We consider a multi-species gas mixture described by a kinetic model. More precisely, we are interested in models with BGK interaction operators. Several extensions to the standard BGK model are studied. Firstly, we allow the collision frequency to vary not only in time and space but also with the microscopic velocity. In the standard BGK model, the dependence on the microscopic velocity is neglected for reasons of simplicity. We allow for a more physical description by reintroducing this dependence. But even though the structure of the equations remains the same, the so-called target functions in the relaxation term become more sophisticated being defined by a variational procedure. Secondly, we include quantum effects (for constant collision frequencies). This approach influences again the resulting target functions in the relaxation term depending on the respective type of quantum particles. In this thesis, we present a numerical method for simulating such models. We use implicit-explicit time discretizations in order to take care of the stiff relaxation part due to possibly large collision frequencies. The key new ingredient is an implicit solver which minimizes a certain potential function. This procedure mimics the theoretical derivation in the models. We prove that theoretical properties of the model are preserved at the discrete level such as conservation of mass, total momentum and total energy, positivity of distribution functions and a proper entropy behavior. We provide an array of numerical tests illustrating the numerical scheme as well as its usefulness and effectiveness. / Wir betrachten ein Gasgemisch, das aus mehreren Spezies zusammengesetzt ist und durch kinetische Modelle beschrieben werden kann. Dabei interessieren wir uns vor allem für Modelle mit BGK-Wechselwirkungsoperatoren. Verschiedene Erweiterungen des Standard-BGK-Modells werden untersucht. Im ersten Modell nehmen wir eine Abhängigkeit der Stoßfrequenzen von der mikroskopischen Geschwindigkeit hinzu. Im Standard-BGK-Modell wird diese Abhängigkeit aus Gründen der Komplexität vernachlässigt. Wir nähern uns der physikalischen Realität weiter an, indem wir die Abhängigkeit von der mikroskopischen Geschwindigkeit beachten. Die Struktur der Gleichungen bleibt erhalten, allerdings hat dies Auswirkungen auf die sogenannten Zielfunktionen im Relaxationsterm, welche sodann durch einen Variationsansatz definiert werden. Das zweite Modell berücksichtigt Quanteneffekte (für konstante Stoßfrequenzen), was wiederum die Zielfunktionen im Relaxationsterm beeinflusst. Diese unterscheiden sich abhängig von den jeweils betrachteten, quantenmechanischen Teilchentypen. In dieser Doktorarbeit stellen wir numerische Verfahren vor, die auf oben beschriebene Modelle angewandt werden können. Wir legen eine implizite-explizite Zeitdiskretisierung zu Grunde, da die Relaxationsterme für große Stoßfrequenzen steif werden können. Das Kernstück ist ein impliziter Löser, der eine gewisse Potenzialfunktion minimiert. Dieses Vorgehen imitiert die theoretische Herleitung in den Modellen. Wir zeigen, dass die Eigenschaften des Modells auch auf der diskreten Ebene vorliegen. Dies beinhaltet die Massen-, Gesamtimpuls- und Gesamtenergieerhaltung, die Positivität von Verteilungsfunktionen sowie das gewünschte Verhalten der Entropie. Wir führen mehrere numerische Tests durch, die die Eigenschaften, die Nützlichkeit und die Zweckmäßigkeit des numerischen Verfahrens aufzeigen. / Many applications require reliable numerical simulations of realistic set-ups e.g. plasma physics. This book gives a short introduction into kinetic models of gas mixtures describing the time evolution of rarefied gases and plasmas. Recently developed models are presented which extend existing literature by including more physical phenomena. We develop a numerical scheme for these more elaborated equations. The scheme is proven to maintain the physical properties of the models at the discrete level. We show several numerical test cases inspired by physical experiments.

