Particulièrement en milieu urbain, il est maintenant commun de retrouver de nombreuses infrastructures enfouies sous terres afin d'en minimiser l'impact social et environnemental. À titre d'exemple, en 2008, la proportion de nouveaux clients alimentés par le réseau souterrain d'Hydro-Québec a atteint près de 30 % (Hydro-Québec, 2011). Bien que les structures souterraines soient à l'abri de certaines intempéries auxquels celles en surface sont soumises, elles se trouvent néanmoins souvent dans un environnement favorisant leurs dégradations au fils du temps. Vu l'impact que ces structures ont sur le bon déroulement des activités quotidiennes de millions de personnes, il est primordial que ces structures soient en tout temps fonctionnelles afin d'assurer le bien-être et la sécurité du public qui est souvent dépendante de ces structures. Cependant, l'invisibilité de ces structures depuis la surface du sol peut parfois causer de nombreux problèmes lorsque vient le temps de les inspecter. En effet, les méthodes d'inspections actuellement utilisées sont souvent inadéquates et couteuses particulièrement en milieu urbain. C'est pourquoi l'IREQ (Institue de Recherche d'Hydro-Québec), en partenariat avec l'Université de Sherbrooke visent à développer une nouvelle méthode d'inspection non intrusive et réalisable depuis la surface du sol permettant d'évaluer l'intégrité structurelle des structures souterraines. Cette nouvelle méthode d'inspection est basée sur la propagation des ondes élastiques dans le sol émises depuis une source d'impact mécanique. Ce mémoire de maîtrise présente donc cette nouvelle méthode d'inspection élaborée à partir des résultats obtenus à 1'aide de simulations numériques puis testée et améliorée à la suite d'essais réalisés sur six différentes structures souterraines construites sur le site de l'IREQ. Dans le but vérifier la précision de la méthode proposée, l'état de dégradation exacte de ces six structures souterraines n'est connu que par Hydro-Québec. À la lumière des résultats obtenus à la suite de l'inspection de ces 6 structures souterraines, il fut possible d'établir l'état de chacune de ces structures de béton. Les conclusions établies à l'aide de la méthode proposée qu'en à l'état de ces structures furent ensuite présentées à Hydro-Québec qui en conclu que la méthode proposée a le potentiel d'identifier de façon préliminaire l'état de dégradation de ces 6 structures.

Les phénomènes de diffraction et de diffusion des ondes jouent un rôle important dans l'interprétation de la coda des sismogrammes. Par conséquent, une compréhension approfondie des mécanismes de diffraction et de leurs influences sur la propagation des ondes est une étape fondamentale vers l'identification des propriétés statistiques d'un milieu aléatoire. Cette thèse porte sur la diffraction des ondes élastiques dans des milieux aléatoirement hétérogènes avec un comportement local isotrope. On s'intéresse au régime où: La longueur d'onde est du même ordre de grandeur que la longueur de corrélation, la longueur d'onde est petite comparé à la distance de propagation (haute-fréquence) et l'amplitude des fluctuations est petite. Une approche cinétique basée sur les équations de transfert radiatif des ondes élastiques est adoptée. La première partie de cette thèse décrit une analyse détaillée de l'influence de la structure de corrélation sur les paramètres de diffraction et sur l'établissement d'un régime de diffusion. La seconde partie présente les simulations éléments spectraux à grande échelle des ondes élastiques afin d'observer numériquement l'apparition d'un régime d'équipartition. Des analyses théoriques ainsi que des simulations montrent également une nouvelle approche pour l'identification des propriétés statistiques du milieu. / Scattering and diffusion phenomena play a crucial role in the interpretation of the coda part ofseismograms. Consequently, a profound understanding of scattering mechanisms and their effectson wave propagation is a fundamental step towards the identification of the statistical propertiesof random media. The focus of this work is on the scattering of elastic waves in a randomly heterogeneousmedia with locally isotropic material behavior. The weakly heterogeneous regime isconsidered, in which the wave length is similar to the correlation length, the wave length is smallcompared to the propagation length (high frequency) and the amplitude of the heterogeneities issmall. A kinetic framework based on the transport equations of elastic waves is adopted. Thefirst part of the thesis describes a detailed analysis of the influence of the correlation structure onthe scattering parameters and on the arising of the diffusion regime. The second part presentslarge scale spectral element simulations of elastic waves to observe numerically the onset of theequipartitioning regime. The theoretical analyses and simulations also reveal a novel approach toidentify local properties of the heterogeneous medium.

