In this thesis, we extend results of Emerald Stacy to compute an upper bound on the minimal height of a totally p-adic algebraic integer of degree 4 independent of p. We also compute actual values of the minimal height of a totally p-adic algebraic integer of degree 4 for small primes p.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第18049号 / 理博第3927号 / 新制||理||1566(附属図書館) / 30907 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 望月 新一, 教授 玉川 安騎男, 講師 星 裕一郎 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DGAM

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第20151号 / 理博第4236号 / 新制||理||1609(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 伊藤 哲史, 教授 池田 保, 教授 雪江 明彦 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

<p>Let p be a prime number and F be a finite extension of Q_p. We established an algorithm to compute the semisimplification of the reduction of some irreducible two dimensional crystalline representations with two parameter {h,a_p} when v_p(a_p) is large enough. We improve the known results when p|h. We also extend the algorithm to the two dimensional semistable and non-crystalline representation. We compute the semi-simplification of the reduction when v_p(L) large enough and p=2. These results solve the difficulties with the case p=2. The strategies are based on the study of the Kisin modules over O_F and Breuil modules over S_F. By the theory of Breuil and Theorem of Colmez-Fontaine, these modules are closely related to semistable representations.</p>

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<p dir="ltr">Let k be a perfect field of characteristic p > 2. We extend the equivalence of categories between Fontaine-Laffaille modules and Z_p lattices inside crystalline representations with Hodge-Tate weights at most p-2 of Fontaine to the situation where the base ring is the power series ring in d variables over the ring of Witt vectors of k. </p>

Let X be an Atkin-Lehner quotient of the modular curve X_0(N) whose Jacobian J_f is a simple quotient of J_0(N)^{new} over Q. We give analytic methods for determining the rational points of X using quadratic Chabauty by explicitly computing two p-adic Gross--Zagier formulas for the newform f of level N and weight 2 associated with J_f when f has analytic rank 1. Combining results of Gross-Zagier and Waldspurger, one knows that for certain imaginary quadratic fields K, there exists a Heegner divisor in J_0(N)(K) whose image is finite index in J_f(Q) under the action of Hecke. We give an algorithm to compute the special value of the anticyclotomic p-adic L-function of f constructed by Bertolini, Darmon, and Prasanna, assuming some hypotheses on the prime p and on K. This value is proportional to the logarithm of the Heegner divisor on J_f with respect to the differential form f dq/q. We also compute the p-adic height of the Heegner divisor on J_f using a p-adic Gross-Zagier formula of Perrin-Riou. Additionally, we give algorithms for the geometric quadratic Chabauty method of Edixhoven and Lido. Our algorithms describe how to translate their algebro-geometric method into calculations involving Coleman-Gross heights, logarithms, and divisor arithmetic. We achieve this by leveraging a map from the Poincaré biextension to the trivial biextension.

no / Inverse limits and profinite groups are used in a quantum mechanical context. Two cases are considered: a quantum system with positions in the profinite group Z(p) and momenta in the group Q(p)/Z(p), and a quantum system with positions in the profinite group (Z) over cap and momenta in the group Q/Z. The corresponding Schwatz-Bruhat spaces of wavefunctions and the Heisenberg-Weyl groups are discussed. The sets of subsystems of these systems are studied from the point of view of partial order theory. It is shown that they are directed-complete partial orders. It is also shown that they are topological spaces with T-0-topologies, and this is used to define continuity of various physical quantities. The physical meaning of profinite groups, non-Archimedean metrics, partial orders and T-0-topologies, in a quantum mechanical context, is discussed.