This thesis is devoted to the theoretical and numerical investigation of preconditioning methods for gradient schemes for solving underdetermined nonlinear least-squares problems. In particular, problems with zero residual are considered, which are equivalent to the problem of solving underdetermined nonlinear systems of equations. These problems arise in several fields such as nonlinear eigenvalue problems, partial differential equations, and in the context of data fitting. A specific example from the latter class is the supervised training of overparameterised artificial neural networks. In this case, a large number of parameters and a complex problem structure make solving these problems challenging, and the development of efficient methods with guaranteed convergence is of paramount importance. In this thesis, the relation between solutions of nonlinear least-squares problems and nonlinear systems of equations is explained. Further, a result on the existence of solutions that is based on the existence of a point with sufficiently small value of the residual function and a full rank assumption on the Jacobian of the residual function around this point is presented. This theoretical framework is discussed in the context of quadratic data fitting problems and supervised training problems. However, in some cases a full rank property is not at hand, and regularisation techniques are required for guaranteeing existence of solutions and convergence of iterative schemes. For this purpose, two regularisation schemes based on the minimisation of a least-squares objective function with a regularised residual are introduced. These schemes preserve the underdetermined structure of the problem and the corresponding Jacobians satisfy the full rank property. Further, it is established that a sequence of solutions of the regularised problems converges to a solution of the original problem if the regularisation parameter decreases to zero. To compute solutions of the considered underdetermined nonlinear least-squares problems, preconditioning approaches for gradient-based schemes are investigated. To this end, the standard gradient method, which serves as a basis for the proposed preconditioning approaches, is discussed. Specifically, a semi-local convergence result is presented, where, in contrast to local convergence theorems, the existence of a solution is not assumed a priori but follows from the convergence of a sequence obtained by this gradient scheme. The assumptions for this convergence result are transferred to the case of quadratic data fitting problems and supervised training problems. Moreover, the application of the gradient method to minimise the underdetermined regularised least-squares objective function that appear in both regularisation strategies is investigated. It is proven that the sequence of solutions obtained by the gradient method for regularised problems with varying regularisation parameter converges to a solution of the original problem if the regularisation parameter tends to zero. Results of numerical experiments illustrate this property. Preconditioning approaches with fixed transformation matrices are introduced. Motivated from the linear case, these schemes are classified as left, right, and split preconditioning methods depending on the space in which the transformation is applied. A convergence result for a left preconditioning method is proven. Further, flexible preconditioning schemes where the transformation matrix is allowed to vary during the gradient iteration are addressed. For nonlinear least-squares problems, a left preconditioning scheme with fixed transformation matrix based on a random subspace embedding is designed. A relation of the condition number of the Jacobian of the transformed residual function to the distortion of the subspace embedding is established. Results from numerical experiments on supervised learning problems are shown, which demonstrate a striking improvement of the convergence rate of the randomised preconditioned method compared to the standard gradient method. Inspired by spectral multigrid preconditioners, a flexible right preconditioning scheme is defined using the eigendecomposition of the Hessian of the least-squares objective function that complements the gradient method. Based on the resemblance to algebraic multigrid schemes, an approach to compute a similar transformation matrix with less computational effort is suggested. Additionally, the combination of this gradient and coarse-level correction scheme