Les mathématiques tropicales sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'une algèbre modifiée grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication. Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition (algèbre min-plus) mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition. Briec et Horvath ont introduit une notion de convexité très proche qui apparait comme un cas limite d’opérateurs utilisés en théorie de l’optimisation par Avriel (1972) et de Ben-Tal (1977). En suivant cette ligne d’investigation, nous allons proposer, dans le domaine de l’économie de la production et de l’optimisation de portefeuille, une certaine classe de modèles économiques à élaborés à partir de ces notions. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle classe de technologie de production permettant de prendre en compte les structures d’homothe´tie-translation dans la mesure de productivité au travers du concept de la Convexité Max-Plus. Ensuite, nous allons établir une relation topologique entre plusieurs classes de modèles convexes généralisés connus. Nous analysons pour cela la limite de Painlevé-Kuratowski des modèles CES-CET et des technologies non paramétriques satisfaisant une hypothèse de rendements d’échelle alpha. On montre que leurs limites topologiques convergent vers les modèles de production B-convexe et Cobb-Douglas. Enfin, nous allons montrer que l'amélioration de l'efficacité technique d’une coalition d’entreprises s'avère compatible avec les technologies de semi-treillis dans un jeu coopératif. Nous introduisons ensuite, le concept d’écart absolu moyen dans la sélection du portefeuille en utilisant le « Shortage Function » qui prend en compte simultanément la réduction des inputs et l’augmentation des outputs comme dans la théorie de la production. Enfin, nous allons étendre le concept de B-convexité et de l’inverse B-convexité en se concentrant sur le calcul des mesures d’efficacité technique dans le graphe. / Tropical algebra is the tropical analogue of linear algebra by redefining the usual operation addition by the maximization operation and the usual addition operation as multiplication. Briec and Horvath introduced a concept of convexity very close to this concept quoted above which appears as one of the limits of use of the theory of optimization by Avriel (1972) and Ben-Tal (1977). Following this line of investigation, we give an overview of contributions involving a semilattice structure of production technologies and an optimization portfolio. To do that, firstly, we propose a framework allowing to consider both semilattice structure and translation homothetic properties in productivity measurement. We introduce the concept of Max-Plus convexity which combine both an upper semilattice structure and an additivity assumption. We establish a topological relation between several classes of known generalized convex models using some basic algebraic convex structures. We analyze the Painlevé-Kuratowski limit of the CES-CET and Alpha-returns to scale models. It is shown that their topological limits yield the B-convex and Cobb-Douglas production models. Moreover, we show that the improvement of technical efficiency is compatible with semilattice technologies in a cooperative game. Then, we introduce a criterion to measure portfolio efficiency based upon the minimization of the maximum absolute deviation and minimum absolute deviation from the expected return using the Shortage function. Finally, we derive simple closed-form expressions to calculate the hyperbolic measure in the case of inverse and B-Convexity that evaluates technical efficiency in the full input-output space.

Cryptography based on semirings can be one of the possible approaches for the post-quantum cryptography in the public-key schemes. In our work, we are interested in only one concrete semiring - tropical algebra. We are examining one concrete scheme for the key-agreement protocol - tropical Stickel's protocol. Although there was introduced an attack on it, we have implemented this attack and more importantly, stated its complexity. Further, we propose other variants of Stickel's protocol and we are investigating their potential for practical usage. During the process, we came across the theory of tropical matrix powers, thus we want to make an overview of it due to the use in cryptography based on matrices over the tropical algebra semiring. 1

