This paper presents the theory of Secondary Representation of modules over a commutative ring and their Attached Primes; introduced in 1973 by I. MacDonald as a dual to the important theory of associated primes and primary decomposition in commutative algebra. The paper explores many of the basic aspects of the theory of primary decomposition and associated primes of modules in the hopes to delineate and motivate the construction of a secondary representation, when possible. The thesis discusses the results of the uniqueness of representable modules and their attached primes, and, in particular, the existence of a secondary representation for Artinian modules. It concludes with some interesting examples of both secondary and representable modules, highlighting the consequences of the results thus established.

In this thesis, we introduce the notion of quadratic forms and provide motivation for their study. We begin by discussing Diophantine equations, the field of p-adic numbers, and the Hasse-Minkowski Theorem that allows us to use p-adic analysis determine whether a quadratic form has a rational root. We then discuss search bounds and state Cassels' Theorem for small-height zeros of rational quadratic forms. We end with a proof of Cassels' Theorem and suggestions for further reading.

No description available.

Thesis (M.A.)--State University of New York at Binghamton, Department of Mathematical Sciences, 2009. / Includes bibliographical references.

Thesis (Ph. D.)--Ohio State University, 2005. / Title from first page of PDF file. Includes bibliographical references (p. 253-255).

Nous étudions les représentations complexes, induites par l'induction parabolique, du groupe U(5), défini sur un corps local non-archimedean de caractéristique 0. C'est Qp ou une extension finie de Qp .On parle des 'corps p-adiques'. Soit F un corps p-adique. Soit E : F une extension de corps de degré 2. Soit Gal(E : F ) = {id, σ}le groupe de Galois. On écrit σ(x) = overline{x} forall x ∈ E. Soit | |p la norme p-adique de E. Soient E* = E {0} et E 1 = {x ∈ E | xoverline{x}= 1} .U (5) a trois sous-groupes paraboliques propres. Soit P0 le sous-groupe parabolique minimal et soientP1 et P2 les deux sous-groupes paraboliques maximaux. Soient M0 , M1 et M2 les sous-groupes de Levi standards et soient N0 , N1 et N2 des sous-groupes unipotents de U (5). On a la décomposition de Levi Pi = Mi Ni , i ∈{0, 1, 2} .M0 = E* × E* × E 1 est le sous-groupe de Levi minimal, M1 = GL(2, E) × E 1 et M2 = E* × U(3) sont les sous-groupes de Levi maximaux.On considère les représentations des sous-groupes de Levi, et on les étend trivialement au sous-groupes unipotents pour obtenir des représentations des sous-groupes paraboliques. On exécute une procédure appelée 'l'induction parabolique' pour obtenir les représentations de U (5). Nous considérons les représentations de M0 , puis les représentations non-cuspidales, induites à partir de M1 et M2 . Cela veut dire que la représentation du facteur GL(2, E) de M1 est un sous-quotient propre d'une représentation induite de E* × E* à GL(2, E). La représentation du facteur U (3) de M2 est un sous-quotient propre d'une représentation induite de E* × E 1 à U(3). Un exemple pour M1 est | det |α χ(det) StGL2 * λ' , où α ∈ R, χ est un caractère unitaire de E* , StGL2 est la représentation Steinberg de GL(2, E) et λ' est un caractère de E 1 . Un exemple pour M2 est| |α χ λ (det) StU (3) , où α ∈ R, χ est un caractère unitaire de E* , λ' est un caractère unitaire de E 1et StU (3) est la représentation Steinberg de U(3). On remarque que λ' est unitaire.Ensuite on