L'objet de la thèse est d'étudier des processus stochastiques coalescents modélisant la généalogie d'une population échangeable avec immigration. On représente la population par l'ensemble des entiers N = {1, 2, ..}. Imaginons que l'on échantillonne n individus dans la population aujourd'hui. On cherche à regrouper ces n individus selon leur ancêtre en remontant dans le temps. En raison de l'immigration, il se peut qu'à partir d'une certaine génération, certains individus n'aient pas d'ancêtre dans la population. Par convention, nous les regrouperons dans un bloc que nous distinguerons en ajoutant l'entier 0. On parle du bloc distingué. Les coalescents distingués échangeables sont des processus à valeurs dans l'espace des partitions de Z+ := {0, 1, 2, ...}. A chaque temps t est associée une partition distinguée échangeable, c'est-à-dire une partition dont la loi est invariante sous l'action des permu- tations laissant 0 en 0. La présence du bloc distingué implique de nouvelles coagulations, inexistantes dans les coalescents classiques. Nous déterminons un critère suffisant (et né- cessaire avec conditions) pour qu'un coalescent distingué descende de l'infini. C'est-à-dire qu'immédiatement après 0, le processus n'ait plus qu'un nombre fini de blocs. D'autre part, nous nous intéressons à une relation de dualité entre ces coalescents et des processus à valeurs dans les mesures de probabilité, appelés processus de Fleming-Viot généralisés avec immigration. Nous établissons des liens entre ces derniers et les processus de branchement continus avec immigration. Dans le cas d'un processus de branchement avec reproduction α-stable et immigration (α−1)-stable, nous montrons que le processus à valeurs mesures associé, renormalisé, est un processus de Fleming-Viot avec immigration changé de temps.

La valorisation des options exotiques continues de façon "exacte" est très difficile (voire impossible) dans les modèles exponentiels de Lévy. En fait nous verrons que pour les options lookback et barrière digitale, et sous l'hypothèse que les sauts de l'actif sous-jacent sont tous négatifs, nous avons des formules semi-fermées. En général il faut recourir à des techniques qui permettent d'approcher les prix de ces dérivés, ce qui engendre des erreurs. Nous étudierons le comportement asymptotique de ces erreurs. Dans certains cas ces erreurs peuvent être corrigées de sorte à obtenir une convergence plus rapide vers la valeur "exacte" recherchée. Nous proposons aussi des méthodes permettant d'évaluer les prix des options exotiques par des techniques de Monte-Carlo / The exact valuation of continuous exotic options is very difficult (sometimes impossible) in exponential Lévy models. In fact, for lookback options and digital barrier, and assuming that the jumps of the underlying assets are all negative, we have semi-closed formulas. In general it is necessary to use numerical methods to approach the prices of these derivatives, which causes errors. We study the asymptotic behavior of these errors. In some cases these errors can be corrected so that to obtain a faster convergence to the fair value. We also propose some methods to evaluate the prices of exotic options by Monte Carlo techniques

Nos différents résultats consistent principalement à établir des extensions du calcul stochastique classique. Pour (X_t) processus de Markov, il s'agissait à l'origine de donner dans les quatre cas suivants, la décomposition explicite de F(X_t,t) en tant que processus de Dirichlet, sous des conditions minimum sur F fonction déterministe à valeurs réelles. Dans le premier cas, X est un processus de Lévy réel avec composante brownienne. Dans le deuxième cas X est un processus de Lévy symétrique sans composante brownienne mais admettant des temps locaux en tant que processus de Markov. Dans le troisième cas, X est un processus de Markov symétrique général sans condition d'existence de temps locaux mais F(x,t) ne dépend pas de t. Dans le quatrième cas, nous supprimons l'hypothèse de symétrie du troisième cas. Dans chacun des trois premiers cas, on obtient une formule d'Itô à la seule condition que la fonction F admette des dérivées de Radon-Nikodym d'ordre 1 localement bornées. On rappelle que dans l'hypothèse où X est une semi-martingale, la formule d'Itô classique nécessite que F soit C^2. C'est l'hypothèse que nous devons prendre dans le quatrième cas. Le premier cas excepté, chacune des formules d'Itô obtenues s'appuie sur la construction de nouvelles intégrales stochastiques par rapport à des processus aléatoires qui ne sont pas des semi-martingales.

