L'Algèbre tropicale peut être considérée comme un domaine relativement nouveau en mathématiques. Elle apparait dans plusieurs domaines telles que l'optimisation, la synchronisation de la production et du transport, les systèmes à événements discrets, le contrôle optimal, la recherche opérationnelle, etc. La première partie de ce manuscrit est consacrée a l'étude des applications de l'algèbre tropicale à l'analyse numérique matricielle. Nous considérons tout d'abord le problème classique de l'estimation des racines d'un polynôme univarié. Nous prouvons plusieurs nouvelles bornes pour la valeur absolue des racines d'un polynôme en exploitant les méthodes tropicales. Ces résultats sont particulièrement utiles lorsque l'on considère des polynômes dont les coefficients ont des ordres de grandeur différents. Nous examinons ensuite le problème du calcul des valeurs propres d'une matrice polynomiale. Ici, nous introduisons une technique de mise à l'échelle générale, basée sur l'algèbre tropicale, qui s'applique en particulier à la forme compagnon. Cette mise à l'échelle est basée sur la construction d'une fonction polynomiale tropicale auxiliaire, ne dépendant que de la norme des matrices. Les raciness (les points de non-différentiabilité) de ce polynôme tropical fournissent une pré-estimation de la valeur absolue des valeurs propres. Ceci se justifie en particulier par un nouveau résultat montrant que sous certaines hypothèses faites sur le conditionnement, il existe un groupe de valeurs propres bornées en norme. L'ordre de grandeur de ces bornes est fourni par la plus grande racine du polynôme tropical auxiliaire. Un résultat similaire est valable pour un groupe de petites valeurs propres. Nous montrons expérimentalement que cette mise à l'échelle améliore la stabilité numérique, en particulier dans des situations où les données ont des ordres de grandeur différents. Nous étudions également le problème du calcul des valeurs propres tropicales (les points de non-différentiabilité du polynôme caractéristique) d'une matrice polynômiale tropicale. Du point de vue combinatoire, ce problème est équivalent à trouver une fonction de couplage: la valeur d'un couplage de poids maximum dans un graphe biparti dont les arcs sont valués par des fonctions convexes et linéaires par morceaux. Nous avons développé un algorithme qui calcule ces valeurs propres tropicales en temps polynomial. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes d'affectation optimale de très grande taille, pour lesquels les algorithms séquentiels classiques ne sont pas efficaces. Nous proposons une nouvelle approche qui exploite le lien entre le problème d'affectation optimale et le problème de maximisation d'entropie. Cette approche conduit à un algorithme de prétraitement pour le problème d'affectation optimale qui est basé sur une méthode itérative qui élimine les entrées n'appartenant pas à une affectation optimale. Nous considérons deux variantes itératives de l'algorithme de prétraitement, l'une utilise la méthode Sinkhorn et l'autre utilise la méthode de Newton. Cet algorithme de prétraitement ramène le problème initial à un problème beaucoup plus petit en termes de besoins en mémoire. Nous introduisons également une nouvelle méthode itérative basée sur une modification de l'algorithme Sinkhorn, dans lequel un paramètre de déformation est lentement augmenté. Nous prouvons que cette méthode itérative(itération de Sinkhorn déformée) converge vers une matrice dont les entrées non nulles sont exactement celles qui appartiennent aux permutations optimales. Une estimation du taux de convergence est également présentée.

