L'objectif de cette thèse est la construction des tests localement et asymptotiquement optimaux. Le problème traité concerne un modèle qui contient une large classe de modèles de séries chronologiques. La propriété de la normalité asymptotique locale (LAN) est l'outil fondamental utilisé dans nos travaux de recherches. Une application de nos travaux en finance est proposée / The purpose of this phD thesis is the construction of alocally asymptotically optimal tests. In this testing problem, the considered model contains a large class of time series models. LAN property was the fundamental tools in our research works. Our results are applied in financial area

Dans cette thèse, nous étudions des modèles de moyennes conditionnelles de séries temporelles à valeurs entières. Tout d’abord, nous proposons l’estimateur de quasi maximum de vraisemblance de Poisson (EQMVP) pour les paramètres de la moyenne conditionnelle. Nous montrons que, sous des conditions générales de régularité, cet estimateur est consistant et asymptotiquement normal pour une grande classe de modèles. Étant donné que les paramètres de la moyenne conditionnelle de certains modèles sont positivement contraints, comme par exemple dans les modèles INAR (INteger-valued AutoRegressive) et les modèles INGARCH (INteger-valued Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedastic), nous étudions la distribution asymptotique de l’EQMVP lorsque le paramètre est sur le bord de l’espace des paramètres. En tenant compte de cette dernière situation, nous déduisons deux versions modifiées du test de Wald pour la significativité des paramètres et pour la moyenne conditionnelle constante. Par la suite, nous accordons une attention particulière au problème de validation des modèles des séries temporelles à valeurs entières en proposant un test portmanteau pour l’adéquation de l’ajustement. Nous dérivons la distribution jointe de l’EQMVP et des autocovariances résiduelles empiriques. Puis, nous déduisons la distribution asymptotique des autocovariances résiduelles estimées, et aussi la statistique du test. Enfin, nous proposons l’EQMVP pour estimer équation-par-équation (EpE) les paramètres de la moyenne conditionnelle des séries temporelles multivariées à valeurs entières. Nous présentons les hypothèses de régularité sous lesquelles l’EQMVP-EpE est consistant et asymptotiquement normal, et appliquons les résultats obtenus à plusieurs modèles des séries temporelles multivariées à valeurs entières. / The framework of this PhD dissertation is the conditional mean count time seriesmodels. We propose the Poisson quasi-maximum likelihood estimator (PQMLE) for the conditional mean parameters. We show that, under quite general regularityconditions, this estimator is consistent and asymptotically normal for a wide classeof count time series models. Since the conditional mean parameters of some modelsare positively constrained, as, for example, in the integer-valued autoregressive (INAR) and in the integer-valued generalized autoregressive conditional heteroscedasticity (INGARCH), we study the asymptotic distribution of this estimator when the parameter lies at the boundary of the parameter space. We deduce a Waldtype test for the significance of the parameters and another Wald-type test for the constance of the conditional mean. Subsequently, we propose a robust and general goodness-of-fit test for the count time series models. We derive the joint distribution of the PQMLE and of the empirical residual autocovariances. Then, we deduce the asymptotic distribution of the estimated residual autocovariances and also of a portmanteau test. Finally, we propose the PQMLE for estimating, equation-by-equation (EbE), the conditional mean parameters of a multivariate time series of counts. By using slightly different assumptions from those given for PQMLE, we show the consistency and the asymptotic normality of this estimator for a considerable variety of multivariate count time series models.

Le problème d'intérêt est d'estimer la fonction de concentration et l'aire sous la courbe (AUC) à travers l'estimation des paramètres d'un modèle de régression linéaire avec un processus d'erreur autocorrélé. On construit un estimateur linéaire sans biais simple de la courbe de concentration et de l'AUC. On montre que cet estimateur construit à partir d'un plan d'échantillonnage régulier approprié est asymptotiquement optimal dans le sens où il a exactement la même performance asymptotique que le meilleur estimateur linéaire sans biais (BLUE). De plus, on montre que le plan d'échantillonnage optimal est robuste par rapport à la misspecification de la fonction d'autocovariance suivant le critère du minimax. Lorsque des observations répétées sont disponibles, cet estimateur est consistant et a une distribution asymptotique normale. Les résultats obtenus sont généralisés au processus d'erreur de Hölder d'indice compris entre 0 et 2. Enfin, pour des tailles d'échantillonnage petites, un algorithme de recuit simulé est appliqué à un modèle pharmacocinétique avec des erreurs corrélées. / The problem of interest is to estimate the concentration curve and the area under the curve (AUC) by estimating the parameters of a linear regression model with autocorrelated error process. We construct a simple linear unbiased estimator of the concentration curve and the AUC. We show that this estimator constructed from a sampling design generated by an appropriate density is asymptotically optimal in the sense that it has exactly the same asymptotic performance as the best linear unbiased estimator (BLUE). Moreover, we prove that the optimal design is robust with respect to a misspecification of the autocovariance function according to a minimax criterion. When repeated observations are available, this estimator is consistent and has an asymptotic normal distribution. All those results are extended to the error process of Hölder with index including between 0 and 2. Finally, for small sample sizes, a simulated annealing algorithm is applied to a pharmacokinetic model with correlated errors.

