The aim of this thesis was to find anomalies of elastic properties induced by topological changes of the Fermi surface. The latter are called "Lifshitz transitions". Lifshitz transitions are an interesting subject to study because a topological change of the Fermi surface results in a van Hove singularity of the density of states at the Fermi energy, which again induces an anomaly in the free energy and therefore yield anomalies of observable physical quantities. In all cases the question arose, if the corresponding van Hove singularities are large enough to cause anomalies in the elastic properties, which are measurable by nowadays experimental techniques and computable within the accuracy reachable in nowadays computer calculations. The calculations have been done with the Full-Potential nonorthogonal Local-Orbital minimum-basis band-structure code FPLO. To shift the van Hove singularities through the Fermi energy we used hydrostatic pressure, which is mimicked in the computations by decreasing the volume of the unit cell. The materials under consideration had been YCo5 and LaCo5 as examples for magnetic compounds and the element Osmium as an example for a non-magnetic material. All these materials exhibit hexagonal symmetry. In the case of YCo5 our calculations yield a first order Lifshitz transition. Here, an extraordinarily large peak in the spin-up part of the DOS, which is caused by a nearly dispersionless band in the hexagonal plane, crosses the Fermi level under a pressure of about 21 GPa. Thus, the spin-up 3d states become partly depopulated, which results in a drop of the total magnetic moment of 35%. Therefore the transition can be regarded as a transition from strong to weak ferromagnetism. Further, the transition results in a volume collapse of 1.4%. Though the volume collapse is isomorphic, it exhibits the following anisotropy: while the lattice constant in the hexagonal plane is almost smoothly contracting with increasing pressure, the lattice constant in c-direction collapses at the transition-pressure. This volume collapse has been verified in experiment. Analogous calculations have been performed for the compound LaCo5, which is isoelectronic to YCo5. Here as well we predict a first order Lifshitz transition, taking place at a pressure of about 23 GPa. The mechanism of the transition is the same than in YCo5. Again we find a volume collapse under pressure together with a decrease of the magnetic moment. The relative volume change amounts to 1.3%. Like in YCo5, the unit cell dimensions in the hexagonal plane are decreasing almost smoothly with pressure while in c-direction the lattice constant collapses at the transition-pressure. For LaCo5 there are no such experiments done so far to the best of our knowledge. For Osmium we found, that LDA reproduces the ground state volume very well. Furthermore, we could detect three Lifshitz transitions taking place at very high pressures of about 72 GPa, 81 GPa, and 122 GPa. At first, a hole ellipsoid appears at the Gamma-point (V=24.6Å^3, P=72 GPa), then a neck is created at the symmetry-line LH (V=24.2Å^3, P=81 GPa), and finally a hole ellipsoid appears at the L-point (V=23.2 Å^3, P=122 GPa). Due to a degeneracy in the band structure, the hole ellipsoid at the L-point appears at the same pressure when the necks, situated at the symmetry-lines LH merge at L. The corresponding van Hove singularities in the DOS are very tiny and thus no anomalies in the elastic properties could be detected. Furthermore, we showed that the kink in c/a at 25 GPa and at 27 GPa found by Occelli et al. [Occelli et al., Phys. Rev. Lett. 93, 095502 (2004)] and Ma et al. [Ma et al., Phys. Rev. B 72, 174103 (2005)], respectively, is not statistically significant and that (c/a)(P) can be fitted