Orientador: Plamen Emilov Koshlukov / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-03T20:16:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Colombo_Jones_D.pdf: 476357 bytes, checksum: f0467bf0fb9e72e2e704455ff9b00973 (MD5) Previous issue date: 2004 / Doutorado / Doutor em Matemática

Orientador: Plamen Emilov Kochloukov / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-03T14:21:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Galvao_AlcindoTeles_M.pdf: 3348446 bytes, checksum: d79941e3341f08dbb553b6c6dcbedf9c (MD5) Previous issue date: 2003 / Resumo: Esta dissertação introduz as primeiras noções para o estudo combinatório da teoria de álgebras que satisfazem identidades polinomiais (resumidamente P I-álgebras), bem como alguns dos seus resultados mais importantes. Apresentamos o teorema de Kaplansky e o teorema de Regev sobre produto tensorial de PI-álgebras. Além disso, descrevemos alguns resultados devidos a Amitsur e o teorema sobre identidades mínimas em álgebras matriciais conhecido como teorema de Amitsur e Levitzki. Consideramos também polinômios centrais e o teorema de Posner, o teorema sobre a altura, de Shirshov, incluindo o problema de Kurosh. No final da dissertação desenvolvemos os métodos descobertos por Razmyslov, que o levaram a descrever uma base para as identidades polinomiais satisfeitas pela álgebra de Lie das matrizes de ordem dois com traço zero, e em seguida, para a álgebra (associativa) das matrizes de ordem dois / Abstract: This dissertation introduces the first notions of the combinatorial study of the theory of algebras that satisfy polynomial identities (the so-called P I -algebras), as well as some of their most important results. We present the theorems due to Kaplansky and Regev, about the tensor product of P 1-algebras. Besides, we describe some results due to Amitsur and the theorem about minimum identities in matricial algebras known as Amitsur and Levitzki's theorem. We also consider central polynomials and Posner's theorem, and Shirshov's height theorem, including Kurosh's problem. At the end of the dissertation we develop the methods discovered by Razmyslov which led him to the description of a basis for the polynomial identities satisfied by the Lie algebra of the traceless matrices of order two and, afterwards, for the (associative) algebra of all second arder matrices / Mestrado / Mestre em Matemática

A presente tese de Doutorado refere-se a problemas em teoria de campos e mecânica quântica no espaço não comutativo (NC). Abordamos alguns sistemas físicos bem estudados em física teórica, como a teoria de Maxwell na presença de fontes externas, equação de Pauli, equação de Dirac em campos externos e o espectro do átomo de hidrogênio relativístico. Como um primeiro problema estudamos a teoria de calibre U(1)* e extendemos o mapa de Seiberg-Witten para incluir uma corrente externa e formulamos equações clássicas para os campos no espaço não comutativo. Soluções no vácuo e em um campo magnético externo para uma carga estática de tamanho finito a foram determinadas. Encontramos que uma carga estática além de ser um monopolo elétrico comporta-se como um dipolo magnético e um campo magnético externo modifica o campo de Coulomb a longas distâncias bem como alguns fatores de forma eletromagnéticos, comportamentos inerentes a consideração de uma geometria NC. Nesta direção analisamos a ambiguidade no mapa de Seiberg-Witten e mostramos que, no mínimo até a ordem estudada aqui, isto é equivalente a ambiguidade de se adicionar uma solução homogênea à condição de conservação da corrente. Demandando que o momento magnético NC seja menor que o erro existente na medida do momento magnético de léptons, obtemos uma estimativa superior para o parâmetro e seu comprimento fundamental associado l. Estudamos os níveis de energia do átomo de hidrogênio relativístico no formalismo da equação de Dirac no espaço NC para o campo de Coulomb. Demonstramos que no caso relativístico a não comutatividade quebra totalmente a degenerescência dos níveis 2S1/2; 2P1/2 e 2P3/2, abrindo novos canais de transição permitidos. Por fim construímos uma equação de onda não relativística para partículas de spin 1/2 através do limite não relativístico da equação de Dirac no espaço NC. Apresentamos um modelo pseudoclássico (à-la Berezin-Marinov) cuja quantização coincide com as equações de onda não relativísticas. Através da interação entre um spin não-relativístico e o campo magnético, através da equação de Pauli no espaço NC, construímos uma generalização para o modelo de Heisenberg para dois spins acoplados no espaço NC. Em tal modelo calculamos a amplitude de probabilidade de transição entre dois estados ortogonais do tipo EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) submetidos em um campo magnético oscilatório e mostramos que, algumas de tais transições, que são proibidas no espaço comutativo são possíveis devido a não comutatividade do espaço. / The present PhD thesis refers to problems in field theory and quantum mechanics in noncommutative (NC) space. We study some well known physical systems in theoretical physics, such as the Maxwell theory in the presence of external sources, the Pauli equation, the Dirac equation with external fields and the relativistic Hydrogen atom. First we study the U(1)* gauge theory and extend the Seiberg-Witten map to include an external current and formulate classical field equations in NC space. Solutions in the vacuum and in an external magnetic field for a static charge of finite size a is determined. We find that a static charge in NC space, besides being an electric monopole, behaves as a magnetic dipole and the external magnetic field modifies the Coulomb law at large distances, as well as some electromagnetic form factors. In this direction we analyse the arbitrariness in the Seiberg-Witten map and show that, at least to the order studied here, this is equivalent to adding a homogeneous solution to the charge conservation condition. Demanding that the NC magnetic moment be less than the existing error in the measurement of leptons magnetic moment we obtain an upper bound for the NC parameter and its associated fundamental length l. In addition we consider the energy levels of a hydrogen-like atom in the framework of a -modified, due to space noncommutativity, Dirac equation with a Coulomb field. It is shown that the noncommutativity completely breaks the degeneracy of the 2S1/2; 2P1/2 and 2P3/2 levels, allowing for new transition channels. At last, but not least, we construct a nonrelativistic wave equation for spin 1/2 particles through the nonrelativistic limit of the NC Dirac equation. We present a pseudoclassical model (à-la Berezin-Marinov) whose quantization coincides with the nonrelativistic wave equations. By extracting the interaction between a nonrelativistic spin and the magnetic field, from the obtained Pauli equation in NC space, we construct a generalization of the Heisenberg model for two coupled spins in NC space. In such model, it is calculated the transition probability amplitude between two orthogonal EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) states submitted in the presence of an oscilatory magnetic field and we shown that some of such transitions, which are forbidden in NC space are possible due to space noncommutativity.

