O objetivo deste trabalho e a modelagem matem atica da propagaçãao do poluente mercúrio na agua. O modelo bidimensional consiste na drenagem da agua atrav es de um canal, onde o poluente (mercúrio) entra. O modelo consiste em um conjunto de equaçõoes diferenciais parciais: as equações para a conservação da massa, a quantidade de movimento, e a concentração das espécies, sujeitas a condições iniciais e de contorno apropriadas. Estas equações foram discretizadas pelo método de diferenças finitas centrais, gerando sistemas lineares que foram resolvidos pelo método de Gauss-Seidel e a convergência foi acelerada usando a técnica de sobre-relaxações SOR. A an alise da consistência e estabilidade da equação de concentração foi feita. Além disso, a solução analítica da equação de concentração, que e uma equação diferencial parcial bidimensional não homogênea com uma condição de contorno não homogênea, foi obtida com a transformada de Laplace. Os resultados obtidos a partir do modelo numérico e da solução analítica foram comparados e apresentam concordância razoável. / The goal of this work is the mathematical modeling of the spreading of the polluting mercury in the water. The two-dimensional model consists of water drainage through a canal, where the pollutant (mercury) enters. The model consists of a set of partial di erential equations: the equations for the conservation of the mass, the momentum, and the concentration of the species, subject to appropriate initial and boundary conditions. These equations were discretized by the method of central nite di erences, generating linear systems, which were solved by the Gauss-Seidel method and convergence was accelerated using the over-relaxation SOR technique. The analysis of the consistency and stability of the concentration equation was made. Furthermore, the analytical solution of the concentration equation, which is a two-dimensional non-homogeneous partial di erential equation with one nonhomogeneous contour condition, was obtained using Laplace transform. The results obtained from the numerical model and the analytical solution were compared and presented reasonable agreement.

As equações polinomiais são estudadas desde a antiguidade e atualmente são utilizadas, por exemplo, para modelar problemas do cotidiano nas mais variadas áreas do conhecimento. As técnicas de solução de equações polinomiais nem sempre são triviais, principalmente quando envolvem equações de alta ordem e raízes complexas. O ensino desse tema no Ensino Básico é limitado a equações de segundo ou terceiro grau e coeficientes inteiros, o que restringe a aplicação em problemas mais realistas. Assim, o objetivo deste trabalho é trazer uma contribuição aos estudantes, aos professores do Ensino Básico e aos demais interessados, apresentando um material que aborde técnicas de resolução para equação polinomial de diversas naturezas. Iniciamos por uma revisão dos números complexos e dos polinômios, suas operações e propriedades. Embasamos o trabalho com teoremas e permeamos de exemplos com um crescente grau de dificuldade. Dividimos as técnicas de resolução em analíticas e numéricas. Entre as primeiras, tratamos das relações de Girard, das fórmulas resolventes e de alguns casos particulares de equações. Entre as técnicas numéricas, estudamos o método de Newton, o método das secantes e o método de Newton-Bairstow, este último para encontrar raízes complexas. / Polynomial equations have been studied since antiquity and are currently used, for example, to model everyday problems in the most varied areas of knowledge. The solution techniques of polynomial equations are not always trivial, especially when they involve high order equations and complex roots. The teaching of this subject in Basic Education is limited to second or third degree equations and integer coefficients, which restricts the application to more realistic problems. Thus, the objective of this work is to bring a contribution to students, teachers of Basic Education and other interested parties, presenting a material that treats of resolution techniques for polynomial equation of different natures. We begin with a review of complex numbers and polynomials, their operations and properties. We support the work with theorems and permeate examples with an increasing degree of difficulty. We divide the techniques of resolution into analytical and numerical. Among the first, we deal with Girards relations, the resolvent formulas, and some particular cases of equations. Among numerical techniques, we studied the Newton method, the secant method, and the Newton-Bairstow method, the last one to find complex roots.

