Cette these concerne la geometrie de la correspondance de Langlands p-adique. On donne la formalisation des methodes de Emerton, qui permettrait d'etablir la conjecture de Fontaine-Mazur dans le cas general des groupes unitaires. Puis, on verifie que ce formalism est satisfait dans la cas de U(3) ou on utilise la construction de Breuil-Herzig pour la correspondence p-adique. De point de vue local, on commence l'etude de cohomologie modulo p et p-adiques de tour de Lubin-Tate pour GL_2(Q_p). En particulier, on demontre que on peut retrouver la correspondence de Langlands p-adique dans la cohomologie completee de tour de Lubin-Tate. / This thesis concerns the geometry behind the p-adic local Langlands correspondence. We give a formalism of methods of Emerton, which would permit to establish the Fontaine-Mazur conjecture in the general case for unitary groups. Then, we verify that our formalism works well in the case of U(3) where we use the construction of Breuil-Herzig as the input for the p-adic correspondence.From the local viewpoint, we start a study of the modulo p and p-adic cohomology of the Lubin-Tate tower for GL_2(Q_p). In particular, we show that we can find the local p-adic Langlands correspondence in the completed cohomology of the Lubin-Tate tower.

Le résultat principal de ce texte est une généralisation de la formule de Gross-Zagier p-adique de Perrin-Riou au cas de courbes de Shimura sur les corps totalement réels. Soit F un corps totalement réel. Soit f une forme modulaire de Hilbert sur F de poids parallel 2, qui est une forme nouvelle et est ordinaire en p. Soit E est une extension quadratique totalement imaginaire de F de discriminant premier à p et au conducteur de f. On peut construire une fonction L p-adique qui interpole valeurs spéciales de la fonction L complexe associée à f, E et caractères de Hecke d'ordre fini de E. La formule p-adique de Gross-Zagier relie la dérivée centrale de cette fonction L p-adique à la hauteur d'un divisor de Heegner sur une certaine courbe de Shimura. La stratégie de la preuve est proche de celle du travail original de Perrin-Riou. Dans la partie analytique, on construit le noyau analytique par calculs adéliques; dans la partie géométrique, on décompose le noyau géométrique en deux parties: places hors de p et places divisant p. Pour les places hors de p, les hauteurs p-adiques sont essentiellement des nombres d'intersection et sont calculées dans les travaux de S. Zhang, et il s'avère que cette partie est bien liée au noyau analytique. Pour les places divisant p, on utilise la méthode dans le travail de J. Nekovar pour montrer que la contribution de cette partie est nulle. / The main result of this text is a generalization of Perrin-Riou's p-adic Gross-Zagier formula to the case of Shimura curves over totally real fields. Let F be a totally real field. Let f be a Hilbert modular form over F of parallel weight 2, which is a new form and is ordinary at p. Let E be a totally imaginary quadratic extension of F of discriminant prime to p and to the conductor of f. We may construct a p-adic L function that interpolates special values of the complex L functions associated to f, E and finite order Hecke characters of E. The p-adic Gross-Zagier formula relates the central derivative of this p-adic L function to the p-adic height of a Heegner divisor on a certain Shimura curve. The strategy of the proof is close to that of the original work of Perrin-Riou. In the analytic part, we construct the analytic kernel via adelic computations, in the geometric part, we decompose the geometric kernel into two parts: places outside p and places dividing p. For places outside p, the p-adic heights are essentially intersection numbers and are computed in works of S. Zhang, and it turns out that this part is closely related to the analytic kernel. For places dividing p, we use the method in the work of J. Nekovar to show that the contribution of this part is zero.