with the randomised left preconditioning approach is analysed. The resulting scheme gives a flexible split preconditioned gradient method. A numerical investigation of these flexible right and split preconditioning schemes is included. These results demonstrate that the combination of the gradient method with a coarse-level correction leads to a faster reduction of the least-squares objective function in terms of iterations compared to the standard gradient method, and that the split preconditioned gradient scheme converges even faster. Another efficient method for solving nonlinear systems of equations is the class of quasi-Newton methods, which represent flexible left preconditioned gradient schemes. In this context, an update formula for the Moore-Penrose inverse of the Jacobian approximations obtained by the Broyden update for underdetermined problems is developed. A semi-local convergence result for general quasi-Newton methods is proven. Sufficient conditions for the convergence of the quasi-Newton scheme resulting from the developed new updating procedure based on the Broyden update are given. These conditions are transferred to the context of quadratic data fitting problems and the supervised training of shallow neural networks. Further, for the considered regularised problems, it is established that the sequence of solutions obtained by the proposed quasi-Newton scheme applied to find a zero of the regularised residual functions converges to a solution of the original problem if the regularisation parameters decrease to zero. Results of numerical experiments on quadratic data fitting problems, eigenvalue problems, and supervised training problems are included to support the theoretical findings. A description of the problems' settings, the specifications of the applied algorithms, and the Python program used for the numerical experiments is included. / Diese Arbeit widmet sich der theoretischen und numerischen Untersuchung von Vorkonditionierungsmethoden für Gradientenschemata zur Lösung unterbestimmter nichtlinearer Kleinste-Quadrate-Probleme. Insbesondere werden Probleme mit Nullresiduen betrachtet, die dem Problem der Lösung unterbestimmter nichtlinearer Gleichungssysteme entsprechen. Diese Probleme treten in verschiedenen Bereichen auf, z. B. bei nichtlinearen Eigenwertproblemen, partiellen Differentialgleichungen und im Zusammenhang mit Datenanpassung. Ein spezifisches Beispiel aus der letztgenannten Klasse ist das überwachte Training von überparametrisierten künstlichen neuronalen Netzen. In diesem Fall machen eine große Anzahl von Parametern und eine komplexe Problemstruktur die Lösung dieser Probleme zu einer Herausforderung, und die Entwicklung effizienter Methoden mit garantierter Konvergenz ist von größter Bedeutung. In dieser Arbeit wird der Zusammenhang zwischen Lösungen von nichtlinearen Kleinste-Quadrate-Probleme und nichtlinearen Gleichungssystemen erläutert. Außerdem wird ein Ergebnis über die Existenz von Lösungen vorgestellt, das auf der Existenz eines Punktes mit einem hinreichend kleinem Wert der Residuenfunktion und einer Vollrangannahme für die Jacobimatrix der Residuenfunktion um diesen Punkt herum beruht. Dieser theoretische Rahmen wird im Zusammenhang mit quadratischen Datenanpassungsproblemen und überwachten Trainingsproblemen diskutiert. In einigen Fällen liegt jedoch keine Vollrang-Eigenschaft vor, und es sind Regularisierungstechniken erforderlich, um die Existenz von Lösungen und die Konvergenz von Iterationsverfahren zu gewährleisten. Zu diesem Zweck werden zwei Regularisierungsverfahren eingeführt, die auf der Minimierung einer Kleinste-Quadrate-Zielfunktion mit einer regularisierten Residuenfunktion beruhen. Diese Verfahren bewahren die unterbestimmte Struktur des Problems, und die entsprechenden Jacobimatrizen haben vollen Rang. Ferner wird festgestellt, dass eine Folge von Lösungen der regularisierten Probleme zu einer Lösung des ursprünglichen Problems konvergiert, wenn der Regularisierungsparameter auf Null sinkt. Um Lösungen für die betrachteten unterbestimmten nichtlinearen Kleinste-Quadrate-Probleme zu berechnen, werden Vorkonditionierungsansätze für gradientenbasierte Verfahren untersucht. Zu diesem Zweck wird das Standard-Gradientenverfahren, das als Grundlage für die vorgeschlagenen Vorkonditionierungsansätze dient, diskutiert. Insbesondere wird ein semilokales Konvergenzergebnis vorgestellt, bei dem im Gegensatz zu lokalen Konvergenztheoremen die Existenz einer Lösung nicht a priori vorausgesetzt wird, sondern aus