The manuscript presents my research on hyperbolic Partial Differential Equations (PDE), especially on conservation laws. My works began with this thought in my mind: ''Existence and uniqueness of solutions is not the end but merely the beginning of a theory of differential equations. The really interesting questions concern the behavior of solutions.'' (P.D. Lax, The formation and decay of shock waves 1974). To study or highlight some behaviors, I started by working on geometric optics expansions (WKB) for hyperbolic PDEs. For conservation laws, existence of solutions is still a problem (for large data, $L^\infty$ data), so I early learned method of characteristics, Riemann problem, $BV$ spaces, Glimm and Godunov schemes, \ldots In this report I emphasize my last works since 2006 when I became assistant professor. I use geometric optics method to investigate a conjecture of Lions-Perthame-Tadmor on the maximal smoothing effect for scalar multidimensional conservation laws. With Christian Bourdarias and Marguerite Gisclon from the LAMA (Laboratoire de \\ Mathématiques de l'Université de Savoie), we have obtained the first mathematical results on a $2\times2$ system of conservation laws arising in gas chromatography. Of course, I tried to put high oscillations in this system. We have obtained a propagation result exhibiting a stratified structure of the velocity, and we have shown that a blow up occurs when there are too high oscillations on the hyperbolic boundary. I finish this subject with some works on kinetic équations. In particular, a kinetic formulation of the gas chromatography system, some averaging lemmas for Vlasov equation, and a recent model of a continuous rating system with large interactions are discussed. Bernard Rousselet (Laboratoire JAD Université de Nice Sophia-Antipolis) introduced me to some periodic solutions related to crak problems and the so called nonlinear normal modes (NNM). Then I became a member of the European GDR: ''Wave Propagation in Complex Media for Quantitative and non Destructive Evaluation.'' In 2008, I started a collaboration with Bruno Lombard, LMA (Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, Marseille). We details mathematical results and challenges we have identified for a linear elasticity model with nonlinear interfaces. It leads to consider original neutral delay differential systems.

Les travaux rassemblés dans ce manuscrit d'habilitation portent sur quelques modèles d'équations aux dérivées partielles et se développent selon deux axes, l'un orienté vers des questions d'identifiabilité de paramètres, l'autre vers la commande robuste aux perturbations extérieures. Le premier axe est introduit par une présentation de l'état de l'art concernant les problèmes inverses de détermination de coefficients dans les principales équations d'évolution. Il s'articule d'abord autour de la démonstration de la stabilité du problème inverse de détermination du potentiel dans une simple équation des ondes posée en domaine borné. Cela permet de décrire divers cas plus exotiques, où l'équation des ondes est posée avec des conditions de transmission sur une interface connue, ou posée sur un réseau de branches en dimension un d'espace, ou bien encore semi-discrétisée en la variable d'espace. Le principal outil construit et employé est une inégalité de Carleman appropriée à chaque situation. La méthode qui permet d'en déduire la stabilité du problème inverse sert ensuite à la mise en place d'un schéma numérique nouveau pour la reconstruction du potentiel. D'autres études de stabilité de problèmes inverses pour des équations paraboliques et dispersives viennent conclure cette partie. Le second axe de mes travaux s'attache à la commande robuste de systèmes de dimension infinie décrits par des équations aux dérivées partielles. La principale motivation consiste à pouvoir travailler même avec ces systèmes dans un cadre de type espace d'état et obtenir des résultats en commande robuste H-infini similaires à ceux de la dimension finie. Nous détaillons ainsi un théorème ramenant, dans le cadre de systèmes de dimension infinie, la commande robuste à la résolution d'équations de Riccati. L'idée finale est de formuler des résultats théoriques de commande garantissant une certaine robustesse de la stabilité du système en assurant le rejet des perturbations. Nous présentons dans un premier temps l'étude d'un système d'optique adaptative qu'il a été possible de formuler dans un tel cadre avant d'effectuer des simulations numériques sur le modèle tronqué. C'est ensuite un système couplé fluide/structure modélisé à base d'équations aux dérivées partielles puis réduit à la dimension finie qui est présenté. Il est finalement étudié avec les outils usuels de la commande (placement de pôles, observateurs, contrôleurs d'ordre réduit) avant de faire l'objet de test sur le banc d'essai à l'origine du modèle.

