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Le travail présenté dans cette thèse a pour objectif d'apporter une contribution aux méthodes de commande et d'observation des machines asynchrones destinées à la traction électrique. Dans ce contexte, plusieurs algorithmes ont été développés et implémentés. Après une présentation rapide de la commande vectorielle classique, de nouvelles approches de commande non linéaire sont proposées : il s'agit plus précisément de la commande backstepping classique et sa variante avec action intégrale. Une deuxième partie est consacrée à l'observation et à l'estimation des paramètres et des états de la machine, basée sur des structures MRAS-modes glissants d'une part et sur des structures de filtrage synchrone d'autre part. Une analyse détaillée du problème de fonctionnement à basse vitesse nous a conduit à proposer une solution originale dans le cadre d'une commande sans capteur mécanique. Le problème de la dégradation du couple en survitesse a été traité par un algorithme de défluxage basé sur la conception d'un contrôleur de tension. Enfin, nous avons proposé un algorithme d'optimisation afin de minimiser les pertes dans l'ensemble Onduleur-Machine / The work presented in this thesis aims to contribute to the control and observation of the induction machines for electric traction. Several algorithms have been developed and implemented. After a fast presentation of the classical vector control, new approaches of non-linear control are proposed : the classical backstepping and integral backstepping. A second part deals with the observation and the estimation of parameters and states of the machine, based on MRAS-Sliding Mode structures on one hand and on synchronous filtering structures on the other hand. A detailed analysis of the operation at low speed led us to propose an original solution for a Sensorless control. The torque degradation in field weakening zone was treated by a voltage regulation controller. Finally, we proposed losses minimization algorithm for the Inverter-Machine set

Les textures directionnelles forment la classe particulière des images texturées représentant des hypersurfaces (lignes dermiques, fibres de matériaux, horizons sismiques, etc.). Pour ce type de textures, la reconstruction d'hypersurfaces permet ainsi d'en décrire la géométrie et la structure. À partir du calcul préalable du champ d'orientation, des reconstructions peuvent être obtenues au moyen de la minimisation d'une équation aux dérivées partielles sous contraintes, linéarisée et résolue itérativement de manière optimale dans le domaine de Fourier.Dans ce travail, les reconstructions d'hypersurfaces sont considérées comme un moyen de description à la fois amont et aval de la géométrie des textures directionnelles. Dans une démarche amont, la reconstruction de faisceaux locaux et denses d'hypersurfaces conduit à un modèle de transformation d'espace permettant de déplier localement la texture ou son champ de gradient et d'améliorer l'estimation du champ d'orientation par rapport au classique tenseur de structure. Dans une démarche aval, des reconstructions d'hypersurfaces effectuées sur des supports polygonaux quelconques, isolés ou imbriqués, permettent d'obtenir des reconstructions plus pertinentes que par les méthodes existantes. Les démarches proposées mettent en œuvre des chaînes de transformations d'espace conformes (transformation de Schwarz-Christoffel, de Möbius, etc.) afin de respecter les contraintes et d'accéder à des schémas de résolution rapide. / Directional textures are the particular class of textured images representing hypersurfaces (dermal lines, material fibers, seismic horizons, etc.). For this type of textures, the reconstruction of hypersurfaces describes their geometry and structure. From the preliminary estimation of the orientation field, reconstructions can be obtained by means of the minimization of a partial differential equation under constraints, linearized and iteratively resolved in the Fourier domain.In this work, the reconstructions of hypersurfaces are considered as means of description both upstream and downstream of the geometry of the directional textures. In an upstream approach, the reconstruction of local and dense streams of hypersurfaces leads to a spatial transformation model to locally unfold the texture or its gradient field and to improve the estimation of the orientation field compared with the classic tensor structure. In a downstream approach, reconstructions of hypersurfaces carried out on any polygonal supports, either isolated or imbricated, lead to more accurate reconstructions than existing methods. The proposed approaches implement chains of conformal space transformations (transformation of Schwarz-Christoffel, Möbius, etc.) in order to respect the constraints and to access fast PDE solution schemes.