Orientador: Rita de Cassia Pavani Lamas / Banca: Andréia Cristina Ribeiro / Banca: German Jesus Lozada Cruz / Resumo: O objetivo desse trabalho é apresentar uma proposta de como ensinar os conceitos relacionados à Função Exponencial através da Metodologia de Resolução de Problemas. Para isso, apoiamo-nos na teoria de Polya e Onuchic e propomos dois problemas. Em um destes é introduzido o uso do software Geogebra. Aqueles exemplificam como aplicar a metodologia de Resolução de Problemas no ensino da matemática. A formalização do conteúdo abordado nos problemas são apresentados no trabalho, assim como os resultados de aplicação da proposta para a primeira série do Ensino Médio / Abstract: This work aims to present a proposal on how to teach the concepts related to Exponential Function through the Methodology of Resolution of Problems. In this regard, we sustain us on Polya and Onuchic theory and suggest two problems. In one of them is introduced the use of software Geogebra. Those exemplify how to apply the methodology of Resolution of Problems in the teaching of mathematic. The formalization of the boarded content in the problems are presented in this work, as well the results of application of the proposal for the first High School step / Mestre

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:22:18Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-06-27Bitstream added on 2014-06-13T19:48:20Z : No. of bitstreams: 1 martins_ca_me_sjrp.pdf: 297081 bytes, checksum: 4a6f13bdad08f9e72c8df07186762615 (MD5) / Neste trabalho estabelecemos condições para a existência e unicidade de solução para equações integrais do tipo Volterra–Stieltjes não linear x(t)+ Z [a,t]T DsK(t,s) f (s,x(s)) = u(t), t E [a,b]T em escalas temporais T, usando a integral de Cauchy–Stieltjes à direita sobre funções regradas a valores em espaços de Banach / In this work we establish conditions for the existence and uniqueness of solution a Volterra– Stieltjes integral nonlinear equations x(t)+ Z [a,t]T DsK(t,s) f (s,x(s)) = u(t), t E [a,b]Tin time scales T, using the right Cauchy–Stieltjes integral on regulated functions with values in Banach spaces

A resposta impulso é utilizada como ferramenta padrão no estudo direto de sistemas concentrados, discretos e distribuídos de ordem arbitrária. Esta abordagem leva ao desenvolvimento de uma plataforma unificada para a obtenção de respostas dinâmicas. Em particular, as respostas forçadas dos sistemas são decompostas na soma de uma resposta permanente e de uma resposta livre induzida pelos valores iniciais da resposta permanente. A teoria desenvolve-se de maneira geral e direta para sistemas de nésima ordem, introduzindo-se a base dinâmica gerada pela resposta impulso na forma padrão e normalizada, sem utilizar-se a formulação de estado, através da qual reduz-se um sistema de ordem superior para um sistema de primeira ordem. Considerou-se sistemas de primeira ordem a fim de acompanhar-se os muitos resultados apresentados na literatura através da formulação de espaço de estado. Os métodos para o cálculo da resposta impulso foram classificados em espectrais, não espectrais e numéricos. A ênfase é dada aos métodos não espectrais, pois a resposta impulso admite uma fórmula fechada que requer o uso de três equações características do tipo algébrica, diferencial e em diferenças. Realizou-se simulações numéricas onde foram apresentados modelos vibratórios clássicos e não clássicos. Os sistemas considerados foram sistemas do tipo concentrado, discreto e distribuído. Os resultados da decomposição da resposta dinâmica de sistemas concentrados diante de cargas harmônicas e não harmônicas foram apresentados em detalhe. A decomposição para o caso discreto foi desenvolvida utilizando-se os esquemas de integração numérica de Adams-Basforth, Strömer e Numerov. Para sistemas distribuídos, foi considerado o modelo de Euler-Bernoulli com força axial, sujeito a entradas oscilatórias com amplitude triangular, pulso e harmônica. As soluções permanentes foram calculadas com o uso da função de Green espacial. A resposta impulso foi aproximada com o uso do método espectral. / The impulse response is employed as a standard tool for a direct study of concentrated, discrete and distributed systems of arbitrary order. This approach leads to the development o f a unified platform for obtaining dynamical responses. In particular, forced responses are decomposed into the sum of a permanent response and a free response induced by the initial values of the permanent solution. The theory is developed in a general manner for n-th order systems; being introduced the standard dynamical basis generated by the impulse response and the normalized one, without employing the state formulation, through which a higher-order system is reduced to a first-order system. In order to follow the many results found in the literature through the state space formulation, first-order systems were considered. The methods for computing the impulse response were classified into spectral, non spectral and numeric. Emphasis was given to non spectral methods, because the impulse response has a closed-form formula that requires the use of three characteristic equations of algebraic, differential and difference type. Numerical simulations were performed with classical and non classical vibrating models. The systems considered were concentrated, discrete and distributed. The decomposition results of the forced response of concentrated systems subject to harmonic and non harmonic loads were worked out in detail. The decomposition for the discrete case was developed by using the numerical integration schemes of Adams-Basforth, Strõmer and Numerov. For distributed systems was considered the Euler-Bernoulli model with an axial force subject to oscillating inputs with triangular, pulse and harmonic amplitude. The permanent solutions were computed with the spatial Green function. The impulse response was approximated with the spectral method.