Cette thèse se décompose en quatre parties auxquelles s'ajoute une présentation. Dans un premier temps, on expose les outils mathématiques essentiels à la compréhension des prochains chapitres. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à la régression non paramétrique locale pour des données fonctionnelles appartenant à un espace de Hilbert. On propose, tout d'abord, un estimateur de l'opérateur de régression. La construction de cet estimateur est liée à la résolution d'un problème inverse linéaire. On établit des bornes de l'erreur quadratique moyenne (EQM) de l'estimateur de l'opérateur de régression en utilisant une décomposition classique. Cette EQM dépend de la fonction de petite boule de probabilité du régresseur au sujet de laquelle des hypothèses de type Gamma-variation sont posées. Dans le chapitre suivant, on reprend le travail élaboré dans le précédent chapitre en se plaçant dans le cadre de données fonctionnelles appartenant à un espace semi-normé. On établit des bornes de l'EQM de l'estimateur de l'opérateur de régression. Cette EQM peut être vue comme une fonction de la fonction de petite boule de probabilité. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse à l'estimation de la fonction auxiliaire associée à la fonction de petite boule de probabilité. D'abord, on propose un estimateur de cette fonction auxiliare. Ensuite, on établit la convergence en moyenne quadratique et la normalité asymptotique de cet estimateur. Enfin, par des simulations, on étudie le comportement de de cet estimateur au voisinage de zéro. / This thesis is divided in four sections with an additionnal presentation. In the first section, We expose the essential mathematics skills for the comprehension of the next sections. In the second section, we adress the problem of local non parametric with functional inputs. First, we propose an estimator of the unknown regression function. The construction of this estimator is related to the resolution of a linear inverse problem. Using a classical method of decomposition, we establish a bound for the mean square error (MSE). This bound depends on the small ball probability of the regressor which is assumed to belong to the class of Gamma varying functions. In the third section, we take again the work done in the preceding section by being situated in the frame of data belonging to a semi-normed space with infinite dimension. We establish bound for the MSE of the regression operator. This MSE can be seen as a function of the small ball probability function. In the last section, we interest to the estimation of the auxiliary function. Then, we establish the convergence in mean square and the asymptotic normality of the estimator. At last, by simulations, we study the bahavour of this estimator in a neighborhood of zero.

