La determinación de modelos mediante una aproximación Bayesiana comprende la adecuacidad y selección de modelos a través de herramientas de diagnósticos Bayesianas definidas apropiadamente. Estas herramientas involucran a distribuciones predictivas condicionales univariadas que se asume generó los datos observados. El cálculo de estas herramientas es hecha a través de métodos basados en simulación estocástica. Los resultados obtenidos para datos artificiales validan las herramientas para propósitos de determinación de modelos. Un ejemplo en el campo de ciencias biológicas es ilustrado usando las herramientas definidas anteriormente.

El proceso de contacto en un tipo de proceso de Markov en tiempo continuo para el cual el espacio de estados, también llamados configuraciones, es X = {0, 1} Z d y en el cual cada coordenada de una configuración del proceso pasa de 1 a 0 a una tasa constante igual a 1, y el paso de 0 a 1 es proporcional a la cantidad de unos en las coordenadas vecinas, siendo λ la constante de proporcionalidad que parametriza el modelo. En este trabajo se muestra que el proceso de contacto puede ser construido formalmente a partir de la descripción anterior de las tasas de transición entre las configuraciones, mostrando además que existe un único proceso de Markov definido por tales tasas. Se utilizaron algunas técnicas básicas para el estudio de sistemas de partículas en interacción (monotonicidad, acoplamiento, dualidad) que permitieron demostrar algunas propiedades del proceso de contacto, como la autodualidad y la monotonía de la ergodicidad con respecto al parámetro del proceso. El resultado principal es mostrar que en una dimensión (d = 1) existe un parámetro crítico finito (λc) que determina un cambio de fase para la ergodicidad del proceso, siendo ergódico si λ < λc y que existen al menos dos medidas invariantes para el proceso si λ > λc. Este resultado se generaliza para el proceso en d dimensiones, mostrando que el parámetro crítico λd está acotado por 1/ 2d ≤ λd ≤ 2/d . / Tesis

La determinación de modelos mediante una aproximación Bayesiana comprende la adecuacidad y selección de modelos a través de herramientas de diagnósticos Bayesianas definidas apropiadamente. Estas herramientas involucran a distribu¬ciones predictivas condicionales univariadas que se asume generó los datos obser¬vados. El cálculo de estas herramientas es hecha a través de métodos basados en simulación estocástica. Los resultados obtenidos para datos artificiales validan las herramientas para propósitos de determinación de modelos. Un ejemplo en el campo de ciencias biológicas es ilustrado usando las herramientas definidas anteriormente.

El objetivo general del presente trabajo de título es la obtención de Leyes de Logaritmos Iterados para records en modelos continuos y discretos. El trabajo propuesto es interesante, no sólo por el natural desafío en el aspecto teórico, sino que también por las aplicaciones en las cuales se pueden utilizar los records, como por ejemplo en estructuras de datos para la computación; se trata de continuar una línea de trabajos similares publicados en revistas del área, en el contexto de la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite. Se espera encontrar el mayor número posible de resultados de esta índole para records especialmente para el caso discreto.

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Los modelos Markov-Switching han sido utilizados como una alternativa no lineal en el estudio de las series de tiempo, donde los principales estudios se han dado sobre los tipos de cambio y las tasas de interés. En el desarrollo de estos se ha encontrado la existencia de patrones long swing, que representan ciclos o períodos de gran duración, sea de expansión o contracción. Este concepto ha sido tratado, de manera bastante similar, en el estudio de commodities. Los modelos lineales que se han encargado del estudio de estas series de tiempo han denominado comúnmente a los ciclos de commodities como superciclos. Estos superciclos consisten en ciclos con largos períodos de expansión y contracción de precios, que juntos podrían durar entre 20 y 70 años (Erten y Ocampo 2013). La data existente señala que existe una correlación negativa entre el dólar y los precios de los commodities. Esta correlación puede ser vista desde el lado de la demanda, donde una apreciación del dólar encarece los precios de los commodities, presionándolos a la baja. Asimismo, puede ser visto desde el lado de valor de refugio, donde frente a situaciones de estrés global, los commodities, como el oro, suelen apreciarse frente a monedas que se deprecian. El objetivo del documento es enlazar los tres hechos mencionados previamente. Los modelos Markov-Switching han concluido que existen long swings a lo largo del tiempo sobre los tipos de cambio del dólar frente a otras monedas. Así, dada la correlación negativa entre el dólar y los precios de los commodities, se espera poder aplicar el mismo método. La aplicación de estos modelos sobre los commodities buscará comprobar la existencia de long swings en la historia de los mismos, lo cual ratificaría la existencia de los superciclos que han sido estudiados a través de los procesos lineales. Asimismo, buscará comparar el poder predictivo de los modelos propuestos, con los modelos lineales utilizados por la literatura.

