Le calcul numérique du champ électrique ou magnétique intervient aussi bien dans la mise au point d'outils de communication performants que dans les problèmes de compatibilité électromagnétique des systèmes électriques ou de modélisation de l'interaction champ-vivant. Ce calcul est fréquemment fondé sur la discrétisation des équations de Maxwell par la méthode des éléments finis d'arête. Il conduit alors à la résolution d'un système linéaire creux mais généralement de grande taille.<br /><br />L'objectif de ce travail est de proposer une méthode multiniveau algébrique pour la résolution des systèmes linéaires issus d'une discrétisation par la méthode des éléments finis d'arête. En effet, les méthodes itératives multiniveau construisent des algorithmes qui s'avèrent être les plus performants pour certaines classes l'équations aux dérivées partielles. Ces méthodes s'appuient, dans leur version géométrique, sur une hiérarchie de maillages emboîtés. Cependant pour des applications réalistes cette hiérarchie ne peut pas toujours être construite et il faut définir algébriquement les différents niveaux.<br /><br />La stratégie algébrique de définition des niveaux grossiers que nous proposons repose sur la construction de fonctions grossières nodales et d'arête vérifiant une contrainte de compatibilité. En outre, les fonctions grossières d'arête doivent minimiser une fonctionnelle d'énergie. Ce problème de minimisation avec contrainte est résolu par deux techniques : l'une utilise les multiplicateurs de Lagrange, l'autre s'appuie sur la résolution d'une suite de problèmes de flot dans un graphe. Des expériences numériques illustrent les performances de différentes versions de notre méthode.

L'hyperthermie est une thérapie utilisée pour le traitement des tumeurs cancéreuses. Elle consiste à élever la température des cellules cancéreuses à des niveaux thérapeutiques compris entre 42 et 45 O C . Cette élévation de température est obtenue en soumettant localement le patient à un champ radiofréquence pour les tumeurs profondes ou micro-ondes pour les tumeurs superficielles.<br />Afin de développer un programme de planification du traitement, un modèle numérique 3D basé sur les éléments finis d'arête a été mis au point. Ce modèle permet de calculer la répartition du taux spécifique d'absorption (SAN dans le patient lors du traitement par hyperthermie. Les résultats obtenus à partir de ce modèle éléments finis ont été comparés à des mesures expérimentales réalisées sur un fantôme présentant des caractéristiques électromagnétiques équivalentes aux tissus musculaires. Cette comparaison effectuée à une fréquence de rayonnement égale à 27,12 MHz a montré une bonne cohérence entre les résultats obtenus numériquement et expérimentalement.<br />Une procédure d'optimisation par algorithme génétique du SAR dans le patient a été associée au modèle éléments finis. Le programme développé permet d'obtenir une meilleure répartition du SAR au niveau du volume tumoral. Deux dispositifs d'hyperthermie fonctionnant respectivement à 27,12 MHz et 110 MHz ont été modélisés ainsi que la géométrie du patient issue de coupes scanner. La distribution de SAR dans le patient a été optimisée pour ces deux dispositifs.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des <br />équations de Maxwell en régime fréquentiel, afin de calculer<br />précisément la signature radar de cibles diverses. Pour avoir<br />une grande précision nécessaire pour des expérience de grande taille,<br /> nous utilisons des méthodes d'ordre élevé.<br /><br />Dans le cas scalaire, les éléments finis spectraux hexaédriques<br />avec condensation de masse, permettent d'obtenir un produit matrice vecteur <br />rapide et peux coûteux en stockage. Dans le cas vectoriel, les hexaèdres<br />de la première famille ne réalisent pas la condensation de masse, mais on peut<br />écrire un algorithme rapide de produit matrice-vecteur. Des résultats<br />numériques 3-D montrent la performance de l'algorithme proposé.<br /><br />Nous traitons également le cas où la géométrie présente<br />une symétrie de révolution. On est alors ramenés à une succession<br />de problèmes 2-D indépendants.<br />Nous proposons une méthode éléments finis d'ordre élevé <br />couplée à des équations intégrales d'ordre élevé.