Dans cette thèse, on considère des problèmes issus de l'analyse d'EDP stochastiques paraboliques non-dégénérées et dégénérées, de lois de conservation hyperboliques stochastiques, et d'EDS avec coefficients continus. Dans une première partie, on s'intéresse à des EDPS paraboliques dégénérées- on adapte les notions de formulation et de solutions cinétiques, puis on établit l'existence, l'unicité ainsi que la dépendance continu en la condition initiale. Comme résultat préliminaire, on obtient la régularité des solutions dans le cas non-dégénéré, sous l'hypothèse que les coefficients sont suffisamment réguliers et ont des dérivées bornées. Dans une deuxième partie, on considère des lois de conservation hyperboliques avec un forçage stochastique, et on étudie leur approximation au sens de Bhatnagar-Gross-Krook. En particulier, on décrit les lois de conservation comme limites hydrodynamiques du modèle BGK stochastique lorsque le paramètre d'échelle microscopique tend vers 0. Dans une troisième partie, on donne une preuve nouvelle et élémentaire du théorème classique de Skorokhod, concernant l'existence de solutions faibles d'EDS à coefficients continus, sous une condition de type Lyapunov appropriée. / In this thesis, we address several problems arising in the study of nondegenerate and degenerate parabolic SPDEs, stochastic hyperbolic conservation laws and SDEs with continues coefficients. In the first part, we are interested in degenerate parabolic SPDEs, adapt the notion of kinetic formulation and kinetic solution and establish existence, uniqueness as well as continuous dependence on initial data. As a preliminary result we obtain regularity of solutions in the nondegenerate case under the hypothesis that all the coefficients are sufficiently smooth and have bounded derivatives. In the second part, we consider hyperbolic conservation laws with stochastic forcing and study their approximations in the sense of Bhatnagar-Gross-Krook. In particular, we describe the conservation laws as a hydrodynamic limit of the stochastic BGK model as the microscopic scale vanishes. In the last part, we provide a new and fairly elementary proof of Skorkhod's classical theorem on existence of weak solutions to SDEs with continuous coefficients satisfying a suitable Lyapunov condition.

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie). / This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).

Cette thèse est consacrée au contrôle de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires. On s’intéresse notamment à des systèmes paraboliques de réaction-diffusion non linéaires issus de la cinétique chimique. L’objectif principal est de démontrer des résultats de contrôlabilité locale ou globale, en temps petit, ou en temps grand.Dans une première partie, on démontre un résultat de contrôlabilité locale à des états stationnaires positifs en temps petit, pour un système de réaction-diffusion non linéaire.Dans une deuxième partie, on résout une question de contrôlabilité globale à zéro en temps petit pour un système 2 × 2 de réaction-diffusion non linéaire avec un couplage impair.La troisième partie est consacrée au célèbre problème ouvert d’Enrique Fernández-Cara et d’Enrique Zuazua des années 2000 concernant la contrôlabilité globale à zéro de l’équation de la chaleur faiblement non linéaire. On démontre un résultat de contrôlabilité globale à états positifs en temps petit et un résultat de contrôlabilité globale à zéro en temps long.La dernière partie, rédigée en collaboration avec Karine Beauchard et Armand Koenig, est une incursion vers l’hyperbolique. On étudie des systèmes linéaires à coefficients constants, couplant une dynamique transport avec une dynamique parabolique. On identifie leur temps minimal de contrôle et l’influence de leur structure algébrique sur leurs propriétés de contrôle. / This thesis is devoted to the control of nonlinear partial differential equations. We are mostly interested in nonlinear parabolic reaction-diffusion systems in reaction kinetics. Our main goal is to prove local or global controllability results in small time or in large time.In a first part, we prove a local controllability result to nonnegative stationary states in small time, for a nonlinear reaction-diffusion system.In a second part, we solve a question concerning the global null-controllability in small time for a 2 × 2 nonlinear reaction-diffusion system with an odd coupling term.The third part focuses on the famous open problem due to Enrique Fernndez-Cara and Enrique Zuazua in 2000, concerning the global null-controllability of the weak semi-linear heat equation. We show that the equation is globally nonnegative controllable in small time and globally null-controllable in large time.The last part, which is a joint work with Karine Beauchard and Armand Koenig, enters the hyperbolic world. We study linear parabolic-transport systems with constant coeffcients. We identify their minimal time of control and the influence of their algebraic structure on the controllability properties.