der Konvergenz einer mit diesem Gradientenschema erhaltenen Sequenz folgt. Die Annahmen für dieses Konvergenzergebnis werden auf den Fall von quadratischen Datenanpassungsproblemen und überwachten Trainingsproblemen übertragen. Darüber hinaus wird die Anwendung der Gradientenmethode zur Minimierung der unterbestimmten regularisierten Kleinste-Quadrate-Zielfunktion untersucht, die in beiden Regularisierungsstrategien auftritt. Es wird bewiesen dass die Folge von Lösungen, die durch die Gradientenmethode für regularisierte Probleme mit variierenden Regularisierungsparametern erhalten wird, zu einer Lösung des ursprünglichen Problems konvergiert, wenn der Regularisierungsparameter gegen Null tendiert. Ergebnisse von numerischen Experimenten veranschaulichen diese Eigenschaft. Es werden Vorkonditionierungsansätze mit festen Transformationsmatrizen vorgestellt. Ausgehend vom linearen Fall werden diese Verfahren als linke, rechte und geteilte Vorkonditionierungsmethoden klassifiziert, je nach dem Raum, in dem die Transformation angewendet wird. Es wird ein Konvergenzergebnis für eine linke Vorkonditionierungsmethode bewiesen. Außerdem werden flexible Vorkonditionierungsverfahren behandelt, bei denen die Transformationsmatrix während der Gradienteniteration variieren kann. Für nichtlineare Kleinste-Quadrate-Probleme wird ein linkes Vorkonditionierungsschema mit fester Transformationsmatrix auf der Grundlage einer zufälligen Unterraumeinbettung entworfen. Es wird eine Beziehung zwischen der Konditionszahl der Jacobimatrix der transformierten Residuenfunktion und der Verzerrung der Unterraumeinbettung hergestellt. Es werden Ergebnisse aus numerischen Experimenten zu überwachten Lernproblemen gezeigt, die eine deutliche Verbesserung der Konvergenzrate der randomisierten vorkonditionierten Methode im Vergleich zur Standard-Gradientenmethode belegen. Inspiriert von spektralen Mehrgitterkonditionierern wird ein flexibles rechtes Vorkonditionierungsschema definiert, das die Eigenwertzerlegung der Hessematrix der Kleinste-Quadrate-Zielfunktion verwendet und die Gradientenmethode ergänzt. Aufgrund der Ähnlichkeit mit algebraischen Mehrgitterverfahren wird ein Ansatz zur Berechnung einer ähnlichen Transformationsmatrix mit geringerem Rechenaufwand vorgeschlagen. Darüber hinaus wird die Kombination dieses Gradienten- und Grobkorrekturverfahrens mit dem randomisierten linken Vorkonditionierungsansatz analysiert. Das resultierende Schema ergibt ein flexibles, geteiltes vorkonditioniertes Gradientenverfahren. Eine numerische Untersuchung dieser flexiblen rechten und geteilten Vorkonditionierungsverfahren ist enthalten. Die Ergebnisse zeigen, dass die Kombination der Gradientenmethode mit einer Grobkorrektur zu einer schnelleren Reduktion der Kleinste-Quadrate-Zielfunktion in Bezug auf die Iterationen im Vergleich zur Standard-Gradientenmethode führt und dass das geteilte vorkonditionierte Gradientenverfahren sogar noch schneller konvergiert. Eine weitere effiziente Methode zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme ist die Klasse der Quasi-Newton-Methoden, die flexible linkskonditionierte Gradientenverfahren darstellen. In diesem Zusammenhang wird eine Aktualisierungsformel für die Moore-Penrose-Inverse der durch die Broyden-Aktualisierung erhaltenen Jacobi-Approximationen für unterbestimmte Probleme entwickelt. Es wird ein halblokales Konvergenzergebnis für allgemeine Quasi-Newton-Verfahren bewiesen. Es werden hinreichende Bedingungen für die Konvergenz des Quasi-Newton-Verfahrens gegeben, das aus dem entwickelten neuen Aktualisierungsverfahren auf der Grundlage der Broyden-Aktualisierung resultiert. Diese Bedingungen werden auf den Kontext von quadratischen Datenanpassungsproblemen und das überwachte Training von flachen neuronalen Netzen übertragen. Ferner wird für die betrachteten regularisierten Probleme festgestellt, dass die durch das vorgeschlagene Quasi-Newton-Schema, das angewendet wird, um eine Nullstelle der regularisierten Restfunktionen zu finden, erhaltene Folge von Lösungen zu einer Lösung des ursprünglichen Problems konvergiert, wenn die Regularisierungsparameter auf Null sinken. Die Ergebnisse numerischer Experimente zu quadratischen Datenanpassungsproblemen, Eigenwertproblemen und überwachten Trainingsproblemen sind enthalten, um die theoretischen Erkenntnisse zu untermauern. Eine Beschreibung der Problemstellungen, der Spezifikationen der angewandten Algorithmen und des für die numerischen Experimente verwendeten Python-Programms ist ebenfalls enthalten.