O objetivo deste trabalho é mostrar que variados cálculos tornam-se mais fáceis de ser efetuados realizando operações com números escritos na base dois, com o pressuposto de que se esteja habituado a números nessa base, promovendo um aprofundamento na compreensão das bases e das propriedades utilizadas nas operações. Retomaremos alguns dos principais sistemas de numeração e apresentamos os cálculos de adições, subtrações, multiplicações e divisões com números escritos na base binária. Resgataremos também um antigo, porém eficiente, algoritmo para a extração de raízes quadradas. / The purpose of this work is to show that various calculations become easier to perform by performing operations with numbers written in base two, with the assumption that one is accustomed to numbers in this base, promoting a deeper understanding of the bases and properties used for these operations. We will return to some of the major numbering systems and present the calculations of sums, subtractions, multiplications, and divisions with numbers written on the binary basis. We will also rescue an old but efficient algorithm for the extraction of square roots.

A resposta impulso é utilizada como ferramenta padrão no estudo direto de sistemas concentrados, discretos e distribuídos de ordem arbitrária. Esta abordagem leva ao desenvolvimento de uma plataforma unificada para a obtenção de respostas dinâmicas. Em particular, as respostas forçadas dos sistemas são decompostas na soma de uma resposta permanente e de uma resposta livre induzida pelos valores iniciais da resposta permanente. A teoria desenvolve-se de maneira geral e direta para sistemas de nésima ordem, introduzindo-se a base dinâmica gerada pela resposta impulso na forma padrão e normalizada, sem utilizar-se a formulação de estado, através da qual reduz-se um sistema de ordem superior para um sistema de primeira ordem. Considerou-se sistemas de primeira ordem a fim de acompanhar-se os muitos resultados apresentados na literatura através da formulação de espaço de estado. Os métodos para o cálculo da resposta impulso foram classificados em espectrais, não espectrais e numéricos. A ênfase é dada aos métodos não espectrais, pois a resposta impulso admite uma fórmula fechada que requer o uso de três equações características do tipo algébrica, diferencial e em diferenças. Realizou-se simulações numéricas onde foram apresentados modelos vibratórios clássicos e não clássicos. Os sistemas considerados foram sistemas do tipo concentrado, discreto e distribuído. Os resultados da decomposição da resposta dinâmica de sistemas concentrados diante de cargas harmônicas e não harmônicas foram apresentados em detalhe. A decomposição para o caso discreto foi desenvolvida utilizando-se os esquemas de integração numérica de Adams-Basforth, Strömer e Numerov. Para sistemas distribuídos, foi considerado o modelo de Euler-Bernoulli com força axial, sujeito a entradas oscilatórias com amplitude triangular, pulso e harmônica. As soluções permanentes foram calculadas com o uso da função de Green espacial. A resposta impulso foi aproximada com o uso do método espectral. / The impulse response is employed as a standard tool for a direct study of concentrated, discrete and distributed systems of arbitrary order. This approach leads to the development o f a unified platform for obtaining dynamical responses. In particular, forced responses are decomposed into the sum of a permanent response and a free response induced by the initial values of the permanent solution. The theory is developed in a general manner for n-th order systems; being introduced the standard dynamical basis generated by the impulse response and the normalized one, without employing the state formulation, through which a higher-order system is reduced to a first-order system. In order to follow the many results found in the literature through the state space formulation, first-order systems were considered. The methods for computing the impulse response were classified into spectral, non spectral and numeric. Emphasis was given to non spectral methods, because the impulse response has a closed-form formula that requires the use of three characteristic equations of algebraic, differential and difference type. Numerical simulations were performed with classical and non classical vibrating models. The systems considered were concentrated, discrete and distributed. The decomposition results of the forced response of concentrated systems subject to harmonic and non harmonic loads were worked out in detail. The decomposition for the discrete case was developed by using the numerical integration schemes of Adams-Basforth, Strõmer and Numerov. For distributed systems was considered the Euler-Bernoulli model with an axial force subject to oscillating inputs with triangular, pulse and harmonic amplitude. The permanent solutions were computed with the spatial Green function. The impulse response was approximated with the spectral method.