A presente tese de Doutorado refere-se a problemas em teoria de campos e mecânica quântica no espaço não comutativo (NC). Abordamos alguns sistemas físicos bem estudados em física teórica, como a teoria de Maxwell na presença de fontes externas, equação de Pauli, equação de Dirac em campos externos e o espectro do átomo de hidrogênio relativístico. Como um primeiro problema estudamos a teoria de calibre U(1)* e extendemos o mapa de Seiberg-Witten para incluir uma corrente externa e formulamos equações clássicas para os campos no espaço não comutativo. Soluções no vácuo e em um campo magnético externo para uma carga estática de tamanho finito a foram determinadas. Encontramos que uma carga estática além de ser um monopolo elétrico comporta-se como um dipolo magnético e um campo magnético externo modifica o campo de Coulomb a longas distâncias bem como alguns fatores de forma eletromagnéticos, comportamentos inerentes a consideração de uma geometria NC. Nesta direção analisamos a ambiguidade no mapa de Seiberg-Witten e mostramos que, no mínimo até a ordem estudada aqui, isto é equivalente a ambiguidade de se adicionar uma solução homogênea à condição de conservação da corrente. Demandando que o momento magnético NC seja menor que o erro existente na medida do momento magnético de léptons, obtemos uma estimativa superior para o parâmetro e seu comprimento fundamental associado l. Estudamos os níveis de energia do átomo de hidrogênio relativístico no formalismo da equação de Dirac no espaço NC para o campo de Coulomb. Demonstramos que no caso relativístico a não comutatividade quebra totalmente a degenerescência dos níveis 2S1/2; 2P1/2 e 2P3/2, abrindo novos canais de transição permitidos. Por fim construímos uma equação de onda não relativística para partículas de spin 1/2 através do limite não relativístico da equação de Dirac no espaço NC. Apresentamos um modelo pseudoclássico (à-la Berezin-Marinov) cuja quantização coincide com as equações de onda não relativísticas. Através da interação entre um spin não-relativístico e o campo magnético, através da equação de Pauli no espaço NC, construímos uma generalização para o modelo de Heisenberg para dois spins acoplados no espaço NC. Em tal modelo calculamos a amplitude de probabilidade de transição entre dois estados ortogonais do tipo EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) submetidos em um campo magnético oscilatório e mostramos que, algumas de tais transições, que são proibidas no espaço comutativo são possíveis devido a não comutatividade do espaço. / The present PhD thesis refers to problems in field theory and quantum mechanics in noncommutative (NC) space. We study some well known physical systems in theoretical physics, such as the Maxwell theory in the presence of external sources, the Pauli equation, the Dirac equation with external fields and the relativistic Hydrogen atom. First we study the U(1)* gauge theory and extend the Seiberg-Witten map to include an external current and formulate classical field equations in NC space. Solutions in the vacuum and in an external magnetic field for a static charge of finite size a is determined. We find that a static charge in NC space, besides being an electric monopole, behaves as a magnetic dipole and the external magnetic field modifies the Coulomb law at large distances, as well as some electromagnetic form factors. In this direction we analyse the arbitrariness in the Seiberg-Witten map and show that, at least to the order studied here, this is equivalent to adding a homogeneous solution to the charge conservation condition. Demanding that the NC magnetic moment be less than the existing error in the measurement of leptons magnetic moment we obtain an upper bound for the NC parameter and its associated fundamental length l. In addition we consider the energy levels of a hydrogen-like atom in the framework of a -modified, due to space noncommutativity, Dirac equation with a Coulomb field. It is shown that the noncommutativity completely breaks the degeneracy of the 2S1/2; 2P1/2 and 2P3/2 levels, allowing for new transition channels. At last, but not least, we construct a nonrelativistic wave equation for spin 1/2 particles through the nonrelativistic limit of the NC Dirac equation. We present a pseudoclassical model (à-la Berezin-Marinov) whose quantization coincides with the nonrelativistic wave equations. By extracting the interaction between a nonrelativistic spin and the magnetic field, from the obtained Pauli equation in NC space, we construct a generalization of the Heisenberg model for two coupled spins in NC space. In such model, it is calculated the transition probability amplitude between two orthogonal EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) states submitted in the presence of an oscilatory magnetic field and we shown that some of such transitions, which are forbidden in NC space are possible due to space noncommutativity.