considère les représentations cuspidales de M1 .On détermine les droites et les points de réductibilité des représentations de U(5) et on détermine les sous-quotients irréductibles. Ensuite, sauf quelque cas particuliers, on détermine le dual unitaire de U(5)par rapport au quotients de Langlands. Les représentations complexes, paraboliquement induites, de U(3) sur un corps p-adique sont classifiées par Charles David Keys dans [Key84], les représentations complexes, paraboliquement induites, de U(4)sur un corps p-adique sont classifiées par Kazuko Konno dans [Kon01]. / We study the parabolically induced complex representations of the unitary group in 5 variables - U(5)- defined over a non-archimedean local field of characteristic 0. This is Qp or a finite extension of Qp ,where p is a prime number. We speak of a 'p-adic field'.Let F be a p-adic field. Let E : F be a field extension of degree two. Let Gal(E : F ) = {id, σ}. We write σ(x) = overline{x} forall x ∈ E. Let | |p denote the p-adic norm on E. Let E* := E {0} and let E 1 := {x ∈ E | x overline{x} = 1} .U(5) has three proper parabolic subgroups. Let P0 denote the minimal parabolic subgroup and P1 andP2 the two maximal parabolic subgroups. Let M0 , M1 and M2 denote the standard Levi subgroups and let N0 , N1and N2 denote unipotent subgroups of U(5). One has the Levi decomposition Pi = Mi Ni , i ∈ {0, 1, 2} .M0 = E* × E* × E 1 is the minimal Levi subgroup, M1 = GL(2, E) × E 1 and M2 = E* × U (3) are the two maximal parabolic subgroups.We consider representations of the Levi subgroups and extend them trivially to the unipotent subgroups toobtain representations of the parabolic groups. One now performs a procedure called 'parabolic induction'to obtain representations of U (5).We consider representations of M0 , further we consider non-cuspidal, not fully-induced representationsof M1 and M2 . For M1 this means that the representation of the GL(2, E)− part is a proper subquotientof a representation induced from E* × E* to GL(2, E). For M2 this means that the representation of theU (3)− part of M2 is a proper subquotient of a representation induced from E* × E 1 to U (3).As an example for M1 , take | det |α χ(det) StGL2 * λ' , where α ∈ R, χ is a unitary character of E* , StGL2 is the Steinberg representation of GL(2, E) and λ' is a character of E 1 . As an example forM2 , take | |α χ λ' (det) StU (3) , where α ∈ R, χ is a unitary character of E* , λ' is a character of E 1 andStU (3) is the Steinberg representation of U (3). Note that λ' is unitary.Further we consider the cuspidal representations of M1 .We determine the points and lines of reducibility of the representations of U(5), and we determinethe irreducible subquotients. Further, except several particular cases, we determine the unitary dual ofU(5) in terms of Langlands-quotients.The parabolically induced complex representations of U(3) over a p-adic field have been classied byCharles David Keys in [Key84], the parabolically induced complex representations of U(4) over a p-adicfield have been classied by Kazuko Konno in [Kon01].An aim of further study is the classication of the induced complex representations of unitary groupsof higher rank, like U (6) or U (7). The structure of the Levi subgroups of U (6) resembles the structureof the Levi subgroups of U (4), the structure of the Levi groups of U (7) resembles those of U (3) and ofU (5).Another aim is the classication of the parabolically induced complex representatioins of U (n) over ap-adic field for arbitrary n. Especially one would like to determine the irreducible unitary representations.

