Le calcul numérique du champ électrique ou magnétique intervient aussi bien dans la mise au point d'outils de communication performants que dans les problèmes de compatibilité électromagnétique des systèmes électriques ou de modélisation de l'interaction champ-vivant. Ce calcul est fréquemment fondé sur la discrétisation des équations de Maxwell par la méthode des éléments finis d'arête. Il conduit alors à la résolution d'un système linéaire creux mais généralement de grande taille.<br /><br />L'objectif de ce travail est de proposer une méthode multiniveau algébrique pour la résolution des systèmes linéaires issus d'une discrétisation par la méthode des éléments finis d'arête. En effet, les méthodes itératives multiniveau construisent des algorithmes qui s'avèrent être les plus performants pour certaines classes l'équations aux dérivées partielles. Ces méthodes s'appuient, dans leur version géométrique, sur une hiérarchie de maillages emboîtés. Cependant pour des applications réalistes cette hiérarchie ne peut pas toujours être construite et il faut définir algébriquement les différents niveaux.<br /><br />La stratégie algébrique de définition des niveaux grossiers que nous proposons repose sur la construction de fonctions grossières nodales et d'arête vérifiant une contrainte de compatibilité. En outre, les fonctions grossières d'arête doivent minimiser une fonctionnelle d'énergie. Ce problème de minimisation avec contrainte est résolu par deux techniques : l'une utilise les multiplicateurs de Lagrange, l'autre s'appuie sur la résolution d'une suite de problèmes de flot dans un graphe. Des expériences numériques illustrent les performances de différentes versions de notre méthode.

Cette thèse comporte trois parties: étude du schéma de Boltzmann sur réseau, schéma adjoint de Boltzmann sur réseau pour l'identification de paramètres et construction d'une couche parfaitement absorbante pour ce schéma.<br /><br />La première partie introduit et analyse la méthode.<br /><br />La deuxième partie décrit une approche variationnelle pour l'assimilation de paramètres relatifs à la méthode du gaz de Boltzmann sur réseau. Une méthode adjointe discrète en temps est développée. L'algorithme est d'abord testé sur un écoulement de type Poiseuille linéaire (problème de Stokes), puis il est appliqué à un problème non linéaire. Des résultats encourageants sont obtenus pour un et deux paramètres inconnus.<br /><br />Finalement la troisième partie décrit une adaptation des couches absorbantes de Bérenger. Il en résulte un modèle d'automate de Boltzmann à neuf vitesses discrètes. Une analyse des ondes réfléchies est ensuite réalisée entre deux milieux de Boltzmann à une dimension, ce qui permet d'obtenir un équivalent des formules de Fresnel pour les schémas de Boltzmann et de proposer des modifications du schéma à l'interface pour annuler les ondes réfléchies. En deux dimensions, la même analyse d'ondes réfléchies met en évidence l'apparition de modes de Knudsen et des ondes transverses qui rendent l'analyse complexe.