Nesta tese estudamos a mecânica quântica não-comutativa na situação não-relativística. Nesse contexto, a expansão-1/N é introduzida e aplicada para alguns potenciais de interesse, como o do oscilador anarmônico e do potencial Coulombiano. A convergência da série é então discutida. Propomos uma versão modificada do potencial Coulombiano nãocomutativo, o qual fornece uma expansão 1/N bem comportada. A seguir, introduzimos um novo conjunto de relações de comutação no espaço-tempo não-comutativo satisfazendo uma álgebra de Heisenberg deformada. A equação de Pauli modificada é usada para o cálculo de correções para a energia, com o uso de teoria da perturbação, no contexto da não-comutatividade dependente do spin. / In this thesis we study non-commutative quantum mechanics in nonrelativistic situation. In this context, the 1/N-expansion is introduced and applied to some potentials of interest as the anharmonic oscillator and the Coulomb potential. The convergence of the serie is discussed. We proposed a modied version of the noncommutative Coulombian potential which provides a well-behaved 1/N expansion. Subsequently, we introduce a new set of noncommutative space-time commutation relations which satisfy a spin dependent nonstandard Heisenberg algebra. Modied Pauli equation is used to calculate corrections to the energy by the use of perturbation theory in the noncommutativity spin-dependent context.

Nesta tese estudamos as derivações de ordem superior (DOS) em anéis não-comutativos. Inicialmente, mostramos que toda derivação tripla de Jordan de ordem superior em um anel semiprimo livre de 2-torção é uma DOS. Em particular, toda derivação de Jordan de ordem superior (DJOS) num anel deste tipo é uma DOS. Estendemos também o resultado a ideais de Lie U, provando que se R é um anel primo livre de 2-torção e D é uma DJOS de U em R onde U ct Z(R) é tal que U2E U para todo u E U, então D é uma DOS de U em R. Nestas condições, se U C Z(R), então o resultado não é válido. Estudamos ainda as DOS cujas componentes satisfazem relações de dependência linear sobre R ou Q (o anel de quocientes à direita de M artindale de R). Caracterizamos tais DOS, e mostramos que as relações de dependência linear são preservadas ao estendermos uma DOS de R a Q. / In this thesis we study the higher order derivations (sho rtly, DOS) in noncommutative rings. Initially, we show that every higher order Jordan triple derivation on a 2-torsion free semiprime ring is a DOS. In particular, every higher order Jordan derivation (DJOS) in a ring of this type is a DOS. We also extend the result to Lie ideais U, proving that if R is a 2-torsion free prime ring and D is a DJOS of U into R where U ct Z(R) (the center of R) is such that U2E U for all u E U, then D is a DOS of U into R. With these conditions, if U C Z(R), then the result is no more true. We also study the DOS whose components satisfy relationships of linear dependence on R or Q (the Martindale ring of right quocients of R). We characterize such DOS and we show that the relationships of linear dependence are preserved if we extend a DOS of R to Q.