Dans cette de thèse, nous nous intéressons à la modélisation non paramétrique de données extrêmes spatiales. Nos résultats sont basés sur un cadre principal de la théorie des valeurs extrêmes, permettant ainsi d’englober les lois de type Pareto. Ce cadre permet aujourd’hui d’étendre l’étude des événements extrêmes au cas spatial à condition que les propriétés asymptotiques des estimateurs étudiés vérifient les conditions classiques de la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) en plus des conditions locales sur la structure des données proprement dites. Dans la littérature, il existe un vaste panorama de modèles d’estimation d’événements extrêmes adaptés aux structures des données pour lesquelles on s’intéresse. Néanmoins, dans le cas de données extrêmes spatiales, hormis les modèles max stables,il n’en existe que peu ou presque pas de modèles qui s’intéressent à l’estimation fonctionnelle de l’indice de queue ou de quantiles extrêmes. Par conséquent, nous étendons les travaux existants sur l’estimation de l’indice de queue et des quantiles dans le cadre de données indépendantes ou temporellement dépendantes. La spécificité des méthodes étudiées réside sur le fait que les résultats asymptotiques des estimateurs prennent en compte la structure de dépendance spatiale des données considérées, ce qui est loin d’être trivial. Cette thèse s’inscrit donc dans le contexte de la statistique spatiale des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. • Dans la première contribution de cette thèse permettant d’appréhender l’étude de variables réelles spatiales au cadre des valeurs extrêmes, nous proposons une estimation de l’indice de queue d’une distribution à queue lourde. Notre approche repose sur l’estimateur de Hill (1975). Les propriétés asymptotiques de l’estimateur introduit sont établies lorsque le processus spatial est adéquatement approximé par un processus M−dépendant, linéaire causal ou lorsqu'il satisfait une condition de mélange fort (a-mélange). • Dans la pratique, il est souvent utile de lier la variable d’intérêt Y avec une co-variable X. Dans cette situation, l’indice de queue dépend de la valeur observée x de la co-variable X et sera appelé indice de queue conditionnelle. Dans la plupart des applications, l’indice de queue des valeurs extrêmes n’est pas l’intérêt principal et est utilisé pour estimer par exemple des quantiles extrêmes. La contribution de ce chapitre consiste à adapter l’estimateur de l’indice de queue introduit dans la première partie au cadre conditionnel et d’utiliser ce dernier afin de proposer un estimateur des quantiles conditionnels extrêmes. Nous examinons les modèles dits "à plan fixe" ou "fixed design" qui correspondent à la situation où la variable explicative est déterministe et nous utlisons l’approche de la fenêtre mobile ou "window moving approach" pour capter la co-variable. Nous étudions le comportement asymptotique des estimateurs proposés et donnons des résultats numériques basés sur des données simulées avec le logiciel "R". • Dans la troisième partie de cette thèse, nous étendons les travaux de la deuxième partie au cadre des modèles dits "à plan aléatoire" ou "random design" pour lesquels les données sont des observations spatiales d’un couple (Y,X) de variables aléatoires réelles. Pour ce dernier modèle, nous proposons un estimateur de l’indice de queue lourde en utilisant la méthode des noyaux pour capter la co-variable. Nous utilisons un estimateur de l’indice de queue conditionnelle appartenant à la famille de l’estimateur introduit par Goegebeur et al. (2014b). / In this thesis, we investigate nonparametric modeling of spatial extremes. Our resultsare based on the main result of the theory of extreme values, thereby encompass Paretolaws. This framework allows today to extend the study of extreme events in the spatialcase provided if the asymptotic properties of the proposed estimators satisfy the standardconditions of the Extreme Value Theory (EVT) in addition to the local conditions on thedata structure themselves. In the literature, there exists a vast panorama of extreme events models, which are adapted to the structures of the data of interest. However, in the case ofextreme spatial data, except max-stables models, little or almost no models are interestedin non-parametric estimation of the tail index and/or extreme quantiles. Therefore, weextend existing works on estimating the tail index and quantile under independent ortime-dependent data. The specificity of the methods studied resides in the fact that theasymptotic results of the proposed estimators take into account the spatial dependence structure of the relevant data, which is far from trivial. This thesis is then written in thecontext of spatial statistics of extremes. She makes three main contributions.• In the first contribution of this thesis, we propose a new approach of the estimatorof the tail index of a heavy-tailed distribution within the framework of spatial data. This approach relies on the estimator of Hill (1975). The asymptotic properties of the estimator introduced are established when the spatial process is adequately approximated by aspatial M−dependent process, spatial linear causal process or when the process satisfies a strong mixing condition.• In practice, it is often useful to link the variable of interest Y with covariate X. Inthis situation, the tail index depends on the observed value x of the covariate X and theunknown fonction (.) will be called conditional tail index. In most applications, the tailindexof an extreme value is not the main attraction, but it is used to estimate for instance extreme quantiles. The contribution of this chapter is to adapt the estimator of the tail index introduced in the first part in the conditional framework and use it to propose an estimator of conditional extreme quantiles. We examine the models called "fixed design"which corresponds to the situation where the explanatory variable is deterministic. To tackle the covariate, since it is deterministic, we use the window moving approach. Westudy the asymptotic behavior of the estimators proposed and some numerical resultsusing simulated data with the software "R".• In the third part of this thesis, we extend the work of the second part of the framemodels called "random design" for which the data are spatial observations of a pair (Y,X) of real random variables . In this last model, we propose an estimator of heavy tail-indexusing the kernel method to tackle the covariate. We use an estimator of the conditional tail index belonging to the family of the estimators introduced by Goegebeur et al. (2014b).