An explicit Runge-Kutta discontinuous Galerkin (RKDG) method is used to device numerical schemes for both the compressible Euler equations of gas dynamics and the ideal magneto- hydrodynamical (MHD) model. These systems of conservation laws are known to have discontinuous solutions. Discontinuities are the source of spurious oscillations in the solution profile of the numerical approximation, when a high order accurate numerical method is used. Different techniques are reviewed in order to control spurious oscillations. A shock detection technique is shown to be useful in order to determine the regions where the spurious oscillations appear such that a Limiter can be used to eliminate these numeric artifacts. To guarantee the positivity of specific variables like the density and the pressure, a positivity preserving limiter is used. Furthermore, a numerical flux, proven to preserve the entropy stability of the semi-discrete DG scheme for the MHD system is used. Finally, the numerical schemes are implemented using the deal.II C++ libraries in the dflo code. The solution of common test cases show the capability of the method. / Ein explizite Runge-Kutta discontinous Galerkin (RKDG) Verfahren wird angewendet, um numerische Diskretisierungen, sowohl für die kompressiblen Eulergleichungen der Gasdynamik, als auch für die idealen Magnetohydrodynamik (MHD) Gleichungen zu entwickeln. Es ist bekannt, dass diese System von Erhaltungsgleichungen unstetige Lösungen besitzen. Unstetigkeiten sind die Quelle von störenden Oszillationen im Lösungsprofil der numerischen Näherung, wenn ein numerisches Verfahren von hoher Ordnung verwendet wird. Verschiedene Techniken werden miteinander verglichen um störende Oszillationen zu kontrollieren, die bei der Approximation von Unstetigkeiten in der Lösung auftreten. Ein Verfahren zur Lokalisierung von Schockwellen wird vorgestellt und es wird gezeigt, dass dieses Verfahren nützlich ist um Regionen, in denen störende Oszillationen auftreten, zu bestimmen, so dass ein Limiter verwendet werden kann um diese numerischen Artefakte zu eliminieren. Um die Positivität spezieller Variablen, wie die Dichte und den Druck, zu bewahren, wird ein spezieller „positivitätserhaltender“ Limiter verwendet. Des Weiteren wird ein numerischer Fluss, für den bewiesenermaßen das semi-diskrete DG Verfahren für das MHD System Entropie-Stabil ist, verwendet. Abschließend werden die numerischen Verfahren unter Verwendung der deal.II C++ Bibliotheken im dflo code implementiert. Simulationen bekannter Testbeispiele zeigen das Potential dieses numerischen Verfahrens.

Zugl.: Darmstadt, Techn. Universiẗat, Diss.

Im Rahmen der vorliegenden Untersuchungen wurde das zeitabhängige Strömungsfeld in einem Seitenkanalverdicher unter Verwendung der reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen für mehrere Kennlinienpunkte numerisch berechnet und mit den Ergebnissen bereits vorhandener Messungen verglichen. Es konnte gezeigt werden, dass es mit Hilfe des zeitabhängigen Berechnungsverfahrens möglich ist, die Kennlinie eines Seitenkanalverdichters (Massestrom als Funktion der Druckdifferenz) mit guter Genauigkeit zu berechnen. Hierbei zeigte sich, dass die Berechnungsergebnisse stark von der Wahl des verwendeten Turbulenzmodells abhängen. Weiterhin konnten tieffrequente Strömungszustände, die von akustischen Messungen her bekannt waren, in den Ergebnissen der Berechungen nachgewiesen werden.