Cette thèse étudie le Q-processus de certains processus de branchement (superprocessus inhomogènes) ou de recombinaison (processus de Lambda-Fleming-Viot) via une approche généalogique. Dans le premier cas, le Q-processus est défini comme le processus conditionné à la non-extinction, dans le second cas comme le processus conditionné à la non-absorption. Des constructions trajectorielles des Q-processus sont proposées dans les deux cas. Une nouvelle relation entre superprocessus homogènes et processus de Lambda-Fleming-Viot est établie. Enfin, une étude du Q-processus est menée dans le cadre général des processus régénératifs

Thèse doctorat : Mathématiques : La Rochelle : 2006. / Bibliogr. p. 157-161.

Ce mémoire porte sur la densité du premier temps de passage d'un processus gaussien et markovien à travers une frontière. Ce problème est résolu pour quelques cas particuliers, mais il n'est pas encore possible pour l'instant de le résoudre de façon analytique pour une frontière déterministe quelconque. (Di Nardo et al., 2001) ont proposé une méthode qui utilise des fonctions symétriques pour un ensemble de frontières qui généralisent celles de (Daniels, 1996). C'est ce qui est principalement étudié ici. De plus, deux exemples d'applications en finance sont considérés. Finalement, on regarde aussi un exemple de simulations pour comparer cette méthode à celle de (Durbin et Williams, 1992). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Processus gaussien et markovien, mouvement brownien, processus d'Ornstein-Uhlenbeck, premier temps de passage.

Depuis septembre 2006, je suis maître de conférences à l'université Montesquieu Bordeaux IV en mathématiques appliquées. Je suis membre du GREThA (groupement de recherche en économie théorique et appliquée), de l'IMB (Institut de Mathématiques de Bordeaux, équipe probabilités et statistique) et de l'équipe Inria CQFD (contrôle de qualité et fiabilité dynamique). Depuis mon arrivée à Bordeaux, mes travaux de recherche se poursuivent dans deux directions principales : l'une concerne les processus auto-régressifs de bifurcation sur des arbres binaires et l'autre le développement d'outils numériques pour le contrôle des processus markoviens déterministes par morceaux. Il s'agit de processus en temps continu qui changent de régime de façon markovienne au cours du temps. Ce mémoire présente uniquement mes travaux réalisés à Bordeaux depuis 2006.