Ce Mémoire porte sur l'analyse qualitative de quelques classes de problèmes elliptiques non linéaires.

Le présent travail porte sur une étude comparative des caractéristiques optiques et électriques des décharges glissantes se propageant aux interfaces solide/gaz sur des isolateurs de verre, de Bakélite et de résine époxy en présence des gaz N2, CO2 et SF6 et des mélanges SF6/N2 et SF6/CO2, sous tension continue et alternative (50 Hz), en géométrie pointe - plan. L'objectif est de mieux comprendre les mécanismes impliqués dans l'initiation des décharges partielles et leur évolution et développement en décharges surfaciques (glissantes) lesquelles peuvent conduire au contournement des composants et systèmes haute tension. Les résultats obtenus montrent que la morphologie et la longueur finale (d'arrêt ou d'extension maximale) des décharges surfaciques dépendent de la forme et de l'amplitude de la tension, de l'épaisseur et de la nature du solide isolant, du type du gaz/mélange et de sa pression. Il est montré que la longueur finale des décharges Lf augmente quasi-linéairement avec la tension. Lf diminue lorsque la pression du gaz et/ou l'épaisseur du solide augmentent. Cette longueur est plus courte dans le SF6 que dans le CO2 ou le N2 ; et elle diminue significativement lorsque le taux du SF6 dans le mélange de gaz augmente. Par ailleurs, pour une tension donnée, Lf augmente avec la constante diélectrique de l'isolant solide. La longueur finale des décharges est nettement plus élevée sous tension alternative que sous tension continue. La morphologie des décharges glissantes générées sous tension continue et alternative est généralement non radiale; leur orientation est fortement influencée par la présence des charges d'espace présentes ou déposées sur la surface de l'isolateur. Une analyse fractale des décharges glissantes obtenues expérimentalement sous tension continue est également réalisée et une corrélation entre la dimension fractale, la pression du gaz, la constante diélectrique et l'épaisseur du matériau solide est mise en évidence. En particulier, la dimension fractale augmente lorsque la constante diélectrique augmente et/ou l'épaisseur de l'isolant solide diminue et/ou la pression du gaz diminue.

Cette thèse présente l'étude et le développement de méthodes numériques pour la résolution d'équations de transport, en particulier d'une méthode de remapping bidimensionnel dont un avantage important par rapport aux algorithmes existants est la propriété de conservation de la masse. De nombreux cas-tests permettront de comparer ces approches entre elles ainsi qu'à des méthodes de référence. On s'intéressera en particulier aux équations dites de Vlasov-Poisson et du Centre-Guide, qui apparaissent très classiquement dans le cadre de la physique des plasmas.

Cette thèse a pour sujet la stabilisation de systèmes non-linéaires avec des mesures partielles et des entrées contraintes. Les deux premiers chapitres traitent du problème des entrées saturées dans le contexte des systèmes de dimension infinie pour des équations nonlinéaires abstraites et une équation aux dérivées partielles nonlinéaire particulière, l'équation de Korteweg-de Vries. Les outils mathématiques utilisés pour obtenir des résultats Le troisième chapitre propose une méthode de synthèse de retour de sortie pour deux équations de Korteweg-de Vries. Le quatrième chapitre concerne la synthèse d'un retour de sortie pour des systèmes non-linéaires de dimension finie pour lequel il existe un contrôle hybride. Une stratégie basée sur des observateurs grand gain est utilisée. / This thesis is about the stabilization of nonlinear systems with partial measurements and constrained input. The two first chapters deals with saturated inputs in the contex of infinite-dimensional systems for nonlinear abstract equations and for a particular partial differential equation, the Korteweg-de Vries equation. The third chapter provides an output feedback design for two Korteweg-de Vries equations using the backstepping method. The fourth chapter is about the output feedback design of nonlinear finite-dimensional systems for which there exists a hybrid controller. A high-gain observer strategy is used.