equally well by a smooth function as by piece-wise linear functions as proposed in these references. / Das Ziel dieser Arbeit war es, Anomalien in den elastischen Eigenschaften zu finden, die durch topologische Änderungen der Fermifläche - genannt "Lifschitz Übergänge" - hervorgerufen werden. Lifschitz Übergänge sind ein interessantes Forschungsgebiet, denn die topologische Änderung der Fermifläche führt zu einer van Hove Singularität in der Zustandsdichte, die an der Fermienergie liegt und eine Anomalie in der freien Energie hervorruft und deswegen zu Anomalien in beobachtbaren physikalischen Größen führt. In allen Fällen kam die Frage auf, ob die entsprechenden van Hove Singularitäten groß genug sind, um mit heutigen Methoden meßbare und berechenbare Anomalien in den elastischen Eigenschaften zu verursachen. Die Daten wurden mit dem Computerprogramm FPLO (Full-Potential nonorthogonal Local-Orbital minimum-basis band-structure scheme) berechnet. Um die van Hove Singularitäten durch die Fermienergie zu schieben, verkleinerten wir das Volumen der Einheitszelle, um hydrostatischen Druck zu simulieren. Als zu untersuchende Stoffe wurden YCo5 und LaCo5 als Beispiele für magnetische Verbindungen gewählt und Osmium als Beispiel für ein nicht magnetisches Element. Im Falle von YCo5 fanden wir einen Lifschitz Übergang erster Ordnung. Hier springt ein besonders großer Peak im Spin-auf Teil der Zustandsdichte unter einem Druck von ca. 21 GPa über die Fermienergie. Dadurch werden die Spin-auf 3d Zustände teilweise unbesetzt und das magnetische Moment verringert sich um 35%. Deswegen kann man den Übergang als einen Übergang von starkem Ferromagnetismus zu schwachem Ferromagnetismus bezeichnen. Das Volumen verkleinert sich hierbei um 1.4%. Obwohl dieser Volumenkollaps isomorph ist, zeigt er folgende Anisotropie: während die Gitterkonstante in der hexagonalen Ebene mit zunehmendem Druck mehr oder weniger glatt kontrahiert, kollabiert am Übergangsdruck die Gitterkonstante in c-Richtung. Dieser Volumenkollaps wurde vom Experiment verifiziert. Analoge Rechnungen wurden für die Verbindung LaCo5, die isoelektronisch zu YCo5 ist, durchgeführt. Auch hier sagen wir einen Lifschitz Übergang erster Ordnung voraus, der bei einem Druck von ca. 23 GPa stattfinden wird. Der Mechanismus dieses Übergangs ist der selbe wie in YCo5. Wiederum finden wir einen Volumenkollaps unter Druck zusammen mit einer Verringerung des magnetischen Moments. Die relative Volumenänderung beträgt hier 1.3%. Wie in YCo5 verläuft hier die Kontraktion der Gitterkonstante in der hexagonalen Ebene mehr oder weniger glatt, während die Gitterkonstante in c-Richtung am Übergang kollabiert. Für LaCo5 existieren unseres Wissens hierzu noch keine Experimente. Im Falle von Osmium fanden wir drei Lifschitz Übergänge bei sehr hohen Drücken von ca. 72 GPa, 81 GPa, und 122 GPa. Zuerst bildet sich ein Lochellipsoid am Gamma-Punkt (V=24.6Å^3, P=72 GPa), dann bildet sich ein Hals an der Symmetrielinie LH (V=24.2Å^3, P=81 GPa), und zum Schluß erscheint ein Lochellipsoid am L-Punkt (V=23.2 Å^3, P=122 GPa). Auf Grund einer Entartung in der Bandstruktur taucht das Lochellipsoid am L-Punkt an dem Druck auf, an dem sich auch die Hälse auf der Symmetrielinie LH bei L verbinden. Die entsprechenden van Hove Singularitäten in der Zustandsdichte sind jedoch extrem klein und deswegen können keine Anomalien in den elastischen Eigenschaften detektiert werden. Desweiteren zeigten wir, daß der Knick in c/a, den Occelli et al. [Occelli et al., Phys. Rev. Lett. 93, 095502 (2004)] bei 25 GPa und Ma et al. [Ma et al., Phys. Rev. B 72, 174103 (2005)] bei 27 GPa fanden, statistisch nicht relevant ist und daß (c/a)(P) genauso gut von einer glatten Funktion gefittet wird als von stückweise linearen Funktionen.