Neste trabalho a equação de transporte de nêutrons a um grupo de energia é resolvida pelo método L TSN, obtendo-se o fluxo escalar que é usado para determinar a taxa de dose absorvida em blindagens múltiplas, formadas por materiais diferentes. Simulações numéricas para as taxas de doses absorvidas, modelando os meios como puramente absorvedores e espalhadores isotrópicos e anisotrópicos, são apresentados para ordens de quadratura iguais a 60. Os valores numéricos obtidos mostram que o método é eficiente, obtendo-se resultados que apresentam comportamento físico adequado, indicando que a metodologia L TSN é uma ferramenta útil em cálculos de blindagens para nêutrons. / In this work the one-group transport equation for neutrons is solved by the L TSN method, obtaining the scalar flux that is used to determine the absorbed dose rate in heterogeneous shielding formed by different materiais. Numerical simulations for the absorbed dose rates, considering purely absorbing media, isotropic and anisotropic scattering, are reported for angular quadrature set order of 60. Numerical results show that the offered method is efficient, generates results which show to be physically consistent and indicates that the L TSN methodology is a useful tool for shielding calculations for neutrons.

O objetivo deste trabalho e a modelagem matem atica da propagaçãao do poluente mercúrio na agua. O modelo bidimensional consiste na drenagem da agua atrav es de um canal, onde o poluente (mercúrio) entra. O modelo consiste em um conjunto de equaçõoes diferenciais parciais: as equações para a conservação da massa, a quantidade de movimento, e a concentração das espécies, sujeitas a condições iniciais e de contorno apropriadas. Estas equações foram discretizadas pelo método de diferenças finitas centrais, gerando sistemas lineares que foram resolvidos pelo método de Gauss-Seidel e a convergência foi acelerada usando a técnica de sobre-relaxações SOR. A an alise da consistência e estabilidade da equação de concentração foi feita. Além disso, a solução analítica da equação de concentração, que e uma equação diferencial parcial bidimensional não homogênea com uma condição de contorno não homogênea, foi obtida com a transformada de Laplace. Os resultados obtidos a partir do modelo numérico e da solução analítica foram comparados e apresentam concordância razoável. / The goal of this work is the mathematical modeling of the spreading of the polluting mercury in the water. The two-dimensional model consists of water drainage through a canal, where the pollutant (mercury) enters. The model consists of a set of partial di erential equations: the equations for the conservation of the mass, the momentum, and the concentration of the species, subject to appropriate initial and boundary conditions. These equations were discretized by the method of central nite di erences, generating linear systems, which were solved by the Gauss-Seidel method and convergence was accelerated using the over-relaxation SOR technique. The analysis of the consistency and stability of the concentration equation was made. Furthermore, the analytical solution of the concentration equation, which is a two-dimensional non-homogeneous partial di erential equation with one nonhomogeneous contour condition, was obtained using Laplace transform. The results obtained from the numerical model and the analytical solution were compared and presented reasonable agreement.

