München, Univ., Diss., 2005.

Zugl.: München, Univ., Diss., 2005

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1. Aussagen und Aussagenverbindungen 2. Mengenbegriff und Mengenbildung 3. Mengenalgebra 4. Korrespondenzen und Funktionen 5. Relationen und Operationen 6. Algebraische Strukturen 7. Graphen, Verbünde, Boolsche Algebren 8. Ordinal- und Kardinalzahlen 9. Induktion und Rekursion 10. Freie Halbgruppen und Sprachen Übungsaufgaben

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Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer Theorie bedingter Mengen. Bedingte Mengenlehre ist reich genug um einen bedingten mathematischen Diskurs zu führen, dessen Möglichkeit wir durch die Konstruktion einer bedingten Topologielehre und bedingter reeller Analysis aufzeigen. Wir beweisen die bedingte Version folgender Sätze: Ultrafilterlemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, und das Gaplemma von Debreu. Darüberhinaus beweisen wir die bedingte Version derjenigen Resultate der klassischen Mathematik, die in den Beweisen dieser Sätze benötigt werden, beginnend mit der Mengenlehre. Wir diskutieren die Verbindung von bedingter Mengenlehre zur Garben-, Topos- und L0-Theorie. / In this thesis, we develop a theory of conditional sets. Conditional set theory is sufficiently rich in order to allow for a conditional mathematical reasoning, the possibility of which we demonstrate by constructing a conditional general topology and a conditional real analysis. We prove the conditional version of the following theorems: Ultrafilter Lemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, and Debreu’s Gap Lemma. Moreover, we prove the conditional version of those results in classical mathematics which are needed in the proofs of these theorems, starting from set theory. We discuss the connection of conditional set theory to sheaf, topos and L0-theory.

The paper is located on the border between physics, mathematics and philosophy (ontology). The latter is required to embed the dualistic by nature mathematics into a monistic metatheory. It is shown, that a consequent philosophical monism and an approach which starts from the origin of the universe imposes significant constraints on a physical Theory-of-Everything. This may be helpful for finding such a theory. A philosophical system that is monistic and at the same time structured clear enough to be compatible with mathematical thinking is the Hegelian dialectic logic. With the aid of this logic the necessary existence of a causal chain embedded in the general, unconditional and timeless being is proved constructively. In the causal chain our entire reality is coded. It is termed by Hegel as determinate being in contrast to being. The chain has a beginning, representing the birth of the universe (big bang) and the beginning of time. It is isomorphic to the natural numbers. The half-ring structure of the natural numbers induces a secondary causal network. Thus the ontological approach results in a special version of the theory or causal sets. The causal network is topologically homeo-morphic to an infinite dimensional Minkowski cone. Each prime number corresponds to a dimension. Hypothetical small 'bumps” of 4D spacetime (Brane) in the direction of the extra dimensions of the Minkowski manifold mean topological defects, which can be interpreted as curvature of spacetime. This means a bridge to the general theory of relativity. On the other hand, the bumps may be interpreted as objects with which one can handle similar to the strings in string theory. / Die Arbeit bewegt sich im Grenzgebiet zwischen Physik, Mathematik und Philosophie (Ontologie). Letztere wird benötigt, um die vom Wesen her dualistische Mathematik in eine monistische Metatheorie einzubetten. Es wird gezeigt, dass ein konsequenter philosophischer Monismus und ein Denken vom Ursprung des Universums her einer physikalischen Theorie-von-Allem erhebliche Randbedingungen auferlegen. Für das Auffinden einer solchen Theorie kann das hilfreich sein. Ein philosophisches System, dass monistisch ist und zugleich klar genug strukturiert um mit der mathematischen Denkweise kompatibel zu sein ist die Hegelsche dialektische Logik. Unter Zuhilfenahme dieser Logik wird die notwendige Existenz einer in das allgemeine, unbedingte und zeitlose Sein eingebetteten, aber vom Chaos dieses Seins unbeeinflussten kausalen Kette konstruktiv bewiesen. In dieser kausalen Kette ist unsere gesamte Realität codiert, von Hegel als Dasein im Gegensatz zum Sein bezeichnet. Die Kette hat einen Anfang, der den Anfang des Universums und den Anfang der Zeit darstellt. Sie ist isomorph zu den natürlichen Zahlen. Deren Halbring-Struktur induziert ein sekundäres kausales Netzwerk. Somit ist das Ergebnis der ontologischen Herangehensweise eine spezielle Version der Theorie der kausalen Mengen. Das Netzwerk ist topologisch homöomorph ist zu einem unendlich dimensionalen Minkowski-Kegel. Jeder Primzahl entspricht eine Dimension. Hypothetische kleine „Ausbeulungen“ oder „Bumps“ der 4D-Raumzeit (Brane) in Richtung der Extradimensionen der Minkowski-Mannigfaltigkeit bedeuten topologische Baufehler, die sich als Krümmung der Raumzeit interpretieren lassen und eine Brücke zur allgemeinen Relativi-tätstheorie darstellen. Auf der anderen Seite lassen sich die Ausbeulungen der Brane als Objekte deuten, mit denen man ähnlich umgehen kann wie mit den Strings der Stringtheorie.

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Perhaps the most flexible synopsis of a database is a uniform random sample of the data; such samples are widely used to speed up the processing of analytic queries and data-mining tasks, to enhance query optimization, and to facilitate information integration. Most of the existing work on database sampling focuses on how to create or exploit a random sample of a static database, that is, a database that does not change over time. The assumption of a static database, however, severely limits the applicability of these techniques in practice, where data is often not static but continuously evolving. In order to maintain the statistical validity of the sample, any changes to the database have to be appropriately reflected in the sample. In this thesis, we study efficient methods for incrementally maintaining a uniform random sample of the items in a dataset in the presence of an arbitrary sequence of insertions, updates, and deletions. We consider instances of the maintenance problem that arise when sampling from an evolving set, from an evolving multiset, from the distinct items in an evolving multiset, or from a sliding window over a data stream. Our algorithms completely avoid any accesses to the base data and can be several orders of magnitude faster than algorithms that do rely on such expensive accesses. The improved efficiency of our algorithms comes at virtually no cost: the resulting samples are provably uniform and only a small amount of auxiliary information is associated with the sample. We show that the auxiliary information not only facilitates efficient maintenance, but it can also be exploited to derive unbiased, low-variance estimators for counts, sums, averages, and the number of distinct items in the underlying dataset. In addition to sample maintenance, we discuss methods that greatly improve the flexibility of random sampling from a system's point of view. More specifically, we initiate the study of algorithms that resize a random sample upwards or downwards. Our resizing algorithms can be exploited to dynamically control the size of the sample when the dataset grows or shrinks; they facilitate resource management and help to avoid under- or oversized samples. Furthermore, in large-scale databases with data being distributed across several remote locations, it is usually infeasible to reconstruct the entire dataset for the purpose of sampling. To address this problem, we provide efficient algorithms that directly combine the local samples maintained at each location into a sample of the global dataset. We also consider a more general problem, where the global dataset is defined as an arbitrary set or multiset expression involving the local datasets, and provide efficient solutions based on hashing.