The aim of this thesis was to find anomalies of elastic properties induced by topological changes of the Fermi surface. The latter are called "Lifshitz transitions". Lifshitz transitions are an interesting subject to study because a topological change of the Fermi surface results in a van Hove singularity of the density of states at the Fermi energy, which again induces an anomaly in the free energy and therefore yield anomalies of observable physical quantities. In all cases the question arose, if the corresponding van Hove singularities are large enough to cause anomalies in the elastic properties, which are measurable by nowadays experimental techniques and computable within the accuracy reachable in nowadays computer calculations. The calculations have been done with the Full-Potential nonorthogonal Local-Orbital minimum-basis band-structure code FPLO. To shift the van Hove singularities through the Fermi energy we used hydrostatic pressure, which is mimicked in the computations by decreasing the volume of the unit cell. The materials under consideration had been YCo5 and LaCo5 as examples for magnetic compounds and the element Osmium as an example for a non-magnetic material. All these materials exhibit hexagonal symmetry. In the case of YCo5 our calculations yield a first order Lifshitz transition. Here, an extraordinarily large peak in the spin-up part of the DOS, which is caused by a nearly dispersionless band in the hexagonal plane, crosses the Fermi level under a pressure of about 21 GPa. Thus, the spin-up 3d states become partly depopulated, which results in a drop of the total magnetic moment of 35%. Therefore the transition can be regarded as a transition from strong to weak ferromagnetism. Further, the transition results in a volume collapse of 1.4%. Though the volume collapse is isomorphic, it exhibits the following anisotropy: while the lattice constant in the hexagonal plane is almost smoothly contracting with increasing pressure, the lattice constant in c-direction collapses at the transition-pressure. This volume collapse has been verified in experiment. Analogous calculations have been performed for the compound LaCo5, which is isoelectronic to YCo5. Here as well we predict a first order Lifshitz transition, taking place at a pressure of about 23 GPa. The mechanism of the transition is the same than in YCo5. Again we find a volume collapse under pressure together with a decrease of the magnetic moment. The relative volume change amounts to 1.3%. Like in YCo5, the unit cell dimensions in the hexagonal plane are decreasing almost smoothly with pressure while in c-direction the lattice constant collapses at the transition-pressure. For LaCo5 there are no such experiments done so far to the best of our knowledge. For Osmium we found, that LDA reproduces the ground state volume very well. Furthermore, we could detect three Lifshitz transitions taking place at very high pressures of about 72 GPa, 81 GPa, and 122 GPa. At first, a hole ellipsoid appears at the Gamma-point (V=24.6Å^3, P=72 GPa), then a neck is created at the symmetry-line LH (V=24.2Å^3, P=81 GPa), and finally a hole ellipsoid appears at the L-point (V=23.2 Å^3, P=122 GPa). Due to a degeneracy in the band structure, the hole ellipsoid at the L-point appears at the same pressure when the necks, situated at the symmetry-lines LH merge at L. The corresponding van Hove singularities in the DOS are very tiny and thus no anomalies in the elastic properties could be detected. Furthermore, we showed that the kink in c/a at 25 GPa and at 27 GPa found by Occelli et al. [Occelli et al., Phys. Rev. Lett. 93, 095502 (2004)] and Ma et al. [Ma et al., Phys. Rev. B 72, 174103 (2005)], respectively, is not statistically significant and that (c/a)(P) can be