Les systèmes non linéaires sont décrits pour la plupart avec des équations aux dérivées partiellesqui les caractérisent, comme la chaine de pendules couplés, la chaine de protéines comportant des molécules avec liaisons hydrogène, les réseaux atomiques ...etc. Ces modèles comportent le plus souvent des interactions inter particulaires anharmoniques et des potentiels de substrat déformables. En effet, aux conséquences importantes dues à la non linéarité et à la dispersion, ces autres phénomènes comme l’anharmonicité et la déformabilité conduisent à d’autres propriétés de propagation des ondes solitaires telles que les compactons, les kinks et les antikinks , les peakons , … ainsi qu’à la capacité du système à transmettre un signal. Nous utilisons ici la méthode de bifurcation pour tracer les différents portraits de phases obtenus par variation des paramètres du système. Nous mettons en évidence l’influence du facteur d’anharmonicité sur la transmissivité et la bistabilité du système: Il en ressort que l’amplitude du signal d’entrée qui produit la bistabilité augmente avec la valeur absolue du coefficient d’anharmonicité et la bistabilité est retardée. En tenant compte des propriétés importantes générées par de tels systèmes, il nous a paru intéressant de construire une ligne électrique caractérisée par les mêmes équations, mais en doublant sur un tronçon de 10 cellules la valeur de la capacité par rapport à celles des 10 condensateurs suivants, et en reproduisant ce motif avec une périodicité de 20 cellules. Nous réalisons ainsi un super réseau qui simule un neurone myélinisé. Les types de solitons obtenus semblent mieux adaptés pour décrire le signal électrique qui caractérise l’influx neuronal localisé dans l’espace avec un support compact. / Non-linear systems are almostly described by partial differential equations that characterize them. We have some systems such as the chain of coupled pebdelums, the protein chain comprising molecules with hydrogen bonds, atomic lattice, and so on .These systems are most often characterized by anharmonic inter particulate interactions and and then immersed in deformable potential substrates. In addition to nonlinearity and dispersion, these other phenomena namely anharmonicity and deformability are responsible for certain properties of propagation of solitary waves such as (compactons, kinks and anti-kinks, peackons, ...etc) and also the ability of the systems to transmit a signal . We used the bifurcation method to plot the different phase portraits obtained . For various parameters of such systems , we have highlighted the influence of anharmonicity on transmissivity and bistability of the system: It appears that the amplitude of the input signal which produces bistability increases with anharmonicity and the bistability is delayed.To considering these important properties generated by such systems, it seemed interesting to buildin an electrical line characterized by the same equations of the system. By alternately doubling the capacitance of the capacitors of a section of this line, we have realised a super-lattice that simulates a myelinised neuron. The types of solitons we get from this line are better adapted to describe the electrical signal which characterizes the neuron impulse located in space with a compact support.

Les travaux réalisés dans cette thèse concernent l’étude de problèmes quasi-linéaires paraboliques et elliptiques singuliers. Par singularité, nous signifions que le problème fait intervenir une non linéarité qui explose au bord du domaine où l’équation est posée. La présence du terme singulier entraine un manque de régularité des solutions. Ce défaut de régularité génère en conséquence un manque de compacité qui ne permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques d’analyse non linéaires pour démontrer l’existence de solutions et discuter les propriétés de régularité et de comportement asymptotique des solutions. Pour contourner cette difficulté dans le contexte des problèmes que nous avons étudiés, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliées au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes d’interpolation dans les espaces de Sobolev, méthodes de point fixe. / In this thesis I have studied the Evolution p-laplacian equation with singular nonlinearity. We start by studying the corresponding elliptic problem and then by defining a proper cone in a suitable Sobolev space find the uniqueness of the solution. Taking that into account and using the semi discretization in time we arrive at the uniqueness and existence result. Next we prove some regularity theorem using tools from Nonlinear Semigroup theory and Interpolation spaces. We also establish some related result for the laplacian case where we improve our result on the existence and regularity, due to the non degeneracy of the laplacian. In another related work we work with a semilinear equation with singular nonlinearity and using the moving plane method prove the symmetry properties of any classical solution. We also give some related apriori estimates which together with the symmetry provide us the existence of solution using the bifurcation result.