Orientador: Prof. Dr. Germán Lugones / Tese (doutorado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, 2015. / Durante sua expansão inicial e consequente resfriamento o Universo passou por diversas transições. Uma delas, conhecida como transição de fase da QCD, prevista pelo modelo cosmológico padrão e pela física de partículas, ocorreu por volta de 10 s após o Big Bang, em temperaturas da ordem de 150-200MeV, atuou em quarks e gluôns inicialmente em estado quasi-livre confinando-os em hádrons. A maneira na qual esse processo se deu, pode ter gerado inúmeras implicações nas fases subsequentes e relíquias a serem observadas atualmente. Com o intuito de entender esse processo, resolvemos numericamente as equações de Euler no contexto da relatividade restrita com um código numérico multidimensional desenvolvido durante o trabalho, baseado no método de diferença finita com esquemas de alta ordem para os casos hidrodinâmicos newtoniano e relativístico. Nele empregamos métodos de reconstrução espacial no espaço característico de até sétima ordem, três diferentes separadores de fluxo e esquemas Runge-Kutta de alta estabilidade de terceira e quarta ordem para evolução temporal. Para implementação do caso multidimensional, utilizamos o método "dimensionally unsplit". Os primeiros trabalhos a respeito dessa época partiam do pressuposto que a transição era de primeira ordem e faziam uma análise semi-analítica da nucleação e colisão entre bolhas hadrônicas. Nesses trabalhos era conjecturado que a turbulência criada por esses mecanismos teria um perfil Komolgorov, ou alguma variação, e a partir disso calculava a radiação gravitacional produzida. Contudo resultados obtidos pelos grandes experimentos de colisão de íons pesados no RHIC e LHC, cuja condições geradas possuem algumas similaridades àquelas esperadas no Universo Primordial e nos cálculos feitos pela colaboração Wuppertal-Budapest com teoria da QCD na rede sugerem que, pelos parâmetros provenientes do modelo padrão, essa transição foi analítica, caracterizada por uma transformação suave entre as fases. Nesse cenário, não há mecanismos intrínsecos da transição que possam transferir energias para as escalas maiores para produzir e manter a turbulência no fluido,formando assim espectro diferente dos analisados trabalhos anteriores e consequentemente uma outra evolução do plasma primordial. Através de análises estatísticas e espectrais, propusemos entender a dinâmica de iii um fluido primordial que passa por um transição analítica, estudando a geração de ondas gravitacionais geradas a partir da evolução de um fluido com estado inicial formado por distribuições randômicas de temperatura e velocidade e comparando-as com a curva de sensibilidade do eLISA/NGO. Procuramos entender também como a presença da instabilidade de Kelvin-Helmholtz bidimensional engatilhada a partir das flutuações provenientes de outras eras pode ter influenciado no crescimento de perturbações e da turbulência e suas consequências para o espectro da radiação gravitacional. / During its initial expansion and cooling, the Universe passed through several transitions. One of them, know as QCD phase transition occurred around 10 s after the Big Bang, at a temperature of the order of 150-200MeV, confining quarks and gluons that were initially in a quasi-free state into hadrons. The study of this transition is important for understanding the evolution of the Universe, because depending of the manner in which this process took place, we can expect several types of consequences for the subsequent phases as well as different observable relics. In order to understand this process, we solved numerically the Euler equations in the frame of special relativity with a multi-dimensional numerical code developed during the work, based on the finite differences method with high order schemes. We used spatial reconstruction methods in the characteristic space up to seventh order, three different flux-split and Runge-Kutta schemes of high stability of third and fourth order for time evolution. To implement the multidimensional case, we use the dimensionally unsplit method. Most of previous studies on this topic were based on the assumption of a first order transition. Several studies focused on a semi-analytical analysis of the nucleation, growth and collision of bubbles and their relation to the generation of gravitational waves. In these works it was conjectured that the turbulence created by such mechanisms would have a Komolgorov slope, or some variation of it, and from it the gravitational radiation was estimated. However results obtained in large heavy ion collision experiments at RHIC and LHC, whose conditions have some similarities to those expected in the Early Universe, and calculations made by the Wuppertal-Budapest collaboration with Lattice QCD suggest that, with parameters from the standard cosmological model, the transition it is a crossover characterized by a smooth transformation between phases. In this scenario, no intrinsic mechanisms of the transition could transfer the energy to larger scales to produce and maintain turbulence in the fluid, thereby generating a different spectrum of previous work and therefore another evolution of the primordial plasma. Using statistical and spectral analysis, we study the dynamics of a primordial fluid passing through an analytic transition. We study the gravitational waves generated from the motion of a fluid with an initial state consisting of random distributions of temperature and velocity and compare the results with the sensitivity curve of the eLISA/NGO. We also investigate how the presence of the Kelvin-Helmholtz instability may have influenced the growth of perturbations and turbulence and analyze its consequences for the spectrum of gravitational radiation.