Für eine Primzahl p, sei L eine endliche Erweiterung von $QQ_p$ mit Ganzheitsring $O_L$ und Restklassenk\"{o}rper $kk_L$. Sei ferner n eine positive ganze Zahl. In dieser Arbeit beschreiben wir die Kategorie der endlich erzeugten stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz der absoluten Galoisgruppe $G_L$ von L mit Koeffizienten in $O_L$, unter Verwendung einer verallgemeinerten Version der $(phi, Gamma)$-Moduln von Fontaine. In Kapitel 4 beweisen wir, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlichen dimensionalen $kk_L$-Vektorräumen und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $kk_L$ äquivalent sind. In Kapitel 5 erweitern wir diese Äquivalenz, um zu beweisen, dass die Kategorie der stetigen Darstellungen der n-ten direkten Potenz von $G_L$ auf endlich erzeugten $O_L$-Moduln und die Kategorie étaler $(phi, Gamma)$-Moduln über einem n-variablen Laurentreihenring über $O_L$ äquivalent sind. Einerseits erhalten wir, wenn wir n=1 und L willkürlich lassen, die Verfeinerung von Fontaine ursprünglicher Konstruktion gemäß Kisin, Rin und Schneider, die Lubin-Tate Theorie verwenden. Wenn wir andererseits n willkürlich lassen und $L=QQ_p$, erhalten wir die Theorie von Zábrádi von multivariablen zyklotomischen $(phi, Gamma)$-Moduln, die Fontaines Verwendung einer einzelnen freien Variablen verallgemeinert. Daher bietet unsere Arbeit einen gemeinsamen Rahmen für diese beiden Verallgemeinerungen. / For a prime number p, let L be a finite extension of $QQ_p$ with ring of integers $O_L$ and residue field $kk_L$. We also let n be a positive integer. In this thesis we describe the category of finitely generated continuous representations of the n-th direct power of the absolute Galois group $G_L$ of L with coefficients in $O_L$ using a generalized version of Fontaine's $(phi, Gamma)$-modules. In Chapter 4 we prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finite dimensional $kk_L$-vector spaces is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $kk_L$. In Chapter 5 we extend this equivalence to prove that the category of continuous representations of the n-th direct power of $G_L$ on finitely generated $O_L$-modules is equivalent to the category of étale $(phi, Gamma)$-modules over a n-variable Laurent series ring over $O_L$. On the one hand, if we let n=1 and $L$ be arbitrary, we obtain the refinement of Fontaine's original construction due to Kisin, Rin and Schneider, which uses Lubin-Tate theory. On the other hand, if we let n be arbitrary and $L=QQ_p$, we recover Zábrádi's theory of multivariable cyclotomic $(phi,Gamma)$-modules that generalizes Fontaine's use of a single free variable. Therefore, our thesis provides a common framework for both of these generalizations.

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Soit p un nombre premier. Les résultats de cette thèse s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une représentation p-adique de dimension 2 du groupe Gal(\bar{Qp}/Qp), on sait lui associer une représentation p-adique continue B(V) de GL₂(Qp). Si F est une extension finie non triviale de Qp, la question d'associer des représentations p-adiques de GL₂(F) aux représentations p-adiques de dimension 2 de Gal(\bar{Qp}/F) dans l'esprit d'une correspondance locale à la Langlands s'annonce beaucoup plus délicate. Dans ce texte, nous considérons des espaces de Banach p-adiques, munis d'une action linéaire continue de GL₂(F), qui sont des complétions unitaires universelles de certaines représentations localement Qp-analytiques de GL₂(F). Celles-ci sont susceptibles de jouer un rôle important dans une éventuelle correspondance de Langlands locale p-adique pour GL₂(F). Le résultat principal de cette thèse est démontré dans le Chapitre 3 et généralise des résultats antérieurs de Berger et Breuil. Il consiste en une description explicite de ces complétés unitaires universels à l'aide des fonctions continues sur F d'un certain type. Pour ce faire, nous introduisons dans le Chapitre 2 des espaces de Banach de fonctions de classe C^r, où r est un nombre rationnel positif, et leurs espaces duaux de distributions d'ordre r. Nous construisons une base de Banach et nous donnons un critère de prolongement des formes linéaires définies sur un espace de fonctions localement Qp-polynomiales en distributions d'ordre r. Ce faisant, nous généralisons des résultats classiques dus à Amice-Vélu et Vishik. Dans le Chapitre 4, nous exhibons des cas de non nullité pour les complétions unitaires universelles considérées par construction explicite de réseaux invariants. Cela donne de nouveaux cas de la conjecture proposée par Breuil et Schneider sur l'équivalence entre l'existence de normes invariantes sur certaines représentations localement algébriques de GL_d(F) et l'existence de certaines représentations de