abstract: In 1984, Sinnott used $p$-adic measures on $\mathbb{Z}_p$ to give a new proof of the Ferrero-Washington Theorem for abelian number fields by realizing $p$-adic $L$-functions as (essentially) the $Gamma$-transform of certain $p$-adic rational function measures. Shortly afterward, Gillard and Schneps independently adapted Sinnott's techniques to the case of $p$-adic $L$-functions associated to elliptic curves with complex multiplication (CM) by realizing these $p$-adic $L$-functions as $Gamma$-transforms of certain $p$-adic rational function measures. The results in the CM case give the vanishing of the Iwasawa $mu$-invariant for certain $mathbb{Z}_p$-extensions of imaginary quadratic fields constructed from torsion points of CM elliptic curves. In this thesis, I develop the theory of $p$-adic measures on $mathbb{Z}_p^d$, with particular interest given to the case of $d>1$. Although I introduce these measures within the context of $p$-adic integration, this study includes a strong emphasis on the interpretation of $p$-adic measures as $p$-adic power series. With this dual perspective, I describe $p$-adic analytic operations as maps on power series; the most important of these operations is the multivariate $Gamma$-transform on $p$-adic measures. This thesis gives new significance to product measures, and in particular to the use of product measures to construct measures on $mathbb{Z}_p^2$ from measures on $mathbb{Z}_p$. I introduce a subring of pseudo-polynomial measures on $mathbb{Z}_p^2$ which is closed under the standard operations on measures, including the $Gamma$-transform. I obtain results on the Iwasawa-invariants of such pseudo-polynomial measures, and use these results to deduce certain continuity results for the $Gamma$-transform. As an application, I establish the vanishing of the Iwasawa $mu$-invariant of Yager's two-variable $p$-adic $L$-function from measure theoretic considerations. / Dissertation/Thesis / Doctoral Dissertation Mathematics 2015

Soit F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] une forme décomposable, c’est-à-dire un polynôme homogène de degré d qui peut être factorisé en formes linéaires sur C. Notons NF (m) le nombre de solutions entières à l’inégalité |F(x)| ≤ m et VF (m) le volume de l’ensemble {x ∈ Rn :|F(x)| ≤ m}. En 2001, Thunder [19] a prouvé une conjecture de W.M. Schmidt, énonçant que, sous des conditions de finitude appropriées, on a NF (m) << m n/d où la constante implicite ne dépend que de n et d. En outre, il a montré une formule asymptotique NF (m) = m n/d V (F) + OF (m n/(d+n−2)) où, cependant, la constante implicite dépend de F. Dans des articles ultérieurs, la préoccupation de Thunder était d’obtenir une formule asymptotique similaire, mais avec la borne supérieure du terme d’erreur |NF (m) −m n/dV (F)| ne dépendant que de n et d. Dans [20] et [22], il a réussi à prouver que si gcd(n, d) = 1, la constante implicite dans le terme d’erreur peut en effet être fonction uniquement de n et d. L’objectif principal de cette thèse est d’étendre les résultats de Thunder au cadre p-adique. `A savoir, nous sommes intéressés par les solutions à l’inégalité |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m en x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn avec gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.9) où p1, . . . , pr sont des nombres premiers distincts et |·|p désigne la valeur absolue p-adique habituelle. Le chapitre 1 est consacré au cadre p-adique de ce problème et aux preuves des lemmes auxiliaires. Le chapitre 2 est consacré à l’extension des résultats de Thunder de [19]. Dans le chapitre 3, nous montrons l’effectivité de la condition sous laquelle le nombre de solutions de (5.4.9) est fini. Le chapitre 4 et le chapitre 5 généralisent les résultats de Thunder dans [20], [21] et [22]. / Let F ∈ Z[X1, . . . ,Xn] be a decomposable form, that is, a homogeneous polynomial of degree d which can be factored into linear forms over C. Denote by NF (m) the number of integer solutions to the inequality |F(x)| ≤ m and by VF (m) the volume of the set{x ∈ Rn : |F(x)| ≤ m}. In 2001, Thunder [19] proved a conjecture of W.M. Schmidt, stating that, under suitable finiteness conditions, one has NF (m) << mn/d where the implicit constant depends only on n and d. Further, he showed an asymptotic formula NF (m) = mn/dV (F) + OF (mn/(d+n−2)) where, however, the implicit constant depends on F. In subsequent papers, Thunder’s concern was to obtain a similar asymptotic formula, but with the upper bound of the error term |NF (m)−mn/dV (F)| depending only on n and d. In [20] and [22], hemanaged to prove that if gcd(n, d) = 1, the implicit constant in the error term can indeed be made depending only on n and d.The main objective of this thesis is to extend Thunder’s results to the p-adic setting. Namely, we are interested in solutions to the inequality |F(x)| · |F(x)|p1 . . . |F(x)|pr ≤ m in x = (x1, x2, . . . ,xn) ∈ Zn with gcd(x1, x2, . . . ,xn, p1 · · · pr) = 1. (5.4.3)where p1, . . . , pr are distinct primes and | · |p denotes the usual p-adic absolute value.Chapter 1 is devoted to the p-adic set-up of this problem and to the proofs of the auxiliary lemmas. Chapter 2 is devoted to extending Thunder’s results from [19]. In chapter 3, we show the effectivity of the condition under which the number of solutions of (5.4.3) is finite. Chapter 4 and chapter 5 generalize Thunder’s results from [20], [21] and [22].

