A fatoração de números inteiros é um assunto que, embora muito antigo, desperta cada vez mais interesse. Existem vários métodos de criptografia de chave pública, baseados não só em fatoração de inteiros, mas também em resolução de logarítmos discretos, por exemplo, cuja segurança depende da ineficiência dos métodos de fatoração conhecidos. Este trabalho tem como objetivo descrever os principais métodos de fatoração utillizados hoje em dia. Primeiramente, três métodos elementares serão estudados: o método de Fermat e os métodos Rho e p - 1 de Pollard. A seguir, os dois mais poderosos métodos de fatoração para inteiros sem forma especial: o método de curvas elípticas, e o método de peneira quadrática, os quais tomam como base os métodos p - 1 e de Fermat, respectivamente.

A fatoração de números inteiros é um assunto que, embora muito antigo, desperta cada vez mais interesse. Existem vários métodos de criptografia de chave pública, baseados não só em fatoração de inteiros, mas também em resolução de logarítmos discretos, por exemplo, cuja segurança depende da ineficiência dos métodos de fatoração conhecidos. Este trabalho tem como objetivo descrever os principais métodos de fatoração utillizados hoje em dia. Primeiramente, três métodos elementares serão estudados: o método de Fermat e os métodos Rho e p - 1 de Pollard. A seguir, os dois mais poderosos métodos de fatoração para inteiros sem forma especial: o método de curvas elípticas, e o método de peneira quadrática, os quais tomam como base os métodos p - 1 e de Fermat, respectivamente.

A fatoração de números inteiros é um assunto que, embora muito antigo, desperta cada vez mais interesse. Existem vários métodos de criptografia de chave pública, baseados não só em fatoração de inteiros, mas também em resolução de logarítmos discretos, por exemplo, cuja segurança depende da ineficiência dos métodos de fatoração conhecidos. Este trabalho tem como objetivo descrever os principais métodos de fatoração utillizados hoje em dia. Primeiramente, três métodos elementares serão estudados: o método de Fermat e os métodos Rho e p - 1 de Pollard. A seguir, os dois mais poderosos métodos de fatoração para inteiros sem forma especial: o método de curvas elípticas, e o método de peneira quadrática, os quais tomam como base os métodos p - 1 e de Fermat, respectivamente.

ALCÂNTARA, Francisco Ailton. Tópicos de aritmética: uma proposta para a educação básica. 2014. 100 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Juazeiro do Norte, 2014. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-08-20T19:50:14Z No. of bitstreams: 1 2014_dis_faalcantara.pdf: 20597432 bytes, checksum: c827a72df1564d829a2e83d724e17f7e (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-08-21T15:53:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2014_dis_faalcantara.pdf: 20597432 bytes, checksum: c827a72df1564d829a2e83d724e17f7e (MD5) / Made available in DSpace on 2014-08-21T15:53:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014_dis_faalcantara.pdf: 20597432 bytes, checksum: c827a72df1564d829a2e83d724e17f7e (MD5) Previous issue date: 2014 / This paper presents arithmetic topics related to the study of the division, for use in the high school classroom, whose purpose is to seek further knowledge of arithmetic that the students learn in elementary school. We begin with the approach of the main properties of divisors, the division algorithm and the motto of the remains. Then we study the prime numbers with special attention to the fundamental theorem of arithmetic, of paramount importance in achieving many important results in this text. Further down, the definitions of greatest common divisor and least common multiple and the characterizations, properties and geometric interpretation. As a proposal for continuing the studies of division in high school, we present an elementary study about the congruence module m and its application in demonstrating of the criteria for divisibility. Finally, we expose an implementation report of the topics of this paper in the classroom. / Este trabalho apresenta Tópicos de Aritmética, relacionados com o estudo da divisão, para aplicação em sala de aula no Ensino Médio, cujo o propósito é buscar o aprofundamento dos conhecimentos de Aritmética que os alunos adquirem no Ensino Fundamental. Iniciamos com a abordagem das principais propriedades dos divisores, o algoritmo da divisão e o lema dos restos. Em seguida, estudamos os números primos com especial atenção ao Teorema Fundamental da Aritmética, de importância capital na obtenção de muitos resultados importantes nesse texto. Mais adiante, são apresentadas as definições de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum bem como as caracterizações, propriedades e a interpretação geométrica. Como proposta de continuidade aos estudos sobre divisão no Ensino Médio, apresentamos um estudo elementar sobre as congruências módulo m e sua aplicação na demonstração dos critérios de divisibilidade. Por fim, expomos um relatório de aplicação dos tópicos desse trabalho em sala de aula.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