Topological defects are distinguished objects in vector fields that occur in a wide range of applications, ranging from material sciences to cosmology to bio-medical imaging and fingerprint recognition. This thesis considers topological point defects, also known as singular points, of two-dimensional vector fields. Besides Euclidean vectors as representation of modulus and direction, this also includes nematic vectors that equally have a modulus but direction is replaced with a head-to-tail symmetric orientation. In both case, a singular point or topological defect is an isolated discontinuity in an otherwise continuous vector field. It is characterized by its index or topological charge, which attains integer values for polar and half-integer values for nematic vector fields. There are different yet equivalent approaches to define the index. They either base on homology groups and the Brouwer degree, or on the first fundamental group and the mapping degree, or relatedly on lifting of a loop path enclosing the singular point. The definition by lift used here translates changes in the vector field along a path into a summed change in orientation angle. This translates to topological defects in discretized vector fields, where topological charge is calculated as sum of finite angle differences along a loop path between discretization points. On closer inspection, this calculation is an estimation, and is guaranteed to yield the correct estimate only with additional assumptions, for example when the underlying continuous-domain vector field is smooth and sampled at sufficiently high spatial resolution. Otherwise, arbitrary locations and charges of topological defects are possible, which yield exactly the same discretized vectors by the periodicity of representative orientation angles. Besides, the estimated topological charge depends discontinuously on each of the discrete input vectors and exhibits discrete jumps. As application data typically is subject to noise and uncertainty, this raises the question how reliable are topological defects identified in it. The present thesis quantifies, how large perturbations of a vector field are admissible without alteration of topological defects and charges. To that end, it introduces a robustness measure for each edge in a discretization grid that are combined along loop paths. Replacing critical edges of minimal robustness within a loop path by other path segments around a minimally larger area allows targeted increase of robustness. This data-dependent method called expansion over the critical edge is iterated until a user-set robustness is satisfied. The final areas of this algorithm are shown to have minimal size and therefore maximal spatial resolution, which also adapts to the local quality of data. The areas are also given as the faces in the graph of sufficiently robust edges after deleting all vertices of degree 1 (leaves) and all their connected edges. The minimal robust areas turn out to be nested by inclusion according to their robustness threshold. This allows to tradeoff detection robustness of topological charges versus their localization accuracy, both within a selection of pre-defined loop path shapes, and for free data-dependent expansion over the critical edge. Differently from defect identification by pattern matching, there is no restriction on the charge detectable. Besides, the robustness is shown to detect the size of unordered cores of defects. Robust defect areas indicate possible defect dynamics comprising motion, defect pair generation and annihilation already from single time point data. The robustness is also applicable to irregular discretization grids thanks to its graph theoretic characterization, and an extension to curved surfaces is foreseeable. The robust data-dependent defect identification is exemplified on microscopy images of the fruit fly Drosophila melanogaster. During Dorsal Closure, a developmental process, a cell sheet called amnioserosa contracts in highly regulated manner, whereby forces are actively generated and propagated along filamentous proteins like actin. Thereby, activity level and visco-elastic properties of the tissue are linked to the topological defects in the actin orientation field. Robust detection of these reveals that the sum over robust charges is clearly positive in the hundreds, whereas the overall sum of charge without robustness consideration fluctuates around zero. Numerous charges are observed, but $\pm 1/2$ dominate and confirm the amnioserosa as nematic material despite polar molecular constituents like actin. The sizes of robust defects span three orders of magnitude, and the largest defects follow the shapes of biological cells. The size distribution decays by a power law with the power for positive defects being more negative. Time courses show slightly higher speed of motion for +1/2 defects than for -1/2 defects, an order of magnitude above material flow velocity. Experiments with a genetic modification in the protein Crumbs had shown excess contraction of the amnioserosa cell layer during development. Comparing defect velocity of these embryos to wildtype suggests that viscosity and rotational viscosity increase stronger than activity level. This hypothesis remains to be tested in a combination of experiments and simulations, yet it would not have been generated in the first place without consideration of robust defects. More generally, the presented robustness measure and optimal data-dependent identification of topological defects could benefit the analysis of defects in discretized vector fields in a variety of disciplines. The optimal data-dependent identification allows for example to calculate error distributions for charge and localization of defects. The size, shape, and nested inclusion of robust defects constitute new observables, that generate numerous follow-up questions already for the fruit fly and enable novel analyses.:1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Application fields of topological defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Challenges of noisy, discretized vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Thesis contribution and outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Polar and nematic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Isomorphism between polar and nematic vectors in two dimensions . 