En la presente tesis se demuestran de manera exhaustiva las principales propiedades del CVaR presentadas en los trabajos de Rockafellar y Uryasev (2000, 2002). En particular, se completan las demostraciones del teorema a través del cual se puede minimizar al CVaR utilizando la función auxiliar F®. Estos resultados se mantienen cuando la función de distribución de pérdidas presenta discontinuidades e incluso saltos. Además, se demuestra que el CVaR es continuo con respecto al nivel de confianza elegido y se demuestra que es una medida de riesgo coherente. Por otro lado, se realiza la optimización de un portafolio de inversión utilizando al CVaR como medida de riesgo. Dado que la evidencia estadística muestra que los activos no siguen un comportamiento gaussiano, se utiliza la teoría de cópulas para modelar la dependencia contemporánea de los datos. Finalmente, se comparan los resultados obtenidos de la optimización del modelo media-varianza de Markowitz (M-V) frente a los obtenidos en el modelo media-CVaR (M-CVaR). / Tesis

Los procesos de Lévy son procesos estocásticos que poseen incrementos estacionarios e independientes, y además son continuos en probabilidad. Muchas de las investigaciones teóricas y aplicaciones actuales de los procesos estocásticos en ingeniería, economía y finanzas están basadas en procesos de Lévy; tomamos esto como motivación para profundizar en el estudio de dichos procesos así como para difundir sus aspectos teóricos y prácticos. Asimismo, el cálculo estocástico es una de las principales herramientas teóricas en muchos campos, en especial las finanzas y más precisamente la valuación de instrumentos derivados. Uno de los resultados fundamentales del cálculo estocástico es la fórmula de Ito, cuya validez más allá del movimiento browniano, siendo lógica y necesaria su extensión a procesos de Lévy. Los objetivos de la presente tesis son los siguientes: (1) Enunciar y demostrar las principales propiedades de los procesos de Lévy. (2) Demostrar la descomposición de Lévy-Ito. (3) Desarrollar la teoría básica de integración estocástica cuando se tiene como integrador medidas martingala valuadas. (4) Demostrar la fórmula de Ito para procesos de Lévy. (5) Describir algunas aplicaciones de los procesos de Lévy en finanzas. El presente trabajo se encuentra dividido en cuatro capítulos. En el primer capítulo se presentan conceptos y definiciones importantes previos al estudio de los procesos de Lévy, los cuales serán de suma importancia y utilidad en los capítulos siguientes. Se desarrolla el proceso de Poisson y sus propiedades más importantes. Posteriormente, se hace una breve introducción a la convolución de medidas de probabilidad y las variables aleatorias infinitamente divisibles, terminando en la demostración parcial (la prueba se completa en el Capítulo 2, basándose en la descomposición de Ito-Lévy) de la celebrada fórmula de Lévy-Khintchine, la cual establece que toda medida de probabilidad en R que es infinitamente divisible tiene una función característica de la siguiente forma: φµ(u) = exp imu − σ 2u 2 + Z R−{0} [e iuy − 1 − iuy1 {|y|<1} (y) v*(dy), donde v* es una medida definida en R- {0}, la cual cumple que ZR-{0} (|y|2 1) v* 8dy) < ∞, m ∈ R, σ 2 > 0 y u ∈ R. El capítulo concluye con la demostración de un teorema que 6 afirma que cualquier medida de probabilidad infinitamente divisible puede ser obtenida como el límite en distribución de una sucesión de procesos de Poisson compuestos. En el Capítulo 2 se demuestran las propiedades más importantes de los procesos de Lévy, algunas de ellas son: divisibilidad infinita, una modificación de un proceso Lévy es un proceso de Lévy, todo proceso de Lévy tiene una modificación cadlag y todo proceso de Lévy es un proceso de Markov fuerte. Posteriormente, se realiza el estudio de los saltos de un proceso de Lévy, se definen y enuncian las propiedades de la medida salto y se define la integración Poisson. Finalmente, y después de resultados previos se demuestra la descomposición de Lévy-Ito, la cual afirma que si η un proceso de Lévy, entonces existe b ∈ R, un movimiento browniano B y una medida de Poisson N en R+ ×(R− {0}), independiente de B, tal que para todo t ≥ 0; η(t) = bt + B(t) + Z |x|<a xÑ(t,dx) + Z|x|>a xN (t,dx), con a> 0, es decir que un proceso de Lévy se puede descomponer en la suma de un movimiento browiniano, saltos compensados menores que a, saltos mayores que a y un componente de tendencia bt. En el Capítulo 3 se desarrolla la teoría de integración estocástica, pero teniendo como integrador a medidas martingala valuadas. Se desarrolla la teoría L 2 , demostrando las principales propiedades de la integral estocástica, para después extender la teoría de integración a una clase más general de funciones. Posteriormente, se mencionan algunos tipos de integrales basadas en procesos de Lévy, como son las integrales estocásticas brownianas, las integrales estocásticas del tipo Poisson y las integrales estocásticas del tipo Lévy. El principal resultado de este capítulo es la demostración de la fórmula de Ito para integrales del tipo Lévy, habiendo desarrollado antes de ello la fórmula de Ito para integrales brownianas y Poisson. En el Capítulo 4 se muestran dos aplicaciones de los procesos de Lévy en finanzas. La primera es la descripción y demostración de las principales propiedades de un modelo de precios y la segunda es la comparación de tres modelos de retornos de acciones en un mercado financiero de poca liquidez. Asimismo, en los dos apéndices se demuestran y/o enuncian resultados que son utilizados en las demostraciones de los cuatro capítulos. Si bien es cierto que los resultados que se presentan han sido demostrados y/o mencionados en la literatura, el principal aporte de la presente tesis consiste en brindar una introducción coherente, accesible, completa y sobre todo autocontenida de los procesos de Lévy y la derivación de la fórmula de Itˆo para procesos de Lévy. Esto es importante, ´ debido a que la complejidad y los diversos enfoques sobre el tema hacen difícil que se pueda dar un desarrollo completo y detallado utilizando una notación uniforme. Los resultados de los primeros tres capítulos se encuentran en diverso grado de dificultad y formalismo en Applebaum [1], Protter [14], Cont y Tankov [6], Oksendal y Sulem [13], Sato [16], Bertoin [3] y El Karoui y Méléard [7]. Sólo en los principales resultados de la tesis se indican la(s) fuente(s) de las que han sido tomados y el aporte hecho en cada demostración; aunque varios de los resultados y definiciones han sido completados y/o clarificados respecto a su versión original, sin ser ésto mencionado en el trabajo. / Tesis

