L’objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l’action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L’auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l’aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald / The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems. First, the symmetric group acts naturally on the rational function (…), by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction (…). The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur’s basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack’s functions. Finally, we introduce a q-deformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald’s polynomials

L'objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l'action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L'auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l'aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald

Cette thèse porte sur la propagation des ondes magnéto-électro-élastiques dans les structures inhomogènes, et tout particulièrement de l’effet d’un champ magnétique externe sur des structures multicouches et des cristaux phononiques combinant des matériaux à la fois piézoélectriques et magnéto-élastiques. Pour déterminer les caractéristiques des ondes se propageant dans ces structures magnéto-électro-élastiques, un modèle de matériau piézomagnétique équivalent à un matériau magnéto-élastique en couche mince, polarisé à saturation autour d’une position d’équilibre définie par l’orientation et l’amplitude d’un champ magnétique externe appliqué à celui-ci, est développé. Il est combiné à une méthode originale de calcul des courbes de dispersion dans les multicouches, basée sur une décomposition en polynômes de Legendre pour les couches d’épaisseur finie, et en polynômes de Laguerre pour le substrat semi-infini. Ce modèle est utilisé pour le cas d’un film mince de TbCo2/FeCo, présentant une anisotropie magnétique uni-axiale dans le plan et une magnétostriction géante, déposé sur un substrat de LiNbO3 sous forme de film ou en réseau de plots cylindriques. On montre que dans ce dernier cas, correspondant à un cristal phononique magnéto-élastiques à résonance locale, il est possible de contrôler sans aucun contact la structure de bande par l’application d’un champ magnétique externe. Ainsi, une sensibilité de 50 kHz par Oersted a été calculée pour une bande plate située dans le gap de Bragg d’un tel cristal phononique. Cette sensibilité est suffisante pour envisager une application du dispositif comme un détecteur très sensible de champs magnétiques localisés / This thesis focuses on the propagation of magneto-electro-elastic waves in inhomogeneous structures, and in particular the effect of an external magnetic field on multilayer structures and on phononic crystals that combine both piezoelectric and magneto-elastic materials. To determine the characteristics of waves propagating in magneto-electro-elastic structures, an effective piezomagnetic material model, equivalents to a thin layer of magneto-elastic material, is developed. The thin layer is polarized to saturation around the equilibrium position defined by the direction and amplitude of an external magnetic field. This model is combined with a method of dispersion curves calculation in multilayer structures, based on a decomposition in Legendre polynomials for layers of finite thickness and Laguerre polynomials for a semi-infinite substrate. The model is used for the case of a TbCo2/FeCo thin film, presenting an in plane uniaxial magnetic anisotropy and a giant magnetostriction, deposited as a film, or as a lattice of cylinders, on a substrate of LiNbO3. It is shown that in the latter case, corresponding to a local resonance magneto-elastic phononic crystal, it is possible to control, without any contact, the band structure by applying an external magnetic field. Thus, a sensitivity of 50kHz by Oersted was calculated for a flat band located in Bragg band gap for such phononic crystal. This sensitivity is sufficient to enable the use of this device as a sensitive detector of localized magnetic fields

Les algèbres de Hecke apparaissent naturellement dans la théorie des représentations des groupes réductifs sur des corps finis ou p-adiques. Ces algèbres sont des spécialisations des algèbres de Iwahori-Hecke qui peuvent être définies de manière combinatoire à partir d'un groupe de Coxeter et d'une fonction de poids sans faire référence à la théorie des groupes réductifs. C'est ce point de vue qui est adopté dans ce travail. Les cellules de Kazhdan-Lusztig jouent un rôle fondamental dans l'étude des algèbres de Iwahori-Hecke. Le but de ce travail est d'étudier les cellules de Kazhdan-Lusztig dans les groupes de Weyl affines à paramètres inégaux. Les principaux résultats de cette thèse sont l'invariance des polynômes de Kazhdan-Lusztig par translation, la décomposition de la cellule bilatère minimale en cellules gauches et la décomposition du groupe de Weyl affine de type G en cellules pour toute une classe de fonctions de poids.

L'objet de ce travail de recherche est de construire un modèle approché en vue de simuler les trajectoires d'un processus stochastique non gaussien strictement stationnaire sous la seule donnée (incomplète) de sa loi marginale d'ordre un, ou des N premiers moments de cette loi, et de sa fonction d'autocorrélation. La méthode de simulation développée au cours de cette thèse s'appuie sur deux méthodes bien connues de simulation de processus gaussiens : la méthode spectrale et la markovianisation. D'autre part, si seuls les N premiers moments de la loi marginale sont donnés, le principe de maximum d'entropie est utilisé pour choisir cette loi. A partir de la loi marginale est construite une transformation non linéaire qui est ensuite projetée sur la base des polynomes d'Hermite. Le modèle construit consiste donc en une transformation polynomiale d'un processus gaussien stationnaire standard dont la fonction d'autocorrélation est déterminée à l'aide d'un problème de minimisation. Cette méthode de simulation est mise en oeuvre dans des exemples numériques inspirés de l'ingénierie mécanique. Enfin, les convergences en moyenne quadratique et presque-sure du modèle ont été étudiées.

