Using the history of number systems is to create different moments for the student to experience experiences in the construction of numbers and that these will come to understand that the system used today by many cultures is a creation of all mankind. The work will speak on the topic numbering systems, using existing publications on that subject, making thus a wide bibliographic in textbooks, technical books on the subject and also results of external evaluations provided by official bodies. The objectives turn to one of the history of mathematics, as a source of understanding of the decimal numbering system, using the historical line of building other number systems so that students can compare these number systems with the system decimal and thus better understand our numbers. We believe that a view of mathematics as a ready science, which should only be "served" in the classroom, we have no more space in the classes of a society undergoing rapid and profound changes. / Utilizar a histÃria dos sistemas de numeraÃÃo à criar momentos diferenciados para que o aluno vivencie experiÃncias na construÃÃo dos nÃmeros e que esses venham a entender que o sistema usado hoje pelas diversas culturas à uma criaÃÃo de toda a humanidade. O trabalho dissertarà sobre a temÃtica sistemas de numeraÃÃo, utilizando as publicaÃÃes jà existentes sobre o referido assunto, fazendo, assim, uma ampla consulta bibliogrÃfica em livros didÃticos, livros tÃcnicos sobre o assunto e, tambÃm, resultados das avaliaÃÃes externas disponibilizadas pelos ÃrgÃos oficias. Os objetivos do trabalho voltam-se para um resgate da histÃria da matemÃtica, como uma fonte de entendimento do sistema de numeraÃÃo decimal, usando a linha histÃrica da construÃÃo de outros sistemas numÃricos a fim de que os alunos possam comparar esses sistemas numÃricos com o sistema decimal e assim compreender melhor os nossos nÃmeros. Acreditamos que uma visÃo da matemÃtica como uma ciÃncia pronta, que deve ser apenas âservidaâ em sala de aula, jà nÃo tem mais espaÃo nas aulas de uma sociedade que passa por rÃpidas e profundas transformaÃÃes.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Durante anos de vivÃncia em sala de aula nos deparamos por diversas vezes com alunos que apresentam muita dificuldade de aprendizagem em matemÃtica, principalmente em operaÃÃes fundamentais envolvendo os conjuntos dos nÃmeros naturais, inteiros e racionais. Esse trabalho apresenta uma viagem pelos conjuntos numÃricos, mostrando sua construÃÃo histÃrica e por suas operaÃÃes, apresentando fatos concretos das dificuldades encontradas pelos alunos em operaÃÃes fundamentais da matemÃtica e comprovando com dados estatÃsticos que o aluno ingressa no Ensino MÃdio da EEM VirgÃlio Correia Lima sem o domÃnio das operaÃÃes fundamentais. Por Ãltimo, apresentamos argumentos que mostram os principais fatores que possibilitam nossos alunos ingressarem no Ensino MÃdio sem dominar as operaÃÃes fundamentais, entre os quais, destacamos o fato dos professores responsÃveis pela alfabetizaÃÃo matemÃtica, professores das sÃries iniciais do Ensino Fundamental, nÃo serem matemÃticos; professores de matemÃtica do 6Â ao 9Â ano do Ensino Fundamental nÃo terem a formaÃÃo adequada; e a discrepÃncia entre currÃculo e carga horÃria, pois temos um currÃculo no Ensino Fundamental muito extenso para uma carga horÃria limitada. / During years of experience in the classroom we face several times with students who have great difficulty in learning mathematics, especially in key operations involving the sets of natural, integers and rational numbers. This paper presents a journey through numerical sets, showing its historical operations and construction, presenting concrete facts of the difficulties encountered by students in basic math operations and statistical data prove that the student enters high school in EEM VirgÃlio Correia Lima without the domain of fundamental operations. Finally we present arguments that show the main factors that allow our students entering the high school without mastering the fundamental operations, among which we highlight the fact that teachers responsible for mathematics literacy, teachers in early elementary school, are not mathematicians; mathematics teachers from 6th to 9th grade in elementary school does not have adequate training; and the discrepancy between curriculum and workload, because we have a curriculum in elementary school too extensive for a limited workload.