L'évolution rapide dans les environnements métier d'aujourd'hui impose de nouveaux défis pour la gestion efficace et rentable des processus métiers. Dans un tel environnement très dynamique, la conception des processus métiers devient une tâche fastidieuse, source d'erreurs et coûteuse. Par conséquent, l'adoption d'une approche permettant la réutilisation et l'adaptabilité devient un besoin urgent pour une conception de processus prospère. Les modèles de processus configurables récemment introduits représentent l'une des solutions recherchées permettant une conception de processus par la réutilisation, tout en offrant la flexibilité. Un modèle de processus configurable est un modèle générique qui intègre de multiples variantes de procédés d'un même processus métier à travers des points de variation. Ces points de variation sont appelés éléments configurables et permettent de multiples options de conception dans le modèle de processus. Un modèle de processus configurable doit être configuré selon une exigence spécifique en sélectionnant une option de conception pour chaque élément configurable.Les activités de recherche récentes sur les modèles de processus configurables ont conduit à la spécification des langages de modélisation de processus configurables comme par exemple configurable Event-Driven Process Chain (C-EPC) qui étend la notation de l'EPC avec des éléments configurables. Depuis lors, la question de la conception et de la configuration des modèles de processus configurables a été étudiée. D'une part, puisque les modèles de processus configurables ont tendance à être très complexe avec un grand nombre d'éléments configurables, de nombreuses approches automatisées ont été proposées afin d'assister leur conception. Cependant, les approches existantes proposent de recommander des modèles de processus configurables entiers qui sont difficiles à réutiliser, nécessitent un temps complexe de calcul et peuvent confondre le concepteur du processus. D'autre part, les résultats de la recherche sur la conception des modèles de processus configurables ont mis en évidence la nécessité des moyens de soutien pour configurer le processus. Par conséquent, de nombreuses approches ont proposé de construire un système de support de configuration pour aider les utilisateurs finaux à sélectionner les choix de configuration souhaitables en fonction de leurs exigences. Cependant, ces systèmes sont actuellement créés manuellement par des experts du domaine qui est sans aucun doute une tâche fastidieuse et source d'erreurs .Dans cette thèse, nous visons à automatiser le soutien de la variabilité dans les modèles de processus configurables. Notre objectif est double: (i) assister la conception des processus configurables d'une manière à ne pas confondre les concepteurs par des recommandations complexes et (i) assister la création des systèmes de soutien de configuration afin de libérer les analystes de processus de la charge de les construire manuellement. Pour atteindre le premier objectif, nous proposons d'apprendre de l'expérience acquise grâce à la modélisation des processus passés afin d'aider les concepteurs de processus avec des fragments de processus configurables. Les fragments proposés inspirent le concepteur du processus pour compléter la conception du processus en cours. Pour atteindre le deuxième objectif, nous nous rendons compte que les modèles de processus préalablement conçus et configurés contiennent des connaissances implicites et utiles pour la configuration de processus. Par conséquent, nous proposons de bénéficier de l'expérience acquise grâce à la modélisation et à la configuration passées des processus afin d'aider les analystes de processus dans la construction de leurs systèmes de support de configuration. / Today's fast changing environment imposes new challenges for effective management of business processes. In such a highly dynamic environment, the business process design becomes time-consuming, error-prone, and costly. Therefore, seeking reuse and adaptability is a pressing need for a successful business process design. Configurable reference models recently introduced were a step toward enabling a process design by reuse while providing flexibility. A configurable process model is a generic model that integrates multiple process variants of a same business process in a given domain through variation points. These variation points are referred to as configurable elements and allow for multiple design options in the process model. A configurable process model needs to be configured according to a specific requirement by selecting one design option for each configurable element.Recent research activities on configurable process models have led to the specification of configurable process modeling notations as for example configurable Event-Driven Process Chain (C-EPC) that extends the EPC notation with configurable elements. Since then, the issue of building and configuring configurable process models has been investigated. On the one hand, as configurable process models tend to be very complex with a large number of configurable elements, many automated approaches have been proposed to assist their design. However, existing approaches propose to recommend entire configurable process models which are difficult to reuse, cost much computation time and may confuse the process designer. On the other hand, the research results on configurable process model design highlight the need for means of support to configure the process. Therefore, many approaches proposed to build a configuration support system for assisting end users selecting desirable configuration choices according to their requirements. However, these systems are currently manually created by domain experts which is undoubtedly a time-consuming and error-prone task.In this thesis, we aim at automating the support of the variability in configurable process models. Our objective is twofold: (i) assisting the configurable process design in a fin-grained way using configurable process fragments that are close to the designers interest and (ii) automating the creation of configuration support systems in order to release the process analysts from the burden of manually building them. In order to achieve the first objective, we propose to learn from the experience gained through past process modeling in order to assist the process designers with configurable process fragments. The proposed fragments inspire the process designer to complete the design of the ongoing process. To achieve the second objective, we realize that previously designed and configured process models contain implicit and useful knowledge for process configuration. Therefore, we propose to benefit from the experience gained through past process modeling and configuration in order to assist process analysts building their configuration support systems. Such systems assist end users interactively configuring the process by recommending suitable configuration decisions.

Cette thèse propose un environnement pour la spécification et l'analyse des processus parallèles communicants et décrit en détail la partie de cet environnement qui permet de spécifier chaque processus et de construire des réseaux de processus. Un langage permet de décrire l'activité de communication de chaque processus et des opérateurs décrivent les constructions de réseaux. De plus, toute description de processus ou de réseau peut être rangée dans une base de données et associées à une représentation graphique. Cette représentation peut être utilisée pour construire des réseaux et de telles constructions sont traduites sous forme d'expression utilisant les opérateurs de construction. Enfin, le calcul du processus résultant d'une construction est présenté et un algorithme d'optimisation est proposé

Le sujet principal de cette thèse de doctorat est l'étude de diverses quantités reliées aux processus de fragmentation. Ces processus sont destinés à modéliser un objet de masse unité se fragmentant au cours du temps.<br />Ce travail comporte quatre chapitres. Le premier chapitre est consacré à l'étude de la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points ayant une décroissance exponentielle dans une fragmentation homogène en intervalles. Dans le deuxième chapitre, on construit un processus de Markov auto-similaire qui généralise les fragmentations classiques autorisant en particulier la taille des descendants à être plus grande que celle de leurs parents. On établit ensuite certains théorèmes limites en utilisant la théorie des processus auto-similaires. Dans le troisième chapitre, on s'intéresse à un problème statistique provenant de l'industrie minière avec l'estimation statistique de la mesure de Lévy du subordinateur classiquement associé à la fragmentation. Plus précisément, on observe les fragments seulement à l'instant où ils atteignent une taille inférieure à un seuil fixé. Enfin, dans un quatrième chapitre on étudie le coût énergétique d'une succession de fragmentations.