyze the single server queueing system Ck/Cm/1. We construct a general solution space of the vector for stationary probability and describe the solution space in terms of singularities and vectors of the fundamental matrix polynomial Q(w). There is a relation between the singularities of Q(w) and the roots of the characteristic polynomial involving the Laplace transforms of the interarrival and service times distributions. In the Ek/Em/1 queueing system, it is proved that the roots of the characteristic polynomial are distinct if the arrival and service rates are real. When multiple roots occur, one needs to solve a set of equations of matrix polynomials. As a result, we establish a procedure for describing those vectors used in the expression of saturated probability as linear combination of Kronecker products.

Die Fragestellung der Arbeit geht aus einem matriziellen Potenzmomentenproblem des folgenden Typs hervor: Für eine vorgegebene endliche Folge s0,...sm von q × q-Matrizen sind alle nicht-negativen Hermiteschen q × q-Maße σ auf Ω zu bestimmen, deren j-tes Moment für alle j=0,...,m-1 genau sj ist und deren m-tes Moment nichtnegativ hermitesch ist. Hier behandeln wir den Stieltjes-Fall Ω = [α, ∞) dieser Problemstellung. Die Lösungen dieses matriziellen Momentenproblems lassen sich in eindeutiger Weise mit gewissen holomorphen Matrixfunktionen, ihren sogenannten Stieltjes-Transformierten, identifizieren. Das Ziel der Betrachtungen dieser Arbeit ist, die Menge aller Werte zu charakterisieren, welche diese Stieltjes-Transformierten bei Auswertung in einem fixierten Punkt aus der oberen komplexen Halbebene annehmen können. Da sich jede Lösung eines Stieltjes-Momentenproblems so fortsetzen lässt, dass sie ein entsprechendes Hamburger-Momentenproblem löst, ist erwartbar, dass die Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Stieltjes-Momentenproblems in einem festen Punkt eine Teilmenge der Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Hamburger-Momentenproblems ist. An dieser Bemerkung anknüpfend besteht der Ansatz nun darin, das betrachtete Stieltjes-Momentenproblem auf zwei Momentenprobleme vom Hamburger-Typ zurückzuführen. Das erste der beiden ergibt sich auf natürliche Weise wie oben beschrieben. Das zweite ist einer Modifikation der vorgeschriebenen Datenfolge zuzuordnen, welche die linke Intervalgrenze des Integrationsgebiets [α, ∞) berücksichtigt. Die Menge der Werte, die von Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines betrachteten Hamburger-Momentenproblems in einem festen Punkt angenommen werden können, stimmt mit einer Matrix-Kreisscheibe überein, deren Mittelpunkt, linker und rechter Halbradius explizit anhand der gegebenen Datenfolge ausgedrückt werden können. Ordnet man nun jedem der beiden Hamburger-Momentenprobleme, auf die das Stieltjes-Problem zurückgeführt wurde, die entsprechende Matrix-Kreisscheibe zu, so erhält man, dass die Menge, die zu charakterisieren unser Ziel ist, wie zu erwarten im Schnitt dieser beiden Matrix-Kreisscheiben liegt. Darüber hinaus zeigt sich, dass die Menge diesen Schnitt sogar ausfüllt. Der Beweis dieser Teilmengenbeziehung ist aufwendiger als die erste Richtung. Eine zentrale Rolle im Beweis nehmen gewisse Polynomsysteme mit Orthogonaleigenschaften ein. Bei der im Zentrum der Arbeit stehenden Untersuchung wurde ein Wert aus der oberen komplexen Halbebene fixiert, in welchem dann die Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines Stieltjes-Problems ausgewertet wurden. Die analoge Fragestellung für die Wahl eines Punktes in (−∞, α) wurde zuvor mit unterschiedlichen Voraussetzungen in verschiedener Literatur behandelt. Der Fall, dass der Punkt in der unteren komplexen Halbebene liegen soll, lässt sich über ein Spiegelungsprinzip auf den Fall der oberen komplexen Halbebene zurückführen, womit dann alle Möglichkeiten, den Punkt zu fixieren, abgedeckt sind.:1. Introduction 2. Preliminaries and Notation 3. Special Classes of Matrix-Valued Functions 3.1. The Class Rq(Π+) of Matrix-Valued Herglotz-Nevanlinna Functions 3.2. Particular Subclasses of Rq(Π+) 3.3. Matrix-Valued Stieltjes Functions 4. Parameterization of Block Hankel Matrices and Related Sequences of Complex Matrices 4.1. The Sequence of H-parameters 4.2. The α-Stieltjes Parameterization 4.3. The α-Schur Transform 5. Some Considerations on Particular Matrix Polynomials 6. Special Rational Matrix-Valued Functions 7. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Hamburger Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 8. Pairs of Meromorphic Matrix-Valued Functions 8.1. Nevanlinna Pairs in Π+ 8.2. Nevanlinna Pairs in C \ R 8.3. Stieltjes Pairs in C \ [α, ∞) 9. A Special Quadruple of Matrix Polynomials 10. Further Identities for Matrix Polynomials 11. The [α, ∞)-Quadruple of Matrix Polynomials 12. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Stieltjes Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 12.1. First Discussion of the Corresponding Matrix Balls 12.2. Representation in the Case of an Odd Number of Prescribed Matricial Moments 12.2.1. Representation in the Case (sj )0j=0 of a Single Prescribed Matricial Moment 12.2.2. Explicit Connections 12.2.3. Representation as Intersection of two Matrix Balls 12.3. Representation in the Case of an Even Number of Prescribed Matricial Moments 13. Summary and Prospects A. Some Facts on Matrix Theory B. Some Facts on Orthogonal Projection Matrices C. Some Facts on the Integration Theory of Non-negative Hermitian Measures Nomenclature