de Rham de Gal(\bar{Qp}/F). / Let p be a prime. The subject of this thesis is the p-adic Langlands correspondence. If V is a p-adic representation of dimension 2 of the group Gal(\bar{Qp}/Qp), it is known how to associate to it a continuous p-adic representation B(V) of GL₂(Qp). If F is a non-trivial finite extension of Qp, the issue of associating p-adic representations of GL₂(F) to p-adic representations of dimension 2 of Gal(\bar{Qp}/F) in the spirit of a local Langlands correspondence appears much more delicate. In this text we consider a class of p-adic Banach spaces, endowed with a continuous linear action of GL₂(F), which are obtained as universal unitary completions of certain locally Qp-analytic representations of GL₂(F). Such representations are likely to play an important role in a future local p-adic Langlands correspondence for GL₂(F). The main result of this thesis is proved in Chapter 3 and generalizes some previous results of Berger and Breuil. It consists in an explicit description of these universal unitary completions by means of a certain class of continuous functions on F. In order to do this, we introduce in Chapter 2 a class of Banach spaces of functions of class C^r, where r is a positive rational number, as well as their dual spaces of distributions of order r. We build a Banach base and we give a criterion for telling when a linear form defined on a space of locally Qp-polynomial functions extends to a distribution of order r. As a consequence, we generalize some classical results due to Amice-Vélu and Vishik. In Chapter 4 we exhibit cases of non-nullity for these universal unitary completions, by an explicit construction of invariant lattices. This also provides new instances of the Breuil-Schneider conjecture about the equivalence between the existence of invariant norms on certain locally algebraic representations of GL_d(F) and the existence of certain De Rham representations of Gal(\bar{Qp}/F).

Cette thèse se compose de deux parties : dans la première on donne une généralisation d'espaces fibrés construit au-dessus de l'arbre de Bruhat-Tits du groupe GL(2) sur un corps p-adique. Plus précisément, on a construit une tour projective d'espaces fibrés au-dessus du 1-squelette de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. On a montré que toute représentation cuspidale π de GL(n) se plonge avec multiplicité 1 dans le premier espace de cohomologie à support compact du k-ième étage de la tour, où k est le conducteur de π. Dans la deuxième partie on a construit un espace W au-dessus de la subdivision barycentrique de l'immeuble de Bruhat-Tits de GL(n) sur un corps p-adique. Pour étudier les espaces de cohomologie à support compact d'un G-complexe simplicial propre X muni d'un recouvrement équivariant assez particulier, où G est un groupe localement compact totalement discontinu, on a montré l'existence d'une suite spactrale dans la catégorie des représentations lisses de G qui converge vers la cohomologie à support compact de X. En s'appuyant sur ce dernier résultat, on a calculé la cohomologie à support compact de l'espace W comme représentation lisse de GL(n) puis on a montrer que les types cuspidaux de niveau 0 de GL(n) apparaissent avec multiplicité fini dans la cohomologie de certain complexes fini construit au niveau résiduel. Comme conséquence, on montre que les représentations cuspidales de niveau 0 de GL(n) apparaissent dans la cohomologie de W. / This thesis consists of two parts: the first one gives a generalization of fiber spaces constructed above the Bruhat-Tits tree of the group GL(2) over a p-adic field. More precisely we construct a projective tower of spaces over the 1-skeleton of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. We show that any cuspidal representation π of GL(n) embeds with multiplicity 1 in the first cohomology space with compact support of k-th floor of the tower, where k is the conductor of π. In the second part we constructed a space W above the barycentric subdivision of the Bruhat-Tits building of GL(n) over a p-adic field. To study the cohomology spaces with compact support of a proper G-simplicial complex X with a rather special equivariant covering, where G is a totally disconnected locally compact group, we show the existence of a spactrale sequence in the category of smooth representations of G that converges to the cohomology with compact support of X. Based on the latter results, we calculate the cohomology with compact support of W as smooth representation of GL(n), and then we show that the level zero cuspidal types of GL(n) appear with finite multiplicity in the cohomology of some finite simplicial complexes constructed in residual level. As a consequence, we show that the cuspidal representations of level 0 of GL(n) appear in the cohomology of W.