L'objet de cette thèse est l'étude des corps munis d'une dérivation de Hasse, sous l'angle de la théorie des modèles. Les deux premières parties sont dédiées à des rappels sur les propriétés algébriques des dérivations de Hasse et modèle-théoriques sur les corps munis d'une dérivation de Hasse qui sont existentiellement clos (axiomatisation, stabilité,...). On introduit dans la troisième partie un analogue de la géométrie algébrique prenant en compte la dérivation de Hasse ; et on l'utilise pour décrire les objets définissables dans les structures étudiées (via les prolongations, les D-structures,...). On s'intéreese dans la quatrième partie au cas particulier des sous-groupes infiniment définissables dans les groupes algébriques. La cinquième partie est dédié au cas de la caractéristique nulle, en particulier sur les différentes notions de rang.

Cette thèse concerne les valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). Avec une bonne renormalisation, les caractères s’écrivent comme des polynômes en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires d’une part et en fonction des cumulants libres d’autre part ( ce sont des observables du diagramme apparaissant naturellement dans des problèmes d’asymptotique). Nous avons donné des interprétations combinatoires des coefficients de ces différentes expressions. Celles-ci peuvent s’exprimer en termes de cartes, dont le genre est lié au comportement asymptotique du terme correspondant. Ce type d’expression permet d’une part de bien comprendre le comportement asymptotique : nous avons ainsi amélioré les bornes connues sur les caractères ainsi que le domaine de validité d’équivalents classique. D’autre part, la combinatoire apparaissant dans ces questions est riche et a pu être utilisée dans l’étude d’identité sur des fractions rationnelles / The main object of this thesis is the (normalized) irreducible character values of the symmetric group, seen as a function of the partition indexing the representation (and not of the permutation on which we compute the character value). With a good rescaling, the characters can be written as polynomials in so-called Stanley coordinates or in terms of free cumulants (the latter are observables of the diagram, which appear naturally in the asymptotics study of character values). We give a combinatorial interpretation for the coefficients of these two expressions. More precisely, the summans are indexed by maps, whose genus is linked with their asymptotic behaviour. This kind of expression is very useful to obtain asymptotic results : for example, one has given upper bounds on character values and enlarged the domain of validity of some known equivalents. Moreover, the combinatorics involved in these questions is interesting and has been applied to identities on rational functions

Travail réalisé en cotutelle avec l'université Paris-Diderot et le Commissariat à l'Energie Atomique sous la direction de John Harnad et Bertrand Eynard. / Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien (beta quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ``géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ``quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques. L'étendue des domaines abordés étant très vaste, l'objectif de la thèse est de présenter de façon la plus simple possible chacun des domaines mentionnés précédemment et d'analyser en quoi les modèles de matrices peuvent apporter une aide précieuse dans leur résolution. Le fil conducteur étant les modèles matriciels, chaque partie a été conçue pour être abordable pour un spécialiste des modèles de matrices ne connaissant pas forcément tous les domaines d'application présentés ici. / This thesis deals with the geometric and integrable aspects associated with random matrix models. Its purpose is to provide various applications of random matrix theory, from algebraic geometry to partial differential equations of integrable systems. The variety of these applications shows why matrix models are important from a mathematical point of view. First, the thesis will focus on the study of the merging of two intervals of the eigenvalues density near a singular point. Specifically, we will show why this special limit gives universal equations from the Painlevé II hierarchy of integrable systems theory. Then, following the approach of (bi) orthogonal polynomials introduced by Mehta to compute partition functions, we will find Riemann-Hilbert and isomonodromic problems connected to matrix models, making the link with the theory of Jimbo, Miwa and Ueno. In particular, we will describe how the hermitian two-matrix models provide a degenerate case of Jimbo-Miwa-Ueno's theory that we will generalize in this context. Furthermore, the loop equations method, with its central notions of spectral curve and topological expansion, will lead to the symplectic invariants of algebraic geometry recently proposed by Eynard and Orantin. This last point will be generalized to the case of non-hermitian matrix models (arbitrary beta) paving the way to ``quantum algebraic geometry'' and to the generalization of symplectic invariants to ``quantum curves''. Finally, this set up will be applied to combinatorics in the context of topological string theory, with the explicit computation of an hermitian random matrix model enumerating the Gromov-Witten invariants of a toric Calabi-Yau threefold. Since the range of the applications encountered is large, we try to present every domain in a simple way and explain how random matrix models can bring new insights to those fields. The common element of the thesis being matrix models, each part has been written so that readers unfamiliar with the domains of application but familiar with matrix models should be able to understand it.

Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien (beta quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ``géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ``quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques. L'étendue des domaines abordés étant très vaste, l'objectif de la thèse est de présenter de façon la plus simple possible chacun des domaines mentionnés précédemment et d'analyser en quoi les modèles de matrices peuvent apporter une aide précieuse dans leur résolution. Le fil conducteur étant les modèles matriciels, chaque partie a été conçue pour être abordable pour un spécialiste des modèles de matrices ne connaissant pas forcément tous les domaines d'application présentés ici. / This thesis deals with the geometric and integrable aspects associated with random matrix models. Its purpose is to provide various applications of random matrix theory, from algebraic geometry to partial differential equations of integrable systems. The variety of these applications shows why matrix models are important from a mathematical point of view. First, the thesis will focus on the study of the merging of two intervals of the eigenvalues density near a singular point. Specifically, we will show why this special limit gives universal equations from the Painlevé II hierarchy of integrable systems theory. Then, following the approach of (bi) orthogonal polynomials introduced by Mehta to compute partition functions, we will find Riemann-Hilbert and isomonodromic problems connected to matrix models, making the link with the theory of Jimbo, Miwa and Ueno. In particular, we will describe how the hermitian two-matrix models provide a degenerate case of Jimbo-Miwa-Ueno's theory that we will generalize in this context. Furthermore, the loop equations method, with its central notions of spectral curve and topological expansion, will lead to the symplectic invariants of algebraic geometry recently proposed by Eynard and Orantin. This last point will be generalized to the case of non-hermitian matrix models (arbitrary beta) paving the way to ``quantum algebraic geometry'' and to the generalization of symplectic invariants to ``quantum curves''. Finally, this set up will be applied to combinatorics in the context of topological string theory, with the explicit computation of an hermitian random matrix model enumerating the Gromov-Witten invariants of a toric Calabi-Yau threefold. Since the range of the applications encountered is large, we try to present every domain in a simple way and explain how random matrix models can bring new insights to those fields. The common element of the thesis being matrix models, each part has been written so that readers unfamiliar with the domains of application but familiar with matrix models should be able to understand it. / Travail réalisé en cotutelle avec l'université Paris-Diderot et le Commissariat à l'Energie Atomique sous la direction de John Harnad et Bertrand Eynard.

Dans la partie principale de cette these on considère la theorie euclidienne constructive des champs. La théorie constructive (ou la renormalisation constructive) propose l'étude mathématiquement rigoureuse de l'existence et des propriétés non perturbatives de la théorie quantique des champs. Les méthodes traditionnelles de la théorie constructive sont les développements en amas et le groupe de renormalisation de Wilson. Mais il y a aussi des défauts de ces deux méthodes: premièrement, les techniques du développement en amas et de Mayer sont compliquées, donc sont difficiles à utiliser. Deuxièmement, ces méthodes ne peuvent pas s'appliquer pour les théories quantiques des champs noncommutatives, où il n'y a pas de localité sur l'espace et l'interaction est non-locale.Récemment une nouvelle méthode a été trouvée qui s'appelle loop vertex expansion (LVE), ou développement de vertex à boucle, qui est une combinaison de la technique des champs intermédiaires et de la formule des forêt (la formule de BKAR), qui peut résoudre ces deux problèmes avec succès.Avec cette méthode, on n'a pas besoin du développement de Mayer et le développement en amas est aussi simplifié. Et comme le terme d'interaction devient non-local aussi, cette méthode s'applique bien pour les théories quantique des champs noncommutatives, par exemple, le modèle de Grosse-Wulkenhaar, qui est un modèle λΦ4 avec un potentiel harmonique dans l'espace de Moyal. C'est le premier modèle de la théorie quantique des champs noncommutative qui est renormalisable. De plus, la fonction β est nulle quand on attend le point fixe ultraviolet de cette théorie. Donc c'est aussi un modèle naturel qu'on peut construire non-perturbativement.Dans cette thèse nous allons construire le modèle de Grosse-Wulkenhaar à 2-dimensions avec la LVE.Dans le reste de cette these nous considerons aussi la construction des varieties noncommutative par les états coherents et les polynomes topological pour les graphes de Feyman dans les théorie commutatives et noncommutatives.