Cette thèse traite de deux problèmes dans le cadre du programme de Langlands. Pour le premier problème, dans la situation de $\GL_2 $ et un cocaractère non minuscule, nous fournissons un contre-exemple (sous certaines hypothèses naturelles) à la conjecture de Rapoport-Zink, communiquée par Laurent Fargues. Le deuxième problème concerne un résultat dans le programme de Langlands $p$-adique. Soit $A$ une algèbre $\qp$-affinoïde, au sens de Tate. Nous développons une théorie d'un espace localement convexe en $A$-modules parallèle au traitement dans le cas d'un corps par Schneider et Teitelbaum. Nous montrons qu'il existe une application d'intégration liant une catégorie de représentations localement analytiques en $A$ -modules et des modules de distribution séparés relatif. Il existe une théorie de cohomologie localement analytique pour ces objets et une version du Lemme de Shapiro. Dans le cas d'un corps, ceci a été substantiellement développé par Kohlhaase. Comme une application, nous proposons une correspondance de Langlands $p$-adique en families: Pour un $(\varphi, \Gamma)$-module trianguline et régulière de dimension 2 sur l'anneau de Robba relatif $\Robba_A$ nous construisons une $\GL_2(\qp)$-représentation localement analytique en $A$-modules. Il s'agit d'un travail en commun avec Joaquin Rodrigues. / This thesis deals with two problems within the Langlands program. For the first problem, in the situation of $\GL_2$ and a non-minuscule cocharacter, we provide a counter-example (under some natural assumptions) to the Rapoport-Zink conjecture, communicated to us by Laurent Fargues.The second problem deals with a result in the $p$-adic Langlands program. Let $A$ be a $\qp$-affinoid algebra, in the sense of Tate. We develop a theory of locally convex $A$-modules parallel to the treatment in the case of a field by Schneider and Teitelbaum. We prove that there is an integration map linking a category of locally analytic representations in $A$-modules and separately continuous relative distribution modules. There is a suitable theory of locally analytic cohomology for these objects and a version of Shapiro's Lemma. In the case of a field this has been substantially developed by Kohlhaase. As an application we propose a $p$-adic Langlands correspondence in families: For a regular trianguline $(\varphi,\Gamma)$-module of dimension 2 over the relative Robba ring $\Robba_A$ we construct a locally analytic $\GL_2(\qp)$-representation in $A$-modules. This is joint work with Joaquin Rodrigues.