L'évolution de l'électronique de puissance ces dernières années a entraîné une augmentation de la densité de puissance et une diminution du coût des onduleurs de tension à modulation de largeur d'impulsion (MLI). Ces évolutions ont répandu l'utilisation de convertisseurs de puissance pour les applications de variateurs de vitesse ce qui a permis le développement du concept d' " avion plus électrique ". Ce concept consiste à remplacer un des vecteurs énergétiques (pneumatique ou hydraulique) par l'énergie électrique. Cependant, le développement du réseau électrique a entraîné une augmentation de la tension embarquée, ce qui a conduit à un vieillissement prématuré des équipements électriques embarqués. La forme de tension appliquée, appelée "modulation de largeur d'impulsion" (MLI), est constituée de trains d'impulsions. Avec l'application de ces impulsions, la tension n'est plus distribuée de manière homogène le long du bobinage. Dans ce cas, on pourra observer d'importantes différences de potentiel entre les spires d'une même phase voire entre deux phases du bobinage. En outre, un autre paramètre important provient du type d'enroulement des moteurs utilisés par l'industrie. L'enroulement aléatoire est la technique de bobinage la plus courante pour les moteurs basses tensions car cette méthode présente un faible coût. Le risque induit par ce type d'enroulement est que la première et une des dernières spires de la première bobine peuvent être proches l'une de l'autre. Dans ce cas, jusqu'à 80% de la tension sera supportée par quelques dizaines de microns d'émail, et les systèmes d'isolation existants ne sont pas dimensionnés pour résister à de telles contraintes. L'utilisation de longs câbles reliant l'onduleur au moteur peut aussi provoquer des surtensions importantes aux bornes du moteur. Ce phénomène s'explique par le fait que le câble se comporte comme une ligne de transmission qui n'est pas adaptée en termes d'impédance au bobinage du moteur. De plus, ces importantes différences de potentiel associées à de faibles pressions, présentes dans les zones dépressurisées de l'aéronef, peuvent entraîner l'apparition de décharges partielles. Les décharges partielles sont des décharges électriques qui court-circuitent partiellement l'intervalle entre deux conducteurs. Il existe de nombreuses méthodes de détection bien connues pour les tensions AC et DC, cependant, la détection sous tension de type MLI dans des moteurs basse tension est beaucoup plus complexe. Les signaux de décharge partielle sont en effet intégrés dans le bruit électromagnétique généré par la commutation. Le but de cette thèse est donc de développer un procédé de détection et un procédé de filtrage permettant une détection non intrusive et en fonctionnement (on-line) des décharges partielles dans le domaine aéronautique afin de qualifier les systèmes d'isolation électrique utilisés dans les aéronefs. / The development of power electronics in recent years has led to increase power density and to decrease pulse width modulation (PWM) voltage inverter cost. These developments have expanded the use of power converters for variable speed drive applications which enabled the development of the concept of "more electric aircraft". This concept consists in replacing one of energy carriers (pneumatic or hydraulic) with electrical energy. However, the deployment of electrical energy has increased the onboard voltage, which leads to premature aging of onboard electrical equipment. The shape of the PWM voltage consists of pulse trains. With the application of these pulses, the voltage is no longer homogeneously distributed along the coil. In this case, large differences in potential between the strands are present. In addition, another important parameter derived from the winding type motor used in industry. The random winding is the most common technique for low voltage motors due to its lower cost. The risk generated by this type of winding is that the first and the last turns of the first coil can be facing one another. In this case, up to 80% of the voltage will be supported by a few tens of microns of enamel, and existing insulation systems are not designed to withstand such severe constraints. The use of long cable connecting the inverter to the motor can also cause significant overvoltage at the motor terminals. This phenomenon is explained by the fact that the cable behaves as a transmission line to which the motor coils is not adapted in terms of impedance. In addition, these large potential differences associated with low pressures in the depressurized areas of the aircraft, may cause the occurrence of partial discharge. Partial discharges are electrical discharges that short-circuited partially the gap between two conductors. There are many detection methods well known under AC and DC voltage, however, in the case of the detection under PWM like voltage in low-voltage motors, the detection is much more complex. Partial discharge signals are embedded in the electromagnetic noise generated by the switching. The aim of this thesis is to develop a detection method and filtering method enabling a non-intrusive and an "on-line" partial discharges detection in the aeronautical field in order to qualify the electrical insulation systems used in aircraft.