LIMA JÚNIOR, Gustavo Oliveira. Números inteiros, congruências e somas de quadrados. 2013. 61 f. Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2013. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2013-10-03T16:25:07Z No. of bitstreams: 1 2013_dis_goljunior.pdf: 932965 bytes, checksum: cc70ad0da63a94e679bac5b94a71396c (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2013-10-03T16:25:40Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_dis_goljunior.pdf: 932965 bytes, checksum: cc70ad0da63a94e679bac5b94a71396c (MD5) / Made available in DSpace on 2013-10-03T16:25:40Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_dis_goljunior.pdf: 932965 bytes, checksum: cc70ad0da63a94e679bac5b94a71396c (MD5) Previous issue date: 2013 / This paper proposes a way of presenting to primary pupils some concepts associated with the set of integers such as divisibility, GCD, LCM, congruences and sums of squa-res in a more pragmatic and less abstract way. Presenting them through visual forms or contextualized problems with our physical reality more immediate, favoring a better understanding of the axioms, operations and properties for those students as well as new methods of conduct for teachers so that their work processes teaching become easier. / O presente trabalho propõe uma forma de apresentação aos alunos do ensino básico alguns conceitos associados ao conjunto dos números inteiros tais como, divisibilidade, MDC,MMC, congruências e somas de quadrados de uma maneira mais pragmática e menos abstrata. Apresentando-os através de formas visuais ou de problemas contextualizados com nossa realidade física mais imediata, favorecendo o melhor entendimento dos axiomas, operações e propriedades por aqueles alunos como também novos métodos de conduta para os professores a fim de que suas tarefas nos processos ensino-aprendizagem se tornem mais fáceis.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Este trabalho faz uma relação entre primalidade de números inteiros e os polinômios de Chebyshev, estudando resultados recentemente descobertos. Um dos principais resultados é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, que mostra a congruência, Tn(a) =a ( mod n) para n primo, em que Tn(x) é o n- ésimo polinômio de Chebyshev. A recíproca desse resultado, se verdadeira, conduziria a um teste de primalidade determinístico eficiente. Através de cálculo computacional, mostramos que para n < 1,9 x 104 , a recíproca é verdadeira. Além disso, os resultados dessa simulação, podem servir de base para o desenvolvimento de um algoritmo probabilístico para verificação da primalidade. Alguns testes de primalidade existentes na literatura, assim como definições e propriedades algébricas dos polinômios de Chebyshev também são apresentadas. / This work makes a relation between integer primality and Chebyshev polynomials, discussing recently found results. One of the most important results is a generalization of Fermat's little theorem. lt shows that Tn(a) =a ( mod n ), for n prime, where Tn(x) is the ndegree Chebyshev polynomial. The converse o f this result, if true, would lead to an efficient deterministic primality test. Tbrough a machine computation, we show that for n < 1,9 x 1 04 , the converse is true. The results of this simulation may serve to structure a probabilistic primality testing algorithm. Also, some existent primality tests, as well as definitions and algebraic properties o f Chebyshev polynomials are presented.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:02:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3500.pdf: 5600588 bytes, checksum: 3b29f15fd6c71838bd60f420dff7779a (MD5) Previous issue date: 2010-09-24 / This work was elaborated from the research on a well-known epistemological obstacle: the difficulty that the students have in understanding the concept of negative number and operations with such numbers. The experience in the classroom shows that this difficulty is indeed wide. To investigate the causes and methods to overcome such obstacles to contribute to the development of studies related to the understanding of the rules of signs of integers, four didactic games were applied: the Activity of Positive and Negative Cards, the Dinosaur s Game, the Hexagon Game and the Matix Game. This work evaluated in which aspects these four didactic games help the teacher to develop a meaningful learning, in addition to improve the performance of creativity, spontaneity and autonomy of learners. As the final product of this Professional Master's Degree, the activities developed were posted on the Professor s Portal created by the Ministry of Education and available on: http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br, a virtual environment with educational resources which stimulate and facilitate the work of teachers. Thus, it tried to offer some contribution to studies related to mathematics didactic games with the suggestion of these activities for Primary School. / Este trabalho foi elaborado a partir da investigação sobre um obstáculo epistemológico bem conhecido: a dificuldade que os alunos têm na assimilação do conceito de número negativo e das operações com tais números. As experiências em sala de aula revelam que essa dificuldade é realmente ampla. Para investigar as causas e métodos para superar tais obstáculos visando contribuir para o desenvolvimento de estudos ligados à compreensão das regras de sinais dos números inteiros, foram aplicados quatro jogos didáticos: a Atividade das Fichas Positivas e Negativas, o Jogo do Dinossauro, o Jogo do Hexágono e o Jogo Matix. O trabalho avaliou em quais aspectos esses quatro jogos didáticos auxiliam o professor a desenvolver uma aprendizagem significativa, além de melhorar o desempenho da criatividade, espontaneidade e autonomia dos educandos. Como produto final deste Mestrado Profissional, as atividades desenvolvidas foram postadas no Portal do Professor criado pelo Ministério da Educação e disponíveis em: http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br, um ambiente virtual com recursos educacionais que facilitam e dinamizam o trabalho dos professores. Dessa maneira, buscou-se oferecer alguma contribuição aos estudos ligados aos jogos didáticos de matemática com a sugestão dessas atividades para o Ensino Fundamental.