Magíster en Minería / Ingeniero Civil de Minas / El presente trabajo corresponde al desarrollo de una herramienta que permite simular valores de una variable regionalizada considerando que tales valores tienen una variación sistemática en el espacio. En este contexto, se desarrolla una nueva herramienta de simulación consistente en un algoritmo de simulación Gaussiana secuencial con rechazo considerando una deriva de referencia como input, bajo la hipótesis que esta herramienta permite respetar tal deriva, obteniendo resultados representativos de la base de datos en cuanto a sus estadísticos de orden 1 (histograma) y orden 2 (variograma). La metodología del algoritmo comienza definiendo la secuencia de visitas de nodos a simular de manera aleatoria. Se acepta o rechaza el nodo simulado en base a la deriva de referencia considerando un rechazo determinístico o probabilístico y una tolerancia dinámica. Para cada nodo se considera una vecindad de búsqueda de datos condicionantes para la simulación y una vecindad de búsqueda de datos para el cálculo de una media local simulada. El algoritmo permite ajustar el número aceptable de rechazos, el tamaño de la vecindad de búsqueda de la media local, la tolerancia y el tipo de rechazo. Se presentan dos casos de estudio. El primero consiste en un ejemplo sintético de una coordenada con deriva lineal. En este primer caso se tiene que, a mayor tolerancia o mayor vecindad de búsqueda de la media local, los valores simulados se distribuyen con mayor dispersión en torno a la deriva de referencia. El segundo estudio de caso consiste en una zona de interés del yacimiento Compañía Minera Cerro Colorado donde se realiza el proceso de simulación en seis unidades de estimación considerando diecisiete sensibilizaciones de los parámetros del algoritmo más una simulación basada en Kriging Simple (SK) y otra basada en Kriging de residuos (BT). En el caso de presencia de deriva se obtiene en general mejores resultados con el algoritmo propuesto que con el SK o BT cuando la deriva se ve reflejada de manera clara en el variograma como en la unidad de estimación cuatro. Las estadísticas de validación en términos de desempeño de las simulaciones como estimación (coeficiente de determinación R2, pendiente de la regresión de datos reales versus simulados y error medio) y en términos de cuantificación de la incertidumbre de los datos originales (accuracy plot) mejoran en relación al SK y BT. De esta manera, la herramienta desarrollada ofrece una alternativa flexible que mejora los estadísticos de validación en comparación al enfoque tradicional frente a un escenario de simulación con presencia de deriva clara en el variograma.