De nombreuses études, aussi bien expérimentales que théoriques, ont été menées pour l'industrie électrique afin de comprendre et d'être capable de prédire les mécanismes intervenant lors d'une coupure électrique par arc. Ces études ont montré la grande diversité et complexité des phénomènes physiques et chimiques mis en œuvre. L'arc électrique créé juste après la séparation des contacts est poussé par les forces électromagnétiques vers une zone d'extinction. Durant son développement et sa propagation, l'énergie lui est fournie par effet Joule et est dissipée par différents modes de transfert thermique. Son expansion rapide induit des effets de compressibilité avec la propagation d'ondes de pression. Le rayonnement intense du plasma créé, ainsi que les phénomènes aux pieds des électrodes, induisent une ablation des parois qui change la composition chimique du milieu et rend plus complexe la modélisation de l'ensemble des phénomènes couplés par hydrodynamique, électromagnétisme, transferts thermiques et diffusion d'espèces chimiques en régime fortement instationnaire. Le rôle du transfert radiatif est primordial dans la mesure où, d'une part, il conditionne le champ de température et donc les propriétés de transport, notamment électriques, et, d'autre part, participe pour une grande part à la thermo-dégradation des parois.La modélisation de l'ensemble des phénomènes physico-chimiques a beaucoup progressé durant les vingt dernières années mais le calcul du transfert radiatif demeure un point bloquant dans l'avancement des méthodes de modélisation.En effet, le champ de rayonnement est caractérisé par une luminance qui dépend de la longueur d'onde, de la position spatiale, de la direction de propagation, ainsi que du temps au travers ici des variations des champs de température et de la composition chimique.La prise en compte rigoureuse de toutes ces dépendances demeure inaccessible à l'heure actuelle pour des simulations complètes d'extinction d'arc, en particulier à cause de la complexité des spectres d'émission et d'absorption des milieux plasmas. Le recours à des modèles approchés pour le traitement spectral et/ou pour les dépendances géométriques et directionnelles est nécessaire.Ce travail a été mené en collaboration entre le Laboratoire EM2C et la société Schneider Electric. Il fait suite à des travaux de collaboration antérieurs dont l'objectif était la détermination des propriétés radiatives fondamentales des plasmas d'arc (Thèse S. Chauveau).Le but principal du présent travail est de développer des modèles approchés mais précis, ainsi que des outils de simulation numérique avec différents degrés de finesse, pour le calcul du champ de puissance radiative et des flux pariétaux dans des chambres de coupure électrique basse tension. Les modèles et outils développés doivent être implémentés dans des codes de simulation hydrodynamique dédiés soit à des géométries bidimensionnelles simplifiées, soit à des géométries industrielles complexes et tridimensionnelles. Ces outils doivent Les études expérimentales menées sur des maquettes représentatives des dispositifs industriels montrent la présence de vapeurs plastiques et métalliques dues à l'ablation et à l'érosion des parois. La composition chimique change par ailleurs fortement avec le temps entre la naissance et l'extinction de l'arc électrique. Bien que les modèles développés ici puissent être adaptés à cette composition chimique complexe, nous supposerons tout le long de ce travail que le milieu gazeux est un plasma d'air à l'équilibre thermique et chimique local. / Non fourni.