Submitted by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2012-06-18T18:15:15Z No. of bitstreams: 3 ClaudioLiell.pdf: 4334430 bytes, checksum: d65404d003399d4b63569195e1842544 (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) license_text: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Lisboa Monteiro (monteiro@univates.br) on 2012-09-14T14:13:47Z (GMT) No. of bitstreams: 3 ClaudioLiell.pdf: 4334430 bytes, checksum: d65404d003399d4b63569195e1842544 (MD5) license_text: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) / Made available in DSpace on 2012-09-14T14:13:47Z (GMT). No. of bitstreams: 3 ClaudioLiell.pdf: 4334430 bytes, checksum: d65404d003399d4b63569195e1842544 (MD5) license_text: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) license_rdf: 23599 bytes, checksum: 9e2b7f6edbd693264102b96ece20428a (MD5) / O presente estudo, de caráter quanti-qualitativo, analisa uma experiência com o jogo matemático Roletrando dos Inteiros como estratégia desencadeadora do processo de ensino-aprendizagem. Propõe-se a verificar se a aplicação de atividades matemáticas utilizando esse jogo contribui para a aprendizagem da noção de números inteiros e das operações básicas desse conjunto numérico. A pesquisa foi realizada em duas turmas de 6a série do Ensino Fundamental de duas escolas de São Sebastião do Caí, RS. Em uma turma houve a intervenção de jogos do Roletrando dos Inteiros para o estudo dos números inteiros e na outra, explorou-se o tema como é regularmente trabalhado nas escolas, ou seja, através da explicação do professor, cópia por parte dos alunos e listas de exercícios apresentadas no quadro ou fotocopiadas. Entre os aportes teóricos que sustentam esta pesquisa, salienta-se o pensamento de Bacury (2009); Groenwald e Timm (2010); Lara (2003); Smole, Diniz e Milani (2007); Starepravo (2009) e Kischimoto (1998), além das considerações dos PCNs (Brasil, 1998). De acordo com as análises realizadas, ficou evidenciado que: a) nas aulas com jogos, os alunos são ativos e partícipes da construção de conhecimento, ou seja, formulam hipóteses e deduzem regras para as operações com números inteiros; b) os registros feitos em aula e os testes aplicados indicaram melhoria na aprendizagem dos alunos que trabalharam com jogos; c) de maneira informal, em eventos realizados, a metodologia do jogo Roletrando despertou o interesse de outros professores; d) os jogos tornaram a Matemática mais atraente, divertida e interessante para o aluno; e) as aulas com jogos melhoraram o conviver social dos alunos, pois, ao respeitarem as regras e as normas pré-estabelecidas para cada jogo, transferiram essa conduta para a sala de aula.