nÃo hà / Este trabalho apresenta TÃpicos de AritmÃtica, relacionados com o estudo da divisÃo, para aplicaÃÃo em sala de aula no Ensino MÃdio, cujo o propÃsito à buscar o aprofundamento dos conhecimentos de AritmÃtica que os alunos adquirem no Ensino Fundamental. Iniciamos com a abordagem das principais propriedades dos divisores, o algoritmo da divisÃo e o lema dos restos. Em seguida, estudamos os nÃmeros primos com especial atenÃÃo ao Teorema Fundamental da AritmÃtica, de importÃncia capital na obtenÃÃo de muitos resultados importantes nesse texto. Mais adiante, sÃo apresentadas as definiÃÃes de mÃximo divisor comum e mÃnimo mÃltiplo comum bem como as caracterizaÃÃes, propriedades e a interpretaÃÃo geomÃtrica. Como proposta de continuidade aos estudos sobre divisÃo no Ensino MÃdio, apresentamos um estudo elementar sobre as congruÃncias mÃdulo m e sua aplicaÃÃo na demonstraÃÃo dos critÃrios de divisibilidade. Por fim, expomos um relatÃrio de aplicaÃÃo dos tÃpicos desse trabalho em sala de aula. / This paper presents arithmetic topics related to the study of the division, for use in the high school classroom, whose purpose is to seek further knowledge of arithmetic that the students learn in elementary school. We begin with the approach of the main properties of divisors, the division algorithm and the motto of the remains. Then we study the prime numbers with special attention to the fundamental theorem of arithmetic, of paramount importance in achieving many important results in this text. Further down, the definitions of greatest common divisor and least common multiple and the characterizations, properties and geometric interpretation. As a proposal for continuing the studies of division in high school, we present an elementary study about the congruence module m and its application in demonstrating of the criteria for divisibility. Finally, we expose an implementation report of the topics of this paper in the classroom.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O propÃsito desta dissertaÃÃo à apresentar aplicaÃÃes da Teoria dos Grafos à Teoria dos Grupos. De posse do grafo associado a um grupo finito, nÃs obtemos vÃrios resultados interessantes sobre a estrutura do grupo analisando tal grafo à luz de tÃcnicas-padrÃo da Teoria dos Grafos. Mais precisamente, os nÃmeros cromÃtico e de independÃncia do grafo de um grupo finito nos permitem estimar a cardinalidade mÃxima de um subgrupo abeliano do mesmo, bem como o tamanho mÃnimo possÃvel de um subconjunto do grupo formado por elementos que nÃo comutam dois a dois; no caso de grupos finitos abelianos, nÃs tambÃm estudamos seus subconjuntos livres de somas. / This report deals with applications of Graph Theory to Group Theory. Once we construct the graph associated to a finite group, we get several interesting results on the group structure by analysing its associated graph with the help of various standard graph-theoretic tools. More precisely, the chromatic and independence numbers of the graph of a finite group allows us to estimate the maximal cardinality of an abelian subgroup of it, as well as the minimal size of a subset of the group, all of whose elements donât commute in pairs; for finite abelian groups, we also study their free-sum subsets.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Desde o advento da escrita, o envio de mensagens secretas tem sido uma importante maneira de guardar sigilo de informaÃÃes confidenciais. A arte de elaborar mensagens a partir de cÃdigos secretos surge na figura da criptografia que, com o passar do tempo, estende os seus serviÃos Ãs transaÃÃes comerciais realizadas pela internet. O principal algoritmo utilizado pela internet recebe o nome de RSA. Assim, a criptografia RSA codifica nÃmeros de cartÃes de crÃditos, senhas de bancos, nÃmeros de contas e utiliza para isso elementos de uma importante Ãrea da MatemÃtica: a Teoria dos NÃmeros. / Since the advent of writing, sending secret messages has been an important way to maintain confidentiality of sensitive information. The art of crafting messages from secret codes appears in the figure of encryption that over time extends its services to commercial transactions over the Internet. The main algorithm used by the internet is called RSA. Thus, the RSA Encryption encodes credit card numbers, bank passwords, account numbers and uses for that elements of an important area of mathematics: number theory.