9 2.2 Homotopy, and (universal) covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Homotopies and the degree of mappings in the sense of homotopies . 19 2.2.2 Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Defect identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Index and topological charge in continuous domains . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Definition of topological charge by lift . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Differential expressions for topological charge . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Topological charge in discrete domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Correct discretization by sufficiently fine discretization . . . . . . . . 53 3.3 Topological charge estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Comparison: defect identification by loop paths . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1 ... equals fixed-size stencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2 ... equals convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 ... resembles “diffusive topological charge” . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.4 ... does not improve by larger stencil size . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.5 ... is linked to local maxima of azimuthal change . . . . . . . . . . . 68 3.4.6 ... differs from nematic order parameter thresholds . . . . . . . . . . 68 3.4.7 ... differs from matching with template patterns . . . . . . . . . . . 70 3.4.8 ... extends to irregular and unstructured data . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Discontinuous dependence of defects on discretized vector fields . . . . . . . 72 4 Robustness of defect identification and topological charge estimation in discrete domains . . . 75 4.1 Robustness between two discretization points . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Robustness of a discrete loop path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Magnitude-aware robustness for non-normalized vector fields . . . . . . . . 102 4.4 Robustness for fixed path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1 Robustness of fixed-shape identification for noise-free defects . . . . 117 4.4.2 Robustness of fixed-shape identification for noisy defects . . . . . . . 120 4.5 Data-dependent path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.1 Expansion over the critical edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.2 Graph-theoretic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.4 Detection of defect core size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.5 Estimation of defect motion from still images . . . . . . . . . . . . . 143 4.5.6 Estimation of defect pair annihilation and generation, respectively, from still images . . . 145 4.5.7 Application to irregular grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.6 Comparison of defect identification methods from a robustness point of view 148 4.7 Extensions of the robustness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.7.1 ... to two-dimensional manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.7.2 ... to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Application to Dorsal Closure in Drosophila embryos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Dorsal Closure in the fruit fly Drosophila melanogaster . . . . . . . . . . . . 164 5.1.1 Cytoskeleton, motor proteins, and cell junctions . . . . . . . . . . . 164 5.1.2 Active gel models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1.3 Image acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1.4 Orientation estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2 Topological charge analysis by robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Robustness threshold of edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Sizes of robust areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.3 Total topological charge in the field of view . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.4 Sum of robust charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.3 Further observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 Comparison of robust defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4.1 ... to microscopic defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4.2 ... to image preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Towards parameter estimation from defect dynamics . . . . . . . . . . . . . 202 5.5.1 The amnioserosa as an active nematic material . . . . . . . . . . . . 202 5.5.2 Defect tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.3 Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6 Conclusions and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 / Topologische Defekte sind abgegrenzte Objekte in Vektorfeldern, die in einer großen Bandbreite von Anwendungsfeldern auftreten. Diese reichen von den Materialwissenschaften über Kosmologie und bio-medizinische Bildgebung bis zur Erkennung von Fingerabdrücken. Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit topologischen Punkt-Defekten, auch bekannt als singuläre Punkte, in zwei-dimensionalen Vektorfeldern. Neben Euklidischen Vektoren als Darstellung von Betrag und Richtung umfasst das auch nematische Vektoren, die genauso einen Betrag haben, aber deren Richtungsinformation symmetrisch zwischen “vorn” und “hinten” ist. In beiden Fällen ist ein singulärer Punkt oder topologischer Defekt als isolierte Unstetigkeit in einem ansonsten stetigen Vektorfeld definiert. Er wird durch seinen Index oder die topologische Ladung charakterisiert, die ganzzahlige Werte für polare Felder annimmt, und halb-zahlige in nematischen Feldern. Es gibt verschiedene, jedoch äquivalente Weisen, den Index zu definieren. Sie basieren entweder auf Homologiegruppen und dem Brouwer'schen Abbildungsgrad, oder auf der Fundamentalgruppe und deren Abbildungsgrad, oder damit verbunden auf der Hochhebung eines geschlossenen Pfades um den singulären Punkt. Hier wird die Definition mittels Hochhebung verwendet, welche die Änderung des Vektorfeldes entlang eines Pfades in eine summierte Änderung des Orientierungswinkels übersetzt. Dies überträgt sich zu diskretisierten Vektorfeldern, wo die topologische Ladung als Summe über endliche Winkeldifferenzen entlang eines Pfades zwischen Diskretisierungspunkten berechnet wird. Diese Berechungsweise ist bei genauer Betrachtung eine Schätzung, und ihre Korrektheit nur unter zusätzlichen Bedingungen garantiert, zum Beispiel wenn ein zugrundeliegendes Vektorfeld mit kontinuierlichem Definitionsbereich glatt ist und mit hinreichender räumlicher Auflösung abgetastet wurde. Aufgrund der periodischen Darstellung jedes Vektors durch Orientierungswinkel sind andernfalls beliebige Positionen und Ladungen von topologischen Defekten möglich, die zu exakt den gleichen diskretisierten Vektoren führen. Außerdem hängt der Schätzwert der topologischen Ladung nicht kontinuierlich von jedem einzelnen der diskreten Vektoren ab, sondern weist diskrete Sprünge auf. Da Anwendungsdaten meist mit Messunsicherheiten behaftet oder verrauscht sind, steht die Frage, wie verlässlich die darin identifizierten Defekte sind. Die vorliegende Dissertation quantifiziert, wie groß die Störungen eines Vektorfeldes sein dürfen, ohne dass sich topologische Defekte und Ladungen ändern. Dafür wird ein Robustheitsmaß eingeführt, zunächst für jede Kante in einem Diskretisierungsgitter, und darauf basierend für Pfade. Das ermöglicht, die Robustheit der Defekt-Identifizierung gezielt zu erhöhen: Kritische Kanten mit der kleinsten Robustheit innerhalb eines Pfades werden durch andere Pfadstücke ersetzt, die eine minimal größere Fläche begrenzen. Diese datenabhängige “Erweiterung über die kritische Kante” (expansion over the critical edge) wird wiederholt, bis eine benutzerdefinierte Robustheit erreicht ist. Es wird gezeigt, dass die finalen Flächen dieses iterativen Algorithmus minimale Größe und damit höchste räumliche Auflösung haben, die sich zudem lokal an die Qualität der Daten anpasst. Die Flächen ergeben sich auch aus dem Graphen aller hinreichend robusten Kanten durch Löschen aller Knoten vom Grad 1 (Blätter) und der damit verbundenen Kanten. Es stellt sich damit heraus, dass die minimalen robusten Flächen je nach Robustheitsgrenze per Inklusion verkettet sind. Das erlaubt, die Robustheit für die Identifizierung topologischer Ladungen gegen die räumliche Genauigkeit abzuwägen, sowohl innerhalb von vorgegebenen Pfadformen, als auch für die freie, datenabhängige Erweiterung über die kritische Kante. Dabei gibt es — anders als bei Methoden der Defekt-Identifizierung mittels Muster-Erkennung — keine Beschränkung für die detektierbare Ladung. Außerdem wird gezeigt, dass man mit dem Robustheitsmaß die Größe von ungeordneten Kernen der Defekte bestimmen kann. Sogar die mögliche Dynamik von Defekten mit Bewegung, Paarbildung und -auslöschung wird aus den robusten Flächen eines einzelnen Zeitpunktes erkennbar. Die graphentheoretische Darstellung erlaubt dabei auch die Anwendung auf unstrukturierten Diskretisierungsgitter, und eine Erweiterung auf gekrümmte Flächen ist absehbar. Die robuste, datenabhängige Identifizierung von Defekten wird exemplarisch auf Mikroskopie-Bilder der Fruchtfliege Drosophila melanogaster angewendet. Während der Dorsal Closure, einem Entwicklungsprozess, zieht sich eine Zellschicht namens Amnioserosa auf genau regulierte Weise zusammen, wobei die wirkenden Kräfte entlang von Filamenten wie Aktin aktiv erzeugt und übertragen werden. Dabei sind der Aktivitätsgrad und viskoelastische Eigenschaften des Gewebes mit den topologischen Defekten im Orientierungsfeld des Aktins verknüpft. Deren robuste Identifizierung zeigt, dass die Summe der robusten Ladungen eindeutig positiv ist mit dreistelligen Werten, während die Gesamtladung ohne Beachtung der Robustheit um Null schwankt. Es werden zahlreiche Ladungen beobachtet; aber $\pm 1/2$ dominieren und bestätigen die Amnioserosa als nematisches Material, obwohl die molekularen Bestandteile wie Aktin polar sind. Die Größen von robusten Defekten umfassen drei Zehnerpotenzen, und die größten Defekte folgen der Form biologischer Zellen. Die Größenverteilung fällt nach einem Potenzgesetz ab, mit stärkerer negativer Potenz für positive Defekte. Zeitreihen zeigen geringfügig höhere Geschwindigkeit von +1/2 Defekten als von -1/2 Defekten, und deutlich über der Geschwindigkeit des Materialflusses. In Experimenten mit Modifikation im Gen des Proteins Crumbs wurde beobachtet, dass sich die Zellschicht der Amnioserosa in der Entwicklung übermäßig zusammenzieht. Ein Vergleich der Defektgeschwindigkeiten zwischen diesen Embryonen und Wildtyp führt zu der Hypothese, dass die Mutation die Viskosität und die Rotationsviskosität stärker steigen lässt als den Aktivitätsgrad. Diese Hypothese muss jedoch noch durch eine Kombination von Experimenten und Simulationen überprüft werden. Sie wäre aber ohne die Betrachtung von robusten