Dans cette thèse nous étudions la caractérisation et l'énumération de polyominos définis par des contraintes de convexité et ou d'évitement de motifs. Nous nous intéressons à l'énumération des polyominos k-convexes selon le semi périmètre, qui n'était connue que pour k=1,2. Nous énumérons une sous classe, les polyominos k-parallélogrammes, grâce à une décomposition récursive dont nous déduisons la fonction génératrice qui est rationnelle. Cette fonction génératrice s'exprime à l'aide des polynômes de Fibonacci, ce qui nous permet d'en déduire une bijection avec les arbres planaires ayant une hauteur inférieure ou égale à k+2. Dans la deuxième partie, nous examinons la notion d'évitement de motif, qui a été essentiellement étudiée pour les permutations. Nous introduisons ce concept dans le contexte de matrices de permutations et de polyominos. Nous donnons des définitions analogues à celles données pour les permutations et nous explorons ses propriétés ainsi que celles du poste associé. Ces deux approches peuvent être utilisées pour traiter des problèmes ouverts sur les polyominos ou sur d'autres objets combinatoires.

Dans cette thèse nous étudions la caractérisation et l'énumération de polyominos définis par des contraintes de convexité et ou d'évitement de motifs. Nous nous intéressons à l'énumération des polyominos k-convexes selon le semi périmètre, qui n'était connue que pour k=1,2. Nous énumérons une sous classe, les polyominos k-parallélogrammes, grâce à une décomposition récursive dont nous déduisons la fonction génératrice qui est rationnelle. Cette fonction génératrice s'exprime à l'aide des polynômes de Fibonacci, ce qui nous permet d'en déduire une bijection avec les arbres planaires ayant une hauteur inférieure ou égale à k+2. Dans la deuxième partie, nous examinons la notion d'évitement de motif, qui a été essentiellement étudiée pour les permutations. Nous introduisons ce concept dans le contexte de matrices de permutations et de polyominos. Nous donnons des définitions analogues à celles données pour les permutations et nous explorons ses propriétés ainsi que celles du poste associé. Ces deux approches peuvent être utilisées pour traiter des problèmes ouverts sur les polyominos ou sur d'autres objets combinatoires. / In this thesis, we consider the problem of characterising and enumerating sets of polyominoes described in terms of some constraints, defined either by convexity or by pattern containment. We are interested in a well-known subclass of convex polyominoes, the k-convex polyominoes for which the enumeration according to the semi-perimeter is known only for k=1,2. We obtain, from recursive decomposition, the generating function of the class of k-convex parallelogram polyominoes, which turns out to be rational. Noting that this generating function can be expressed in terms of the Fibonacci polynomials, we describe a bijection between the class of k-parallelogram polyominoes and the class of planted planar trees having height less than k+3. In the second part of the thesis we examine the notion of pattern avoidance, which has been extensively studied for permutations. We introduce the concept of pattern avoidance in the context of matrices, more precisely permutation matrices and polyomino matrices. We present definitions analogous to those given for permutations and in particular we define polyomino classes, i.e. sets downward closed with respect to the containment relation. So, the study of the old and new properties of the redefined sets of objects has not only become interesting, but it has also suggested the study of the associated poset. In both approaches our results can be used to treat open problems related to polyominoes as well as other combinatorial objects.

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Cette thèse propose l'étude des propriétés locales satisfaites par le modèle d'Ising défini sur un graphe torique d-dimensionnel. Lorsque la taille n du graphe tend vers l'infini, une limite pour leur probabilité d'apparition est obtenue en fonction des potentiels de surface a=a(n) et de paire b=b(n). En mettant en évidence un phénomème de seuil, nous déterminons le moment d'apparition dans le graphe d'une propriété locale donnée. Puis, en se plaçant à sa fonction seuil, nous démontrons une approximation poissonnienne pour sa probabilité d'apparition. Enfin, deux applications sont proposées : une estimation des potentiels a et b ainsi qu'un algorithme de débruitage d'images en niveaux de gris.

Cette thèse porte sur l’interprétation combinatoire des probabilitésde l’état stationnaire de l’ASEP par les tableaux escaliers, sur les arbresnon-ambigus et sur les polyominos parallélogrammes périodiques.Dans une première partie, nous étudions l’ansatz matriciel de Derrida,Evans, Hakim et Pasquier. Toute solution de ce système d’équation permet decalculer les probabilités stationnaires de l’ASEP. Nos travaux définissent denouvelles récurrences équivalentes à celles de l’ansatz matriciel. En définissantun algorithme d’insertion sur les tableaux escaliers, nous montrons combinatoirementet simplement qu’ils les satisfont. Nous faisons de même pour l’ASEPà deux particules. Enfin, nous énumérons les coins dans les tableaux associésà l’ASEP, nous permettant ainsi de donner le nombre moyen de transitionspossibles depuis un état de l’ASEP.Dans une deuxième partie, nous calculons de jolies formules pour les sériesgénératrices des arbres non-ambigus, desquelles nous déduisons des formulesd’énumérations. Puis, nous interprétons bijectivement certains de ces résultats.Enfin, nous généralisons les arbres non-ambigus à toutes les dimensions finies.Dans la dernière partie, nous construisons une structure arborescente surles polyominos parallélogrammes périodiques, inspirée des travaux de Boussicault,Rinaldi et Socci. Cela nous permet de calculer facilement leur sériegénératrice selon la hauteur et la largeur ainsi que deux nouvelles statistiques :la largeur intrinsèque et la hauteur de recollement intrinsèque. Enfin, nousétudions l’ultime périodicité de leur série génératrice selon l’aire. / This thesis deals with a combinatorial interpretation of the stationnarydistribution of the ASEP given by staircase tableaux and studiestwo combinatorial objects : non-ambiguous trees and periodic parallelogrampolyominoes.In the first part, we study the matrix ansatz introduced by Derrida, Evans,Hakim and Pasquier. Any solution of this equation system can be used tocompute the stationnary probabilities of the ASEP. Our work defines newrecurrences equivalent to the matrix ansatz. By defining an insertion algorithmfor staircase tableaux, we prove combinatorially and easily that they satisfyour new recurrences. We do the same for the ASEP with two types of particles.Finally, we enumerate the corners of the tableaux related to the ASEP, whichgives the average number of transitions from a state of the ASEP.In the second part, we compute nice formulas for the generating functionsof non-ambiguous trees, from which we deduce enumeration formulas. Then, wegive a combinatorial interpretation of some of our results. Lastly, we generalisenon-ambiguous trees to every finite dimension.In the last part, we define a tree structure in periodic parallelogram polyominoes,motivated by the work of Boussicault, Rinaldi and Socci. It allowsus to compute easily the generating function with respect to the height andthe width as well as two new statistics : the intrinsic width and the intrinsicgluing height. Finally, we investigate the ultimate periodicity of the generatingfunction with respect to the area.