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho visa contribuir para que alunos e professores do ensino mÃdio possam aprimorar seus conhecimentos matemÃticos em nÃmeros complexos, polinÃmios e equaÃÃes polinomiais. Inicialmente foi analisado o contexto histÃrico dos nÃmeros complexos, em seguida foram vistos alguns conceitos importantes como o de corpo dos nÃmeros complexos, unidade imaginÃria e plano complexo. AlÃm disso, foram apresentadas as propriedades e operaÃÃes bÃsicas dos polinÃmios, o dispositivo de Briot-Ruffini, atravÃs do qual podemos obter o quociente e o resto da divisÃo de um polinÃmio p(x) por um polinÃmio linear. Parte significativa deste trabalho foi dedicado ao estudo de equaÃÃes algÃbricas. Nessa perspectiva, foram discutidos alguns teoremas e mÃtodos resolutivos de equaÃÃes como o mÃtodo de Gustavo, que nos auxilia na resoluÃÃo de equaÃÃes do terceiro e do quarto graus, o teorema das raÃzes racionais, entre outros. Para tanto, foi essencial provar o Teorema Fundamental da Ãlgebra, que afirma que todo polinÃmio nÃo constante com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Ademais, mostramos como podemos analisar o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo polinomial com coeficientes reais. Nesse sentido, provamos o Teorema de Descartes, que diz que o nÃmero de raÃzes positivas de uma equaÃÃo nÃo supera o nÃmero de mudanÃas de sinal na sequÃncia dos seus coeficientes nÃo nulos. Provamos tambÃm o Teorema de Bolzano, que investiga o nÃmero de raÃzes reais de uma equaÃÃo num intervalo real e, finalmente, o Teorema de Lagrange que estabelece um limite superior das raÃzes reais de uma equaÃÃo. / This work aims to help students and high school teachers to improve their math skills in complex numbers, polynomials and polynomial equations. Initially it analysed the historical context of complex numbers then were seen some important concepts such as the body of complex numbers, imaginary unit and complex plane. In addition, the properties and basic operations of the polynomials were presented, the Briot-Ruffini device, through which we can get the quotient and remainder of the division of a polynomial p(x) by a linear polynomial. Significant part of this work was devoted to the study of algebraic equations. In this perspective, were discussed some theorems and methods of resolution of equations such as the method of Gustavo, who helps us in the resolution of equations of the third and fourth degrees, the theorem of rational roots, among others. For both, it was essential to prove the Fundamental Theorem of Algebra, which says that all polynomial not constant with complex coeficients has at least one complex root. Furthermore, we show how we can analyze the number of real roots of a polynomial equation with real coeficients. In this sense, we will prove the Theorem of Descartes, which says that the number of positive roots of an equation does not exceed the number of signal changes following its non-zero coeficients. We prove the theorem of Bolzano, which investigates the number of real roots of an equation in a real interval and finally the theorem of Lagrange the establishes an upper limit on roots of an equation.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O presente trabalho propÃe uma forma de apresentaÃÃo aos alunos do ensino bÃsico alguns conceitos associados ao conjunto dos nÃmeros inteiros tais como, divisibilidade, MDC,MMC, congruÃncias e somas de quadrados de uma maneira mais pragmÃtica e menos abstrata. Apresentando-os atravÃs de formas visuais ou de problemas contextualizados com nossa realidade fÃsica mais imediata, favorecendo o melhor entendimento dos axiomas, operaÃÃes e propriedades por aqueles alunos como tambÃm novos mÃtodos de conduta para os professores a fim de que suas tarefas nos processos ensino-aprendizagem se tornem mais fÃceis. / This paper proposes a way of presenting to primary pupils some concepts associated with the set of integers such as divisibility, GCD, LCM, congruences and sums of squa-res in a more pragmatic and less abstract way. Presenting them through visual forms or contextualized problems with our physical reality more immediate, favoring a better understanding of the axioms, operations and properties for those students as well as new methods of conduct for teachers so that their work processes teaching become easier.