fitted equally well by a smooth function as by piece-wise linear functions as proposed in these references. / Das Ziel dieser Arbeit war es, Anomalien in den elastischen Eigenschaften zu finden, die durch topologische Änderungen der Fermifläche - genannt "Lifschitz Übergänge" - hervorgerufen werden. Lifschitz Übergänge sind ein interessantes Forschungsgebiet, denn die topologische Änderung der Fermifläche führt zu einer van Hove Singularität in der Zustandsdichte, die an der Fermienergie liegt und eine Anomalie in der freien Energie hervorruft und deswegen zu Anomalien in beobachtbaren physikalischen Größen führt. In allen Fällen kam die Frage auf, ob die entsprechenden van Hove Singularitäten groß genug sind, um mit heutigen Methoden meßbare und berechenbare Anomalien in den elastischen Eigenschaften zu verursachen. Die Daten wurden mit dem Computerprogramm FPLO (Full-Potential nonorthogonal Local-Orbital minimum-basis band-structure scheme) berechnet. Um die van Hove Singularitäten durch die Fermienergie zu schieben, verkleinerten wir das Volumen der Einheitszelle, um hydrostatischen Druck zu simulieren. Als zu untersuchende Stoffe wurden YCo5 und LaCo5 als Beispiele für magnetische Verbindungen gewählt und Osmium als Beispiel für ein nicht magnetisches Element. Im Falle von YCo5 fanden wir einen Lifschitz Übergang erster Ordnung. Hier springt ein besonders großer Peak im Spin-auf Teil der Zustandsdichte unter einem Druck von ca. 21 GPa über die Fermienergie. Dadurch werden die Spin-auf 3d Zustände teilweise unbesetzt und das magnetische Moment verringert sich um 35%. Deswegen kann man den Übergang als einen Übergang von starkem Ferromagnetismus zu schwachem Ferromagnetismus bezeichnen. Das Volumen verkleinert sich hierbei um 1.4%. Obwohl dieser Volumenkollaps isomorph ist, zeigt er folgende Anisotropie: während die Gitterkonstante in der hexagonalen Ebene mit zunehmendem Druck mehr oder weniger glatt kontrahiert, kollabiert am Übergangsdruck die Gitterkonstante in c-Richtung. Dieser Volumenkollaps wurde vom Experiment verifiziert. Analoge Rechnungen wurden für die Verbindung LaCo5, die isoelektronisch zu YCo5 ist, durchgeführt. Auch hier sagen wir einen Lifschitz Übergang erster Ordnung voraus, der bei einem Druck von ca. 23 GPa stattfinden wird. Der Mechanismus dieses Übergangs ist der selbe wie in YCo5. Wiederum finden wir einen Volumenkollaps unter Druck zusammen mit einer Verringerung des magnetischen Moments. Die relative Volumenänderung beträgt hier 1.3%. Wie in YCo5 verläuft hier die Kontraktion der Gitterkonstante in der hexagonalen Ebene mehr oder weniger glatt, während die Gitterkonstante in c-Richtung am Übergang kollabiert. Für LaCo5 existieren unseres Wissens hierzu noch keine Experimente. Im Falle von Osmium fanden wir drei Lifschitz Übergänge bei sehr hohen Drücken von ca. 72 GPa, 81 GPa, und 122 GPa. Zuerst bildet sich ein Lochellipsoid am Gamma-Punkt (V=24.6Å^3, P=72 GPa), dann bildet sich ein Hals an der Symmetrielinie LH (V=24.2Å^3, P=81 GPa), und zum Schluß erscheint ein Lochellipsoid am L-Punkt (V=23.2 Å^3, P=122 GPa). Auf Grund einer Entartung in der Bandstruktur taucht das Lochellipsoid am L-Punkt an dem Druck auf, an dem sich auch die Hälse auf der Symmetrielinie LH bei L verbinden. Die entsprechenden van Hove Singularitäten in der Zustandsdichte sind jedoch extrem klein und deswegen können keine Anomalien in den elastischen Eigenschaften detektiert werden. Desweiteren zeigten wir, daß der Knick in c/a, den Occelli et al. [Occelli et al., Phys. Rev. Lett. 93, 095502 (2004)] bei 25 GPa und Ma et al. [Ma et al., Phys. Rev. B 72, 174103 (2005)] bei 27 GPa fanden, statistisch nicht relevant ist und daß (c/a)(P) genauso gut von einer glatten Funktion gefittet wird als von stückweise linearen Funktionen.