Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Aspekten der Finanzmathematik. Ein erweitertes Libor Markt Modell wird betrachtet, welches genug Flexibilität bietet, um akkurat an Caplets und Swaptions zu kalibrieren. Weiterhin wird die Bewertung komplexerer Finanzderivate, zum Beispiel durch Simulation, behandelt. In hohen Dimensionen können solche Simulationen sehr zeitaufwendig sein. Es werden mögliche Verbesserungen bezüglich der Komplexität aufgezeigt, z.B. durch Faktorreduktion. Zusätzlich wird das sogenannte Andersen-Simulationsschema von einer auf mehrere Dimensionen erweitert, wobei das Konzept des „Momentmatchings“ zur Approximation des Volaprozesses in einem Heston Modell genutzt wird. Die daraus resultierende verbesserten Konvergenz des Gesamtprozesses führt zu einer verringerten Komplexität. Des Weiteren wird die Bewertung Amerikanischer Optionen als optimales Stoppproblem betrachtet. In höheren Dimensionen ist die simulationsbasierte Bewertung meist die einzig praktikable Lösung, da diese eine dimensionsunabhängige Konvergenz gewährleistet. Eine neue Methode der Varianzreduktion, die Multilevel-Idee, wird hier angewandt. Es wird eine untere Preisschranke unter zu Hilfenahme der Methode der „policy iteration“ hergeleitet. Dafür werden Konvergenzraten für die Simulation des Optionspreises erarbeitet und eine detaillierte Komplexitätsanalyse dargestellt. Abschließend wird das Preisen von Amerikanischen Optionen unter Modellunsicherheit behandelt, wodurch die Restriktion, nur ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmodell zu betrachten, entfällt. Verschiedene Modelle können plausibel sein und zu verschiedenen Optionswerten führen. Dieser Ansatz führt zu einem nichtlinearen, verallgemeinerten Erwartungsfunktional. Mit Hilfe einer verallgemeinerte Snell''sche Einhüllende wird das Bellman Prinzip hergeleitet. Dadurch kann eine Lösung durch Rückwärtsrekursion erhalten werden. Ein numerischer Algorithmus liefert untere und obere Preisschranken. / The work presented here deals with several aspects of financial mathematics. An extended Libor market model is considered offering enough flexibility to accurately calibrate to various market data for caplets and swaptions. Moreover the evaluation of more complex financial derivatives is considered, for instance by simulation. In high dimension such simulations can be very time consuming. Possible improvements regarding the complexity of the simulation are shown, e.g. factor reduction. In addition the well known Andersen simulation scheme is extended from one to multiple dimensions using the concept of moment matching for the approximation of the vola process in a Heston model. This results in an improved convergence of the whole process thus yielding a reduced complexity. Further the problem of evaluating so called American options as optimal stopping problem is considered. For an efficient evaluation of these options, particularly in high dimensions, a simulation based approach offering dimension independent convergence often happens to be the only practicable solution. A new method of variance reduction given by the multilevel idea is applied to this approach. A lower bound for the option price is obtained using “multilevel policy iteration” method. Convergence rates for the simulation of the option price are obtained and a detailed complexity analysis is presented. Finally the valuation of American options under model uncertainty is examined. This lifts the restriction of considering one particular probabilistic model only. Different models might be plausible and may lead to different option values. This approach leads to a non-linear expectation functional, calling for a generalization of the standard expectation case. A generalized Snell envelope is obtained, enabling a backward recursion via Bellman principle. A numerical algorithm to valuate American options under ambiguity provides lower and upper price bounds.