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Este trabalho à baseado no artigo Finiteness of the class group of a number field via lattice packings. Daremos aqui uma prova alternativa da finitude do grupo das classes de um corpo de nÃmeros de grau n. Ela à baseada apenas no fato de que a densidade de centro de um empacotamento reticulado n-dimensional à limitado fora do infinito. / This work is based on the article Finiteness of the class group of a number field via lattice packings. An alternative proof of the finiteness of the class group of a number field of the degree n is presented. It is based solely on the fact that the center density of an n-dimensional lattice packing is bounded away from infinity.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho aborda construÃÃes geomÃtricas elementares e de polÃgonos regulares realizadas com rÃgua nÃo graduada e compasso respeitando as regras ou operaÃÃes elementares usadas na Antiguidade pelos gregos. Tais construÃÃes serÃo inicialmente tratadas de uma forma puramente geomÃtrica e, a fim de encontrar um critÃrio que possa determinar a possibilidade de construÃÃo de polÃgonos regulares, passarÃo a ser discutidas por um viÃs algÃbrico. Este tratamento algÃbrico evidenciarà uma relaÃÃo entre a geometria e a Ãlgebra, em especial, a relaÃÃo entre os vÃrtices de um polÃgono regular e as raÃzes de polinÃmios de uma variÃvel com coeficientes racionais. Este tratamento algÃbrico nos levarà naturalmente ao conceito de construtibilidade de nÃmeros e pontos no plano de um corpo, o que exigirà o uso de extensÃes algÃbricas de corpos, e os critÃrios para a construtibi- lidade destes nos levarà a um critÃrio de construtibilidade dos polÃgonos pretendidos. / This work discusses basic geometric constructions and constructions of regular polygons with ruler and compass made respecting the rules or elementary operations used by the ancient Greeks. Such constructs are initially treated in a purely geometric form and, in order to find a criterion that can determine the possibility of construction of regular polygons, will be discussed by an algebraic bias. This algebraic treatment will show a relationship between geometry and algebra, in particular, the relationship between the vertices of a regular polygon and the roots of polynomials in a variable with rational coefficients. This algebraic treatment leads us naturally to the concept of constructibility of numbers and points in a field, which will require the use of algebraic field extensions, and the criteria for the constructibility of these leads to a criterion for constructibility of polygons.

O presente trabalho tem como objetivo apresentar a construÃÃo dos nÃmeros naturais e a definiÃÃo axiomÃtica no que diz respeito Ãs quatro operaÃÃes fundamentais para alunos e professores do ensino fundamental. Para isso foi apresentado uma sequÃncia abordando inicialmente as consideraÃÃes sobre o estudo da MatemÃtica, o conceito de MatemÃtica, o saber matemÃtico e um breve histÃrico matemÃtico para se perceber como teorias e prÃticas matemÃticas foram criadas, desenvolvidas e utilizadas num contexto especÃfico de cada Ãpoca. No segundo momento foi descrita a construÃÃo dos nÃmeros naturais atravÃs dos axiomas de Peano, prosseguindo com a definiÃÃo rigorosa de cada operaÃÃo e finalizando com a relaÃÃo de ordem no conjunto dos nÃmeros naturais. / This paper aims to present the construction of the natural numbers and the axiomatic definition with respect to the four fundamental operations for students and teachers of elementary school.To this was presented a sequence initially addressing on the study of mathematics, the concept of mathematics, mathematical knowledge and a mathematical brief history to see how mathematical theories and practices are designed, developed and used in a specific context of each era. The second moment was described the construction of natural numbers through the Peano axioms, continuing with the rigorous definition of each operation and ending with the order relation in the set of natural numbers.