Ce travail apporte une meilleure compréhension des propriétés diélectriques des gels isolants dans le contexte particulier de son utilisation en électronique de puissance. Différentes techniques de mesures qui, pour la plupart ont été développées dans la caractérisation des liquides isolants (visualisation de streamers, détection optique des décharges, mesure de la charge apparente) ont été utilisées. Une méthode optique permettant des mesures de décharges partielles sous tension nonsinusoïdale (ondes à front raide) a été développée. Des décharges dans des cavités et les décharges attribuées à l'effet couronne ont été identifiées. Un régime de décharges réversibles et un régime de dégradation où les propriétés d'auto-cicatrisation du matériau sont réduites ont été mis en évidence. La fréquence des décharges augmente considérablement avec la température. Elles pourraient contribuer à l'accélération du vieillissement des assemblages à long terme. Les décharges partielles apparaissent plus facilement sous tension impulsionnelle qu'en alternatif. La visualisation des phénomènes générés sous champ élevé (génération et propagation de “streamers”) permet de mieux caractériser les mécanismes mis en jeu. Les mesures conventionnelles de décharges partielles en alternatif selon la norme CEI ne sont pas pertinentes dans le cas de la caractérisation du gel sous contraintes impulsionnelle. Une étude du claquage du gel silicone dans diverses configurations d'électrodes (tailles, formes) en fonction de la température et de la forme de l'onde de tension montre qu'il dépend de la surface des électrodes. Le gel se rapproche beaucoup plus d'un liquide non polaire que d'un solide.

Ce mémoire porte sur la simulation numérique de la réponse des capteurs de pression capacitifs micro-électroniques. Les courbes de réponse du capteur capacitif classique, en fonction d'une pression constante, sont établies. L'auteur examine ensuite les modifications apportées à ces courbes lorsqu'une pression électrostatique est superposée à la pression constante. La suite de ce travail est consacrée à l'étude de capteurs capacitifs de structures plus complexes. Les capteurs à armature déformable d'épaisseur variable sont traités. L'auteur montre l'influence de la variation de l'épaisseur sur la réponse du capteur. Il présente ensuite une étude des capteurs de géométrie polygonale et propose deux applications permettant d'élargir la gamme de pressions. Une analyse du comportement des capteurs en régime de contact est effectuée : la sensibilité des courbes de réponse est nettement améliorée par ce mode de fonctionnement. L'auteur propose finalement une modélisation des capteurs capacitifs en utilisant la théorie non linéaire des fortes déflexions de von Karman. Il est indispensable de tenir compte de cette théorie dès que la déflexion de la plaque sensible est de l'ordre de grandeur de son épaisseur. La simulation des problèmes développés dans ce mémoire fait intervenir des équations et des sytèmes d'équations aux dérivées partielles, linéaires et non linéaires, à deux variables d'espace. La discrétisation de ces équations est effectuée par la méthode générale des différences finies. La résolution des équations résultantes est obtenue par les méthodes itératives du type gradient conjugué et Newton-Raphson. Un logiciel convivial de discrétisation des équations aux dérivées partielles stationnaires linéaires ou non linéaires a été développé. L'auteur présente finalement une étude de la méthode des différences finies curvilignes et de son application à la deflexion des plaques.