Nesta tese estudamos as derivações de ordem superior (DOS) em anéis não-comutativos. Inicialmente, mostramos que toda derivação tripla de Jordan de ordem superior em um anel semiprimo livre de 2-torção é uma DOS. Em particular, toda derivação de Jordan de ordem superior (DJOS) num anel deste tipo é uma DOS. Estendemos também o resultado a ideais de Lie U, provando que se R é um anel primo livre de 2-torção e D é uma DJOS de U em R onde U ct Z(R) é tal que U2E U para todo u E U, então D é uma DOS de U em R. Nestas condições, se U C Z(R), então o resultado não é válido. Estudamos ainda as DOS cujas componentes satisfazem relações de dependência linear sobre R ou Q (o anel de quocientes à direita de M artindale de R). Caracterizamos tais DOS, e mostramos que as relações de dependência linear são preservadas ao estendermos uma DOS de R a Q. / In this thesis we study the higher order derivations (sho rtly, DOS) in noncommutative rings. Initially, we show that every higher order Jordan triple derivation on a 2-torsion free semiprime ring is a DOS. In particular, every higher order Jordan derivation (DJOS) in a ring of this type is a DOS. We also extend the result to Lie ideais U, proving that if R is a 2-torsion free prime ring and D is a DJOS of U into R where U ct Z(R) (the center of R) is such that U2E U for all u E U, then D is a DOS of U into R. With these conditions, if U C Z(R), then the result is no more true. We also study the DOS whose components satisfy relationships of linear dependence on R or Q (the Martindale ring of right quocients of R). We characterize such DOS and we show that the relationships of linear dependence are preserved if we extend a DOS of R to Q.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-graduação em Matemática e Computação Científica. / Made available in DSpace on 2013-07-16T00:03:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 211809.pdf: 868077 bytes, checksum: b599f46ac2594568a69058de1360d19f (MD5) / Neste trabalho iremos generalizar o conceito de fibrados principais para o contexto não- comutativo, onde o papel do grupo estrutural será dado por um grupo quantico. Para isso, utilizaremos o conceito de extensões de Hopf-Galois. Revisaremos alguns resultados da teoria classica de fibrados principais e mostraremos resultados análogos no caso não-comutativo. Também generalizaremos os conceitos de fibrado vetorial associado e fibrado de referenciais.

Nesta tese estudamos as derivações de ordem superior (DOS) em anéis não-comutativos. Inicialmente, mostramos que toda derivação tripla de Jordan de ordem superior em um anel semiprimo livre de 2-torção é uma DOS. Em particular, toda derivação de Jordan de ordem superior (DJOS) num anel deste tipo é uma DOS. Estendemos também o resultado a ideais de Lie U, provando que se R é um anel primo livre de 2-torção e D é uma DJOS de U em R onde U ct Z(R) é tal que U2E U para todo u E U, então D é uma DOS de U em R. Nestas condições, se U C Z(R), então o resultado não é válido. Estudamos ainda as DOS cujas componentes satisfazem relações de dependência linear sobre R ou Q (o anel de quocientes à direita de M artindale de R). Caracterizamos tais DOS, e mostramos que as relações de dependência linear são preservadas ao estendermos uma DOS de R a Q. / In this thesis we study the higher order derivations (sho rtly, DOS) in noncommutative rings. Initially, we show that every higher order Jordan triple derivation on a 2-torsion free semiprime ring is a DOS. In particular, every higher order Jordan derivation (DJOS) in a ring of this type is a DOS. We also extend the result to Lie ideais U, proving that if R is a 2-torsion free prime ring and D is a DJOS of U into R where U ct Z(R) (the center of R) is such that U2E U for all u E U, then D is a DOS of U into R. With these conditions, if U C Z(R), then the result is no more true. We also study the DOS whose components satisfy relationships of linear dependence on R or Q (the Martindale ring of right quocients of R). We characterize such DOS and we show that the relationships of linear dependence are preserved if we extend a DOS of R to Q.

Nesta tese estudamos a mecânica quântica não-comutativa na situação não-relativística. Nesse contexto, a expansão-1/N é introduzida e aplicada para alguns potenciais de interesse, como o do oscilador anarmônico e do potencial Coulombiano. A convergência da série é então discutida. Propomos uma versão modificada do potencial Coulombiano nãocomutativo, o qual fornece uma expansão 1/N bem comportada. A seguir, introduzimos um novo conjunto de relações de comutação no espaço-tempo não-comutativo satisfazendo uma álgebra de Heisenberg deformada. A equação de Pauli modificada é usada para o cálculo de correções para a energia, com o uso de teoria da perturbação, no contexto da não-comutatividade dependente do spin. / In this thesis we study non-commutative quantum mechanics in nonrelativistic situation. In this context, the 1/N-expansion is introduced and applied to some potentials of interest as the anharmonic oscillator and the Coulomb potential. The convergence of the serie is discussed. We proposed a modied version of the noncommutative Coulombian potential which provides a well-behaved 1/N expansion. Subsequently, we introduce a new set of noncommutative space-time commutation relations which satisfy a spin dependent nonstandard Heisenberg algebra. Modied Pauli equation is used to calculate corrections to the energy by the use of perturbation theory in the noncommutativity spin-dependent context.