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L’originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu’ils concernent d’autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d’isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d’un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d’isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu’alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l’application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l’action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l’ensemble des classes d’isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s’étend aux objets supersinguliers lorsque l’on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d’une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}). / Let p be a prime number. This thesis is a contribution to the theory of mod p representations of p-adic reductive groups, which was until now mainly focused on the general linear group GL(n) defined over a non-archimedean local field F complete with respect to a discrete valuation and with finite residue class field of characteristic p. Our work is original as it deals with other groups : we indeed look for a classification of isomorphism classes of modulo p representations of groups formed by the F-points of a connected reductive group defined, quasi-split and of semi-simple rank 1 over F. A special place is devoted to the special linear group SL(2) and to the unramified quasi-split unitary group. In these two cases, we prove that the isomorphism classes of irreducible smooth representations over an algebraically closed field of characteristic p split into two families : supersingular and non-supersingular representations. We give a complete description of non-supersingular representations and prove that supersingularity is equivalent to the notion of supercuspidality that appears in the complex theory. We also make explicit the supersingular representations of SL(2,Q_{p}), what allows us to define a mod p semi-simple local Langlands correspondence that is compatible to the one built by Breuil for GL(2). We then generalize the methods used above to classify the isomorphism classes of non-supercuspidal representations of G(F) for G a connected reductive group which is defined, quasi-split and of semi-simple rank 1 over F. This classification is made up of three pairwise disjoint families : characters, representations of the principal series, and representations of the special series. We finally come back to SL(2) as we give an exhaustive classification of isomorphism classes of simple right modules on the pro-p-Iwahori-Hecke algebra H of SL(2,F). It implies that the map sending a smooth mod p representation of SL(2,F) on its vector space of invariants vectors under the action of the pro-p-Iwahori subgroup induces a bijection between non-supersingular irreducible smooth representations of SL(2,F) and non-supersingular simple right H-modules. This bijection extends to supersingular objects when F = Q_{p}, what is the first step in the search for an equivalence of categories similar to the one built by Ollivier in the setting of mod p representations of GL(2, Q_{p}).

Eine Quantengruppe ist eine nichtkommutative und nichtkokommutative Hopfalgebra. In dieser Arbeit konstruieren wir eine Deformation der lokalkonvexen Hopfalgebra der lokalanalytischen Funktionen auf GL(2,O), wobei O hier der Bewertungsring einer endlichen Erweiterung der p-adischen Zahlen ist. Wir zeigen, dass diese Deformation eine nichtkommutative, nichtkokommutative lokalkonvexe Hopfalgebra, also eine p-adische Quantengruppe, ist. Unser Hauptresultat ist, dass das starke Dual dieser Deformation eine Fréchet-Stein Algebra ist. Dies bedeutet, dass das starke Dual ein projektiver Limes von noetherschen Banachalgebren unter rechtsflachen Übergangsabbildungen ist. Im kommutativen Fall wurde dies von P. Schneider und J. Teitelbaum gezeigt. Unser Beweis im nichtkommutativen Fall benutzt Ideen von M. Emerton, der einen alternativen Beweis im kommutativen Fall gefunden hat. Für unseren Beweis beschreiben wir gewisse Vervollständigungen der quanten-einhüllenden Algebra und benutzen die Technik der partiell dividierten Potenzen. Eine wichtige Klasse lokalanalytischer Darstellungen von GL(2,K) wird mithilfe globaler Schnitte