Cette thèse est une contribution à l'étude des représentations p-adiques (c'est-à-dire continues unitaires sur des espaces de Banach p-adiques) et modulo p (c'est-à-dire lisses sur un corps fini de caractéristique p) d'un groupe réductif p-adique déployé G.Nous déterminons les extensions entre séries principales p-adiques et modulo p de G Pour cela, nous calculons le delta-foncteur H•OrdB des parties ordinaires dérivées d'Emerton relatif à un sous-groupe de Borel sur une série principale en utilisant une filtration de Bruhat.Nous déterminons également les extensions d'une série principale par une représentation ordinaire (c'est-à-dire obtenue par induction parabolique à partir d'une représentation spéciale du Levi tordue par un caractère), ainsi que les extensions de Yoneda de longueur supérieure entre séries principales modulo p sous une conjecture d'Emerton vraie pour GL2.Nous montrons de plus qu'il n'existe pas de « chaîne » de trois séries principales p-adiques ou modulo p distinctes de G. Pour cela, nous calculons partiellement le delta-foncteur H•OrdP relatif à un sous-groupe parabolique quelconque sur une série principale. En exploitant ce résultat, nous prouvons une conjecture de Breuil et Herzig sur l'unicité de certaines représentations p-adiques de G dont les constituants sont des séries principales, ainsi que son analogue modulo p.Enfin, nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations modulo p irréductibles de G obtenues par induction parabolique à partir d'une représentations supersingulière du Levi. Nous prouvons cette conjecture pour les extensions par une série principale. / This thesis is a contribution to the study of p-adic (i.e. unitary continuous on p-adic Banach spaces) and mod p (i.e. smooth over a finite field of characteristic p) representations of a split p-adic reductive group G.We determine the extensions between p-adic and mod p principal series of G. In order to do so, we compute Emerton's delta-functor H•OrdB of derived ordinary parts with respect to a Borel subgroup on a principal series using a Bruhat filtration.We also determine the extensions of a principal series by an ordinary representation (i.e. parabolically induced from a special representation of the Levi twisted by a character), as well as the Yoneda extensions of higher length between mod p principal series under a conjecture of Emerton true for GL2.Moreover, we show that there exists no “chain” of three distinct p-adic or mod p principal series of G. In order to do so, we partially compute the delta-functor H•OrdP with respect to any parabolic subgroup on a principal series. Exploiting this result, we prove a conjecture of Breuil and Herzig on the uniqueness of certain p-adic representations of G whose constituents are principal series, as well as its mod p analogue.Finally, we formulate a new conjecture on the extensions between irreducible mod p representations of G parabolically induced from a supersingular representation of the Levi. We prove this conjecture for extensions by a principal series.

Dans cette thèse, on s'intéresse à des aspects théoriques de la théorie des représentations p-adiques du groupe de Galois absolu de K, où K est un corps p-adique, réunis autour de deux axes principaux : d'une part, tenter de caractériser les extensions de Lie p-adiques pour lesquelles on peut définir une théorie des (φ,Γ)-modules, et d'autre part étudier la théorie des (φ,τ)-modules pour obtenir des applications aux représentations p-adiques, et en particulier pour les représentations semi-stables. Cette thèse est constituée de cinq chapitres. Le premier présente les résultats sur les représentations p-adiques, les (φ,Γ)-modules et la théorie de Hodge p-adique nécessaires aux autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, on s'intéresse à la question des extensions de Lie p-adiques pour lesquelles on peut définir une théorie des (φ,Γ)-modules, et on montre que, sous l'hypothèse supplémentaire de demander à ce que le Frobenius soit de hauteur finie, ces extensions sont des extensions de Lubin-Tate à extension finie près. Le troisième chapitre expose la théorie des vecteurs localement analytiques nécessaire aux quatrième et cinquième chapitres. Le quatrième chapitre utilise la théorie des vecteurs localement analytiques pour montrer la surconvergence des (φ,τ)-modules. Dans le cinquième chapitre, on utilise les résultats du quatrième chapitre pour caractériser les représentations semi-stables et potentiellement semi-stables du groupe de Galois absolu de K en fonction de leur (φ,τ)-module, et on montre comment retrouver les invariants Dcris et Dst d'une représentation à partir de leur (φ,τ)-module. / In this thesis, we study some theorical aspects of the theory of p-adic representations of the absolute Galois group of K, where K is a p-adic field. First, we try to give a characterization of the p-adic Lie extensions of K for which one can build a theory of (φ,Γ)-modules. Then, we study the theory of (φ,τ)-modules. This thesis consists of five chapters. The first one introduces the results on p-adic representations, (φ,Γ)-modules and p-adic Hodge theory which are needed in the other chapters. In the second chapter, we try to understand which p-adic Lie extensions of K can be used in order to build a theory of (φ,Γ)-modules and we prove that, under the additional assumption that the Frobenius is of finite height, such extensions are, up to a finite extension, Lubin-Tate extensions. The third chapter lays out the theory of locally analytic vectors needed for the fourth and fifth chapters. The fourth chapter uses the theory of locally analytic vectors to prove the overconvergence of (φ,τ)-modules. In the fifth chapter, we use results obtained in the fourth chapter in order to characterize semi-stable and potentially semi-stable representations of the absolute Galois group of K from their (φ,τ)-modules, and we show how to recover the invariants Dcris and Dst attached to a representation V from its (φ,τ)-module.