Le but principal de cette thèse est d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité pour des équations aux dérivées partielles dispersives avec conditions aux limites non homogènes. L'approche privilégiée est l'adaptation de techniques issues de la théorie classique des problèmes aux limites hyperboliques (que l'on rappelle au chapitre 1, en améliorant légèrement un résultat). On met en évidence au chapitre 3 une classe d'équations linéaires qu'on peut qualifier de dispersives satisfaisant des critères “minimaux”, et des résultats d'existence et d'unicité pour le problème aux limites associé à celles-ci sont obtenus au chapitre 4.Le fil rouge du mémoire est le modèle d'Euler-Korteweg, pour lequel on aborde l'analyse du problème aux limites sur une version linéarisée au chapitre 2. Toujours pour cette version linéarisée, on prouve un effet Kato-régularisant au chapitre 3. Enfin l'analyse numérique du modèle est abordée au chapitre 5. Pour cela, on commence par utiliser les résultats précédents pour décrire une manière simple d'obtenir les conditions aux limites dites transparentes dans le cadre des équations précédemment décrites puis on utilise ces conditions aux limites pour le modèle d'Euler-Korteweg semi-linéaire afin d'observer la stabilité/instabilité des solitons, ainsi qu'un phénomène d'explosion en temps fini. / The main aim of this thesis is to obtain well-posedness results for boundary value problems especially with non-homogeneous boundary conditions. The approach that we chose here is to adapt technics from the classical theory of hyperbolic boundary value problems (for which we give a brief survey in the first chapter, and a slight generalization). In chapter 3 we delimitate a class of linear dispersive equations, and we obtain well-posedness results for corresponding boundary value problems in chapter 4.The leading thread of this memoir is the Euler-Korteweg model. The boundary value problem for a linearized version is investigated in chapter 2, and the Kato-smoothing effect is proved (also for the linearized model) in chapter 3. Finally, the numerical analysis of the model is made in chapter 5. To begin with, we use the previous abstract results to show a simple way of deriving the so-called transparent boundary conditions for the equations outlined in chapter 3, and those conditions are then used to numerically solve the semi-linear Euler-Korteweg model. This allow us to observe the stability and instability of solitons, as well as a finite time blow up.

Cette thèse est articulée autour de deux facettes de l’étude des équations auxdérivées partielles. Dans une première partie, on étudie la stabilité des solutionspériodiques pour des lois de conservation. On démontre d’abord la stabilité asymptotiquedans L1 des solutions périodiques de lois de conservation scalaires et inhomogènes.On montre ensuite un résultat de stabilité structurelle des roll-waves. Plusprécisément, on montre que les solutions périodiques d’un système hyperbolique sansviscosité sont limites des solutions du problème avec viscosité, quand le terme deviscosité tend vers 0. Dans une deuxième partie, on s’intéresse à un système d’équationsaux dérivées partielles issu de la biologie : le modèle de Patlak-Keller-Segelen dimension 2 ; il décrit les phénomènes de chimiotactisme. Pour ce modèle, onconstruit un schéma de type volume fini, ce qui permet d’approcher la solution touten gardant certaines propriétés du système : positivité, conservation de la masse,estimation d’énergie. / This thesis is organized around two aspects of the study of partial differentialequations. In a first part, we study the stability of periodic solutions for conservationlaws. First, we prove asymptotic L1-stability of periodic solutions of scalarinhomogeneous conservation laws. Then, we show a result on structural stability ofroll-waves. More precisely, we prove that periodic solutions of a hyperbolic systemwithout viscosity are the limits of the solutions of the problem with viscosity, as theviscous term tends to 0. In a second part, we study a system of partial differentialequations derived from biology: the model of Patlak-Keller-Segel in dimension 2, describingthe phenomena of chemotaxis. For this model, we construct a finite-volumescheme, which approaches the solution while keeping some properties of the system:positivity, conservation of mass, energy estimate.