von Linienbündeln auf der p-adischen oberen Halbebene konstruiert. Wir konstruieren ein nichtkommutatives Analogon der p-adischen oberen Halbebene, von dem wir erwarten, dass es interessante Darstellungen unserer p-adischen Quantengruppe induziert. Die wichtigsten Hilfsmittel der Konstruktion sind die Maninsche Quantenebene, der Bruhat-Tits Baum für PGL(2,K) und die Theorie der algebraischen Mikrolokalisierung. / A quantum group is a noncommutative noncocommutative Hopf algebra. In this thesis we deform the locally convex Hopf algebra of locally analytic functions on GL(2,O), where O is the valuation ring of a finite extension of the p-adic numbers. We show that this deformation is a noncommutative noncocommutative locally convex Hopf algebra, i.e. a p-adic quantum group. Our main result is that the strong dual of our deformation is a Fréchet Stein algebra, i.e. a projective limit of Noetherian Banach algebras with right flat transition maps. This was shown in the commutative case by P. Schneider and J. Teitelbaum. For our proof in the noncommutative case we use ideas of M. Emerton, who gave an alternative proof of the Fréchet Stein property in the commutative case. For the proof we describe completions of the quantum enveloping algebra and use partial divided powers. An important class of locally analytic representations of GL(2,K) is constructed from global sections of line bundles on the p-adic upper half plane. We construct a noncommutative analogue of an affine version of the p-adic upper half plane which we expect to give rise to interesting representations of our p-adic quantum group. We construct this space by using the Manin quantum plane, the Bruhat-Tits tree for PGL(2,K) and the theory of algebraic microlocalization.

The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer is unquestionably one of the most important open problems in number theory today. Let $E$ be an elliptic curve defined over an imaginary quadratic field $K$ contained in $\mathbb{C}$, and suppose that $E$ has complex multiplication by the ring of integers of $K$. Let us assume the complex $L$-series $L(E/K,s)$ of $E$ over $K$ does not vanish at $s=1$. K. Rubin showed, using Iwasawa theory, that the $p$-part of Birch and Swinnerton-Dyer conjecture holds for $E$ for all prime numbers $p$ which do not divide the order of the group of roots of unity in $K$. In this thesis, we discuss extensions of this result. In Chapter $2$, we study infinite families of quadratic and cubic twists of the elliptic curve $A = X_0(27)$, so that they have complex multiplication by the ring of integers of $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. For the family of quadratic twists, we establish a lower bound for the $2$-adic valuation of the algebraic part of the complex $L$-series at $s=1$, and, for the family of cubic twists, we establish a lower bound for the $3$-adic valuation of the algebraic part of the same $L$-value. We show that our lower bounds are precisely those predicted by Birch and Swinnerton-Dyer. In the remaining chapters, we let $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$, where $q$ is any prime number congruent to $7$ modulo $8$. Denote by $H$ the Hilbert class field of $K$. \mbox{B. Gross} proved the existence of an elliptic curve $A(q)$ defined over $H$ with complex multiplication by the ring of integers of $K$ and minimal discriminant $-q^3$. We consider twists $E$ of $A(q)$ by quadratic extensions of $K$. In the case $q=7$, we have $A(q)=X_0(49)$, and Gonzalez-Aviles and Rubin proved, again using Iwasawa theory, that if $L(E/\mathbb{Q},1)$ is nonzero then the full Birch--Swinnerton-Dyer conjecture holds for $E$. Suppose $p$ is a prime number which splits in $K$, say $p=\mathfrak{p}\mathfrak{p}^*$, and $E$ has good reduction at all primes of $H$ above $p$. Let $H_\infty=HK_\infty$, where $K_\infty$ is the unique $\mathbb{Z}_p$-extension of $K$ unramified outside $\mathfrak{p}$. We establish in this thesis the main conjecture for the extension $H_\infty/H$. Furthermore, we provide the necessary ingredients to state and prove the main conjecture for $E/H$ and $p$, and discuss its relation to the main conjecture for $H_\infty/H$ and the $p$-part of the Birch--Swinnerton-Dyer conjecture for $E/H$.

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