Un outil clé dans la théorie des représentations p-adiques est l'algèbre d'Iwasawa, construit par Iwasawa pour étudier les nombres de classes d'une tour de corps de nombres. Pour un nombre premier p, l'algèbre d'Iwasawa d'un groupe de Lie p-adique G, est l'algèbre de groupe G complétée non-commutative. C'est aussi l'algèbre des mesures p-adiques sur G. Les objets provenant de groupes semi-simples, simplement connectés ont des présentations explicites comme la présentation par Serre des algèbres semi-simples et la présentation de groupe de Chevalley par Steinberg. Dans la partie I, nous donnons une description explicite des certaines algèbres d'Iwasawa. Nous trouvons une présentation explicite (par générateurs et relations) de l'algèbre d'Iwasawa pour le sous-groupe de congruence principal de tout groupe de Chevalley semi-simple, scindé et simplement connexe sur Z_p. Nous étendons également la méthode pour l'algèbre d'Iwasawa du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p). Motivé par le changement de base entre les algèbres d'Iwasawa sur une extension de Q_p nous étudions les représentations p-adiques globalement analytiques au sens d'Emerton. Nous fournissons également des résultats concernant la représentation de série principale globalement analytique sous l'action du sous-groupe pro-p Iwahori de GL (n, Z_p) et déterminons la condition d'irréductibilité. Dans la partie II, nous faisons des expériences numériques en utilisant SAGE pour confirmer heuristiquement la conjecture de Greenberg sur la p-rationalité affirmant l'existence de corps de nombres "p-rationnels" ayant des groupes de Galois (Z/2Z)^t. Les corps p-rationnels sont des corps de nombres algébriques dont la cohomologie galoisienne est particulièrement simple. Ils sont utilisés pour construire des représentations galoisiennes ayant des images ouvertes. En généralisant le travail de Greenberg, nous construisons de nouvelles représentations galoisiennes du groupe de Galois absolu de Q ayant des images ouvertes dans des groupes réductifs sur Z_p (ex GL (n, Z_p), SL (n, Z_p ), SO (n, Z_p), Sp (2n, Z_p)). Nous prouvons des résultats qui montrent l'existence d'extensions de Lie p-adiques de Q où le groupe de Galois correspond à une certaine algèbre de Lie p-adique (par exemple sl(n), so(n), sp(2n)). Cela répond au problème classique de Galois inverse pour l'algèbre de Lie simple p-adique. / A key tool in p-adic representation theory is the Iwasawa algebra, originally constructed by Iwasawa in 1960's to study the class groups of number fields. Since then, it appeared in varied settings such as Lazard's work on p-adic Lie groups and Fontaine's work on local Galois representations. For a prime p, the Iwasawa algebra of a p-adic Lie group G, is a non-commutative completed group algebra of G which is also the algebra of p-adic measures on G. It is a general principle that objects coming from semi-simple, simply connected (split) groups have explicit presentations like Serre's presentation of semi-simple algebras and Steinberg's presentation of Chevalley groups as noticed by Clozel. In Part I, we lay the foundation by giving an explicit description of certain Iwasawa algebras. We first find an explicit presentation (by generators and relations) of the Iwasawa algebra for the principal congruence subgroup of any semi-simple, simply connected Chevalley group over Z_p. Furthermore, we extend the method to give a set of generators and relations for the Iwasawa algebra of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p). The base change map between the Iwasawa algebras over an extension of Q_p motivates us to study the globally analytic p-adic representations following Emerton's work. We also provide results concerning the globally analytic induced principal series representation under the action of the pro-p Iwahori subgroup of GL(n,Z_p) and determine its condition of irreducibility. In Part II, we do numerical experiments using a computer algebra system SAGE which give heuristic support to Greenberg's p-rationality conjecture affirming the existence of "p-rational" number fields with Galois groups (Z/2Z)^t. The p-rational fields are algebraic number fields whose Galois cohomology is particularly simple and they offer ways of constructing Galois representations with big open images. We go beyond Greenberg's work and construct new Galois representations of the absolute Galois group of Q with big open images in reductive groups over Z_p (ex. GL(n, Z_p), SL(n, Z_p), SO(n, Z_p), Sp(2n, Z_p)). We are proving results which show the existence of p-adic Lie extensions of Q where the Galois group corresponds to a certain specific p-adic Lie algebra (ex. sl(n), so(n), sp(2n)). This relates our work with a more general and classical inverse Galois problem for p-adic Lie extensions.