Defekten gar nicht erst möglich gewesen. Das vorgestellte Robustheitsmaß könnte allgemein für vielfältige Disziplinen bei der Analyse topologischer Defekte in diskretisierten Vektorfeldern nützen. Auf Basis der optimalen datenabhängige Identifizierung kann zum Beispiele eine Fehlerrechnung für die Ladung und Lage von Defekten durchgeführt werden. Die Größen, Formen und Inklusionsketten von robusten Defekten bilden interessante neue Beobachtungsgrößen, die allein im Fall der Fruchtfliege zahlreiche weiterführende Fragen aufwerfen und bisher unbekannte Untersuchungen ermöglichen.:1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Application fields of topological defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Challenges of noisy, discretized vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Thesis contribution and outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Polar and nematic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Isomorphism between polar and nematic vectors in two dimensions . 9 2.2 Homotopy, and (universal) covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Homotopies and the degree of mappings in the sense of homotopies . 19 2.2.2 Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Defect identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Index and topological charge in continuous domains . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Definition of topological charge by lift . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Differential expressions for topological charge . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Topological charge in discrete domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Correct discretization by sufficiently fine discretization . . . . . . . . 53 3.3 Topological charge estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Comparison: defect identification by loop paths . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1 ... equals fixed-size stencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2 ... equals convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 ... resembles “diffusive topological charge” . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.4 ... does not improve by larger stencil size . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.5 ... is linked to local maxima of azimuthal change . . . . . . . . . . . 68 3.4.6 ... differs from nematic order parameter thresholds . . . . . . . . . . 68 3.4.7 ... differs from matching with template patterns . . . . . . . . . . . 70 3.4.8 ... extends to irregular and unstructured data . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Discontinuous dependence of defects on discretized vector fields . . . . . . . 72 4 Robustness of defect identification and topological charge estimation in discrete domains . . . 75 4.1 Robustness between two discretization points . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Robustness of a discrete loop path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Magnitude-aware robustness for non-normalized vector fields . . . . . . . . 102 4.4 Robustness for fixed path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1 Robustness of fixed-shape identification for noise-free defects . . . . 117 4.4.2 Robustness of fixed-shape identification for noisy defects . . . . . . . 120 4.5 Data-dependent path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.1 Expansion over the critical edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.2 Graph-theoretic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.4 Detection of defect core size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.5 Estimation of defect motion from still images . . . . . . . . . . . . . 143 4.5.6 Estimation of defect pair annihilation and generation, respectively, from still images . . . 145 4.5.7 Application to irregular grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.6 Comparison of defect identification methods from a robustness point of view 148 4.7 Extensions of the robustness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.7.1 ... to two-dimensional manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.7.2 ... to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Application to Dorsal Closure in Drosophila embryos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Dorsal Closure in the fruit fly Drosophila melanogaster . . . . . . . . . . . . 164 5.1.1 Cytoskeleton, motor proteins, and cell junctions . . . . . . . . . . . 164 5.1.2 Active gel models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1.3 Image acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1.4 Orientation estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2 Topological charge analysis by robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Robustness threshold of edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Sizes of robust areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.3 Total topological charge in the field of view . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.4 Sum of robust charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.3 Further observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 Comparison of robust defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4.1 ... to microscopic defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4.2 ... to image preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Towards parameter estimation from defect dynamics . . . . . . . . . . . . . 202 5.5.1 The amnioserosa as an active nematic material . . . . . . . . . . . . 202 5.5.2 Defect tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.3 Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6 Conclusions and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235