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L'Algèbre tropicale peut être considérée comme un domaine relativement nouveau en mathématiques. Elle apparait dans plusieurs domaines telles que l'optimisation, la synchronisation de la production et du transport, les systèmes à événements discrets, le contrôle optimal, la recherche opérationnelle, etc. La première partie de ce manuscrit est consacrée a l'étude des applications de l'algèbre tropicale à l'analyse numérique matricielle. Nous considérons tout d'abord le problème classique de l'estimation des racines d'un polynôme univarié. Nous prouvons plusieurs nouvelles bornes pour la valeur absolue des racines d'un polynôme en exploitant les méthodes tropicales. Ces résultats sont particulièrement utiles lorsque l'on considère des polynômes dont les coefficients ont des ordres de grandeur différents. Nous examinons ensuite le problème du calcul des valeurs propres d'une matrice polynomiale. Ici, nous introduisons une technique de mise à l'échelle générale, basée sur l'algèbre tropicale, qui s'applique en particulier à la forme compagnon. Cette mise à l'échelle est basée sur la construction d'une fonction polynomiale tropicale auxiliaire, ne dépendant que de la norme des matrices. Les raciness (les points de non-différentiabilité) de ce polynôme tropical fournissent une pré-estimation de la valeur absolue des valeurs propres. Ceci se justifie en particulier par un nouveau résultat montrant que sous certaines hypothèses faites sur le conditionnement, il existe un groupe de valeurs propres bornées en norme. L'ordre de grandeur de ces bornes est fourni par la plus grande racine du polynôme tropical auxiliaire. Un résultat similaire est valable pour un groupe de petites valeurs propres. Nous montrons expérimentalement que cette mise à l'échelle améliore la stabilité numérique, en particulier dans des situations où les données ont des ordres de grandeur différents. Nous étudions également le problème du calcul des valeurs propres tropicales (les points de non-différentiabilité du polynôme caractéristique) d'une matrice polynômiale tropicale. Du point de vue combinatoire, ce problème est équivalent à trouver une fonction de couplage: la valeur d'un couplage de poids maximum dans un graphe biparti dont les arcs sont valués par des fonctions convexes et linéaires par morceaux. Nous avons développé un algorithme qui calcule ces valeurs propres tropicales en temps polynomial. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes d'affectation optimale de très grande taille, pour lesquels les algorithms séquentiels classiques ne sont pas efficaces. Nous proposons une nouvelle approche qui exploite le lien entre le problème d'affectation optimale et le problème de maximisation d'entropie. Cette approche conduit à un algorithme de prétraitement pour le problème d'affectation optimale qui est basé sur une méthode itérative qui élimine les entrées n'appartenant pas à une affectation optimale. Nous considérons deux variantes itératives de l'algorithme de prétraitement, l'une utilise la méthode Sinkhorn et l'autre utilise la méthode de Newton. Cet algorithme de prétraitement ramène le problème initial à un problème beaucoup plus petit en termes de besoins en mémoire. Nous introduisons également une nouvelle méthode itérative basée sur une modification de l'algorithme Sinkhorn, dans lequel un paramètre de déformation est lentement augmenté. Nous prouvons que cette méthode itérative(itération de Sinkhorn déformée) converge vers une matrice dont les entrées non nulles sont exactement celles qui appartiennent aux permutations optimales. Une estimation du taux de convergence est également présentée.

Which matrices can be written as sums or products of square-zero matrices? This question is the central premise of this dissertation. Over the past 25 years a signi - cant body of research on products and linear combinations of square-zero matrices has developed, and it is the aim of this study to present this body of research in a consolidated, holistic format, that could serve as a theoretical introduction to the subject. The content of the research is presented in three parts: rst results within the broader context of sums and products of nilpotent matrices are discussed, then products of square-zero matrices, and nally sums of square-zero matrices. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)

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