Often mathematics is seen by high school students as a science restricted to memorizing formulas and concepts. Therefore limiting in its essence. The work seeks to reverse that view by submitting a new eld of study: Tropical Algebra. Relatively new area of mathematics that keeps the curious feature to handle the operations of addition and multiplication di erently from traditional, already presents interesting practical results. Tropical algebra will be presented in a didactic way, comparing it with the traditional algebra, showing the consequences of tropical operations in the study of polynomials, matrices and geometry, and presenting some practical applications. / Frequentemente a matemática é vista pelos alunos do ensino médio como uma ciência restrita à memorização de fórmulas e conceitos. Portanto, limitante em sua essência. O trabalho busca reverter tal visão através da apresentação de um novo campo de estudos: A Àlgebra Tropical. Área relativamente nova da matemática que guarda a curiosa característica de tratar as operações de adi- ção e multiplicação de forma diferente da tradicional, já apresenta resultados práticos interessantes. A Àlgebra Tropical será apresentada de forma didática, comparando-a com a álgebra tradicional e mostrando as consequências das operações tropicais no estudo dos polinômios, matrizes e geometria, além de apresentar algumas aplicações práticas.

L'Algèbre tropicale peut être considérée comme un domaine relativement nouveau en mathématiques. Elle apparait dans plusieurs domaines telles que l'optimisation, la synchronisation de la production et du transport, les systèmes à événements discrets, le contrôle optimal, la recherche opérationnelle, etc. La première partie de ce manuscrit est consacrée a l'étude des applications de l'algèbre tropicale à l'analyse numérique matricielle. Nous considérons tout d'abord le problème classique de l'estimation des racines d'un polynôme univarié. Nous prouvons plusieurs nouvelles bornes pour la valeur absolue des racines d'un polynôme en exploitant les méthodes tropicales. Ces résultats sont particulièrement utiles lorsque l'on considère des polynômes dont les coefficients ont des ordres de grandeur différents. Nous examinons ensuite le problème du calcul des valeurs propres d'une matrice polynomiale. Ici, nous introduisons une technique de mise à l'échelle générale, basée sur l'algèbre tropicale, qui s'applique en particulier à la forme compagnon. Cette mise à l'échelle est basée sur la construction d'une fonction polynomiale tropicale auxiliaire, ne dépendant que de la norme des matrices. Les raciness (les points de non-différentiabilité) de ce polynôme tropical fournissent une pré-estimation de la valeur absolue des valeurs propres. Ceci se justifie en particulier par un nouveau résultat montrant que sous certaines hypothèses faites sur le conditionnement, il existe un groupe de valeurs propres bornées en norme. L'ordre de grandeur de ces bornes est fourni par la plus grande racine du polynôme tropical auxiliaire. Un résultat similaire est valable pour un groupe de petites valeurs propres. Nous montrons expérimentalement que cette mise à l'échelle améliore la stabilité numérique, en particulier dans des situations où les données ont des ordres de grandeur différents. Nous étudions également le problème du calcul des valeurs propres tropicales (les points de non-différentiabilité du polynôme caractéristique) d'une matrice polynômiale tropicale. Du point de vue combinatoire, ce problème est équivalent à trouver une fonction de couplage: la valeur d'un couplage de poids maximum dans un graphe biparti dont les arcs sont valués par des fonctions convexes et linéaires par morceaux. Nous avons développé un algorithme qui calcule ces valeurs propres tropicales en temps polynomial. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes d'affectation optimale de très grande taille, pour lesquels les algorithms séquentiels classiques ne sont pas efficaces. Nous proposons une nouvelle approche qui exploite le lien entre le problème d'affectation optimale et le problème de maximisation d'entropie. Cette approche conduit à un algorithme de prétraitement pour le problème d'affectation optimale qui est basé sur une méthode itérative qui élimine les entrées n'appartenant pas à une affectation optimale. Nous considérons deux variantes itératives de l'algorithme de prétraitement, l'une utilise la méthode Sinkhorn et l'autre utilise la méthode de Newton. Cet algorithme de prétraitement ramène le problème initial à un problème beaucoup plus petit en termes de besoins en mémoire. Nous introduisons également une nouvelle méthode itérative basée sur une modification de l'algorithme Sinkhorn, dans lequel un paramètre de déformation est lentement augmenté. Nous prouvons que cette méthode itérative(itération de Sinkhorn déformée) converge vers une matrice dont les entrées non nulles sont exactement celles qui appartiennent aux permutations optimales. Une estimation du taux de convergence est également présentée.