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El análisis y el control de las vibraciones cobra especial importancia en muchas ramas de la ingeniería, en especial la ingeniería mecánica, civil, aeronáutica y automovilística. Tal es así que prácticamente se identi¿ca como un área independiente dentro del análisis dinámico de estructuras. Desde los comienzos de esta teoría, las fuerzas disipativas o de amortiguamiento han sido uno de los fenómenos más difíciles de modelizar. El modelo viscoso, por su sencillez y versatilidad ha sido y sigue siendo el gran paradigma de los modelos de amortiguamiento. Sin embargo, como consecuencia de la aparición de materiales con memoria se introdujo el fenómeno de la viscoelasticidad; Esta, si bien está también 'íntimamente ligada ' a la velocidad de la respuesta, necesito de la introducción de las denominadas funciones hereditarias, que permiten poner a las fuerzas disipativas como función no solo de la velocidad instantánea sino de la historia de velocidades desde el comienzo del movimiento, de ahí el termino memoria. De forma natural, el avance teórico introducido en el modelo supone también una complicación computacional, pues donde antes teníamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales ahora tenemos un sistema de ecuaciones integro-diferenciales. El análisis de las vibraciones libres de los sistemas con amortiguamiento viscoelástico conduce a un problema nolineal de autovalores donde la característica principal es una matriz de amortiguamiento que depende de la frecuencia de excitación. El estudio de la solución de autovalores y autovectores de este problema es importante si se desean conocer los modos de vibración de la estructura o si se pretende obtener la respuesta en el dominio de la frecuencia del sistema. El objetivo fundamental de esta Tesis Doctoral es doble: Por un lado, profundizar en el conocimiento del problema de autovalores de sistemas viscoelásticos proponiendo para ello nuevos métodos numéricos de resolución. Por otro, desarrollar un nuevo modelo viscoso que, bajo ciertas condiciones, reproduzca la respuesta del modelo viscoelástico con su¿ciente aproximación. La Tesis se divide en ocho capítulos, de ellos el cuerpo principal se encuentra en los seis centrales (Capítulos 2 a 7. Todos ellos son artículos de investigación que, o bien han sido publicados, o bien están en proceso de revisión en revistas contenidas en el Journal Citation Reports (JCR). Por esta razón, todos los capítulos conservan la estructura intrínseca de un artículo, incluidas una introducción y una bibliografía en cada uno. Los cuatro primeros capítulos (Capítulos 2 a 5) se centran en el estudio del problema no lineal de autovalores. Se proponen dos metodologías de resolución: la primera es un procedimiento iterativo basado en el esquema del punto-¿jo y desarrollado para sistemas proporcionales o ligeramente no-proporcionales (aquellos en los que los modos se presentan desacoplados o casi desacoplados). La segunda metodología (presentada en dos capítulos diferentes), denominada paramétrica, permite obtener soluciones casi-analíticas de los autovalores, tanto para sistemas de un grado de libertad como para sistemas de múltiples grados de libertad y dentro de 'estos, para sistemas proporcionales y no proporcionales. El estudio del problema de autovalores se completa con un capítulo dedicado a los autovalores reales, también denominados autovalores no viscosos. En 'él se demuestra una nueva caracterización maten ática que deben cumplir dichos autovalores y que permite proponer un nuevo concepto: el conjunto no-viscoso. Los dos 'últimos capítulos (Capítulos 6 y 7) analizan el Modelo Viscoso Equivalente como propuesta para la modelización de la respuesta de sistemas viscoelásticos. El análisis se realiza desde el dominio de la frecuencia estudiando la función de transferencia. En una primera etapa (pen último capítulo), de naturaleza más maten ática, se demuestra que la función de transferencia exacta de un modelo viscoelástico se puede expresar como suma de una función de transferencia propia de un modelo viscoso más un término denominado residual, directamente dependiente del nivel de amortiguamiento inducido y del acoplamiento modal (noproporcionalidad de la matriz de amortiguamiento). En una segunda etapa ('ultimo capítulo), se desarrolla una aplicación para estructuras reales formadas por entramados planos de elementos 1D amortiguados con capas de material visco elástico. Este tipo de estructuras ha permitido usar una variante mejorada del método paramétrico para la obtención de los autovalores, de forma que en este 'ultimo capítulo ha servido como nexo de unión de las metodologías más importantes desarrolladas en la Tesis. / Lázaro Navarro, M. (2013). The Eigenvalue Problem in Linear Viscoelastic Structures: New Numerical Approaches and the Equivalent Viscous Model [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/30062 / TESIS