Avant d'estimer les paramètres intervenant dans des systèmes dynamiques, linéaires ou non-linéaires, contrôlés ou non contrôlés, il est important d'effectuer une étude d'identifiabilité, c'est à dire si, à partir des données expérimentales, les paramètres étudiés sont uniques ou non. Plusieurs méthodes ont été développées ces dernières années, en particulier une qui est basée sur l'algèbre différentielle. Celle-ci a conduit à un algorithme utilisant le package Diffalg implémenté sous Maple et permettant de tester l'identifiabilité de systèmes d'équations différentielles. Les résultats obtenus à partir de cette étude permettent de mettre en place des méthodes numériques pour obtenir une première estimation des paramètres, ceci sans aucune connaissance à priori de leur valeur. Cette première estimation peut alors être utilisée comme point de départ d'algorithmes itératifs spécialisés dans l'étude des problèmes mal posés : la régularisation de Tikhonov. <br />Dans cette thèse, deux modèles non linéaires en pharmacocinétique de type Michaelis-Menten ont tout d'abord été étudiés. Ensuite, nous nous sommes intéressés à un modèle de pollution décrit par une équation aux dérivées partielles parabolique. Le terme source à identifier était modélisé par le produit de la fonction débit avec la masse de Dirac, de support la position de la source polluante. Le but du travail était de fournir une première estimation de la source polluante. Après avoir obtenu l'identifiabilité du problème continu, nous avons étudié l'identifiabilité d'un problème approché en nous appuyant sur les méthodes d'algèbre différentielle. Celui-ci a été obtenu en approchant la masse de Dirac par une fonction gaussienne et en discrétisant ensuite le système en espace. Les résultats d'identifiabilité ont été obtenus quel que soit le nombre de points de discrétisation en espace. De cette étude théorique, nous en avons déduit des algorithmes numériques donnant une première estimation des paramètres à identifier.

Ces travaux sont dédiés au développement de méthodes numériques à base d'ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles et pour le traitement d'images. La première partie est consacrée à la construction d'une nouvelle méthode couplant ondelettes et domaines fictifs pour la résolution d'équations paraboliques 2D définies sur un domaine quelconque. Une analyse complète de la méthode est fournie; elle montre l'efficacité de cette approche en terme de qualité des résultats (borne d'erreur, raffinement local), d'efficacité numérique (conditonnement, préconditionnement simple) et de flexibilité de l'implémentation (implémentation rapide et efficace). Deux applications numériques à la résolution de l'équation de la chaleur définie sur des domaines non polygonaux ou à frontière mobile (problème de Stefan) sont présentées. La seconde partie est consacrée à la construction d'un nouvel algorithme de compression d'images adapté aux contours. On commence par introduire des analyses multi-échelles 1D du type Harten, dépendant d'une famille de points. Ces analyses conduisent à des décompositions multi-échelles efficaces pour la représentation de signaux discontinus. Cette approche est ensuite généralisée au cas bi-dimensionnel et un algorithme de compression multi-directionnel dépendant des contours de l'image est introduit. Il utilise une carte des contours obtenue préalablement. Plusieurs comparaisons avec d'autres approches sont ensuite présentées.

La description des mécanismes de conduction dans les dispositifs semi-conducteurs par le modèle dérive-diffusion (DD) mène à un système de trois équations aux dérivées partielles non linéaires fortement couplées. Cette thèse est composée de trois parties. La première est consacrée à la mise en équations et à la présentation des régimes de fonctionnement ainsi que la simplification du modèle dans le cas d'une jonction pn. La deuxième partie consiste à identifier la zone de dépletion dans une jonction PN. En formulant le problème en un problème d'inéquations variationnelles, nous démontrons que le problème admet une solution. L'originalité numérique de cette partie est l'utilisation des noeuds sur la frontière libre comme inconnus. Nous proposons deux algorithmes de résolution que nous testons en utilisant la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à l'étude mathématique du modèle DD à l'état stationnaire dans les semi-conducteurs écrit avec les variables de Slotboom. Nous démontrons l'existence d'une solution, dans le cas où les lois de mobilités dépendent du champ électrique, en appliquant les techniques de l'analyse convexe. Ensuite, nous considérons que le terme d'avalanche est non nul, nous donnons des estimations a priori et nous prouvons un théorème d'existence. Afin d'étudier l'unicité de solutions de notre modèle, nous exposons tout d'abord une condition pour que le système possède au plus une solution. Nous en déduisons des résultats d'unicité dans des cas spécifiques tels que le domaine soit suffisamment petit ou la permittivité soit assez grande. Nous donnons un théorème d'unicité locale dans les cas où le terme d'avalanche est non nul et les changements de conditions aux limites se font à angles droits.