In dieser numerischen Arbeit wurden Lamellenrohr-Wärmeübertrager mit ovalen, flachen und kreisförmigen Rohren in versetzter Anordnung untersucht. Dabei wurde die Strömungsgeschwindigkeit, der Lamellenabstand und die Rohrreihenzahl variiert und ihre Wirkung auf den Wärmeübergang und den Druckverlust beobachtet. Neben der globalen Auswertung wurden die lokalen Vorgänge untersucht und dargestellt. Es wurden Korrelationen für den Wärmeübergang und den Druckverlust auf der Grundlage der Verwendung der numerischen Ergebnisse aufgestellt.

Zur Umsetzung von Leichtbaukonzepten erlangen vor allem Magnesium-Knetlegierungen eine immer größere Bedeutung. Aufgrund deren eingeschränkter Umformeigenschaften bei Raumtemperatur kann die Formgebung allerdings nur bei erhöhten Temperaturen erfolgen. In der vorliegenden Arbeit wurde versucht, derzeit bestehende Wissensdefizite hinsichtlich der Auslegung von temperierten Tiefziehwerkzeugen abzubauen. Dabei standen neben der Gestaltung der thermischen Einbauten des Umformwerkzeuges auch Untersuchungen zu den Auswirkungen der beheizten Werkzeuge auf die Umformmaschine im Blickfeld. So wird z.B. geklärt, wie durch eine thermische Trennung von beheiztem Werkzeug und Umformmaschine ein störungsfreier Betriebsablauf des Umformprozesses sichergestellt werden kann. Einen weiteren Schwerpunkt der Arbeit bildeten Untersuchungen zur Kontakt-Wärmeübertragung zwischen Stahl und der Magnesiumlegierung MgAl3Zn1, um Aussagen zur erforderlichen Aufheizzeit des Magnesiumbleches möglich zu machen.

Gegenstand dieser Dissertation ist die numerische Untersuchung des ganzzahligen Quanten-Hall-Effekts (QHE). Im Mittelpunkt steht dabei der Übergang zwischen den charakteristischen Plateaus des Hall-Leitwertes. Die Beschreibung des Übergangs erfolgt im Rahmen des Chalker-Coddington-Netzwerkmodells, wobei zusätzlich ein Ortsraum-Renormierungsgruppenansatz (RG) angewendet wird um hohe Systemgrößen zu erreichen. Diese Vorgehensweise erlaubt eine einfache, aber statistisch sehr gute Beschreibung der starken charakteristischen Fluktuationen am Übergang im Rahmen von Verteilungsfunktionen. Die RG Resultate werden zunächst mit Ergebnissen anderer Methoden verglichen. Es werden die kritische Verteilungsfunktion des Leitwertes am QHE Übergang und deren Momente ermittelt. Aus dem Verhalten in der Nähe des Übergangs läßt sich der Wert des kritischen Exponenten der Lokalisierungslänge ableiten. Diese Ergebnisse stimmen sehr gut mit exakten numerischen Simulationen überein. Die RG Methode wird daraufhin zur Berechnung der Energieniveaustatistik (ENS) erweitert. Die kritische ENS der normierten Abstände von benachbarten Energieniveaus und der kritische Exponent werden bestimmt. Danach wird der Einfluß von makroskopischen Inhomogenitäten in Form von langreichweitiger korrelierter Unordnung auf die kritischen Eigenschaften des QHE Übergangs untersucht. Hierbei zeigt sich ein Anwachsen des Exponenten mit zunehmender Reichweite und Stärke der Unordnung. Abschließend wird die RG zur Berechnung des Hall-Widerstandes eingesetzt. Die kritische Verteilung des Hall-Widerstandes läßt auf sehr starke Fluktuationen am Übergang schließen. Abseits des Übergangs in Richtung Isolator wird divergentes Verhalten des Hall-Widerstandes gefunden. Zusammenfassend demonstrieren alle Ergebnisse die Robustheit universeller Eigenschaften am QHE Übergang.

Zugl.: München, Techn. Universiẗat, Diss., 2009.

Zugl.: Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2008