L'imagerie des paramètres physiques du sous-sol à partir d'enregistrements sismiques de surface constitue un problème inverse non linéaire. L'inversion des formes d'onde élastique est une méthode d'imagerie quantitative multiparamètres de diffractants, nécessitant au préalable la connaissance précise d'un macromodèle de vitesse. <br /><br />Le problème direct associé, la propagation des ondes élastiques, est résolu dans le domaine fréquentiel, permettant la prise en compte efficace d'acquisitions multisources et multirécepteurs, par une méthode numérique de différences finies modélisant la propagation de tous les types d'onde (ondes de volume, de surface, diffractées, réfractées ...). Le stencil de différences finies choisi permet simule précisément la surface libre et la propagation des ondes de surface. <br /><br />Cette inversion linéarisée s'appuie sur une méthode de gradient, qui minimise une fonction coût contenant les différences entre données observées et calculées. Deux paramètres sismiques sont reconstruits à partir de sismogrammes verticaux et horizontaux. L'inversion est effectuée des basses fréquences vers les hautes fréquences, introduisant des longueurs d'onde de plus en plus courtes dans les images des paramètres. Ces dernières sont sensibles au choix des approximations physiques effectuées pour calculer le gradient de la fonction coût (approximation de Born ou de Rytov), au dispositif d'acquisition, au préconditionnement des données et au choix des paramètres inversés. <br /><br />Cette méthode est ensuite appliquée à des milieux contenant une surface libre. La surface libre est une interface très contrastée qui donne lieu à des ondes de surface très énergétiques dans les sismogrammes. Les milieux de subsurface sont complexes, les ondes qui s'y propagent subissent des réflexions ou diffractions multiples. Lorsque le milieu contient deux anomalies dont le contraste en vitesse vaut $20 \%$, l'inversion les localise correctement dans un macromodèle connu. Les images sont améliorées et l'amplitude des anomalies est très bien reconstruite lorsque le nombre de fréquences inversées augmente et les données sont sélectionnées des faibles déports vers les grands déports. Avec une anomalie fortement contrastée comme une cavité vide, l'inversion retrouve correctement la position, la forme et la taille de l'objet mais son amplitude est sous-estimée.<br /><br />L'application à des données réelles verticales de subsurface acquises dans un milieu complexe contenant une cavité maçonnée montre que le milieu hétérogène issu de l'inversion ajuste mieux les données et permet de bien reproduire les ondes inversées. Néanmoins, la cavité n'est pas imagée.

Les travaux de la présente thèse portent sur l’estimation d'erreur a posteriori pour les solutions numériques par éléments finis de l'équation des ondes élastiques dans les milieux hétérogènes. Deux types d’estimation ont été développés. Le premier considère directement l’équation élastodynamique et conduit à un nouvel estimateur d'erreur a posteriori explicite en norme L∞ en temps. Les principales caractéristiques de cet estimateur explicite sont l'utilisation de la méthode de résidus et le développement de reconstructions en temps et en espace selon les différentes régularités exigées par les différents termes contribuant à l’obtention d’une borne supérieure. L’analyse numérique de cet estimateur dans le cas des maillages uniformes montre qu’il assure bien une borne supérieure mais avec une propriété asymptotique qui reste à améliorer. Le deuxième type d’estimateur d’erreur est développé dans le contexte de la propagation des ondes à haute fréquence dans des milieux hétérogènes à l’échelle mésoscopique. Il s’agit d’une nouvelle erreur en résidus basée sur l'équation de transfert radiatif, qui est obtenue par un développement asymptotique multi-échelle de l'équation d'onde en utilisant la transformation de Wigner en espace-temps. Les résidus sont exprimés en termes de densités énergétiques calculés dans l’espace des phases pour les solutions d’onde numériques transitoires par éléments finis. L’analyse numérique de cette erreur appliquée aux milieux homogènes et hétérogènes en 1D a permis de valider notre approche. Les champs d’application visés sont la propagation des ondes sismiques dans les milieux géophysiques ou la propagation des ondes ultrasonores dans les milieux polycristallins. / This thesis work deals with a posteriori error estimates for finite element solutions of the elastic wave equation in heterogeneous media. Two different a posteriori estimation approaches are developed. The first one, in a classical way, considers directly the elastodynamic equation and results in a new explicit error estimator in a non-natural L∞ norm in time. Its key features are the use of the residual method and the development of space and time reconstructions with respect to regularities required by different residual operators contributing to the proposed error bound. Numerical applications of the error bound with different mesh sizes show that it gives rise to a fully computable upper bound. However, its effectivity index and its asymptotic accuracy remain to be improved. The second error estimator is derived for high frequency wave propagation problem in heterogeneous media in the weak coupling regime. It is a new residual-type error based on the radiative transfer equation, which is derived by a multi-scale asymptotic expansion of the wave equation in terms of the spatio-temporal Wigner transforms of wave fields. The residual errors are in terms of angularly resolved energy quantities of numerical solutions of waves by finite element method. Numerical calculations of the defined errors in 1D homogeneous and heterogeneous media allow validating the proposed error estimation approach. The application field of this work is the numerical modelling of the seismic wave propagation in geophysical media or the ultrasonic wave propagation in polycrystalline materials.

La connaissance des structures internes de la Terre, à différentes échelles, présente des enjeux majeurs d'ordres économiques, humains, environnementaux et scientifiques. Diverses méthodes d'imagerie ont été développées en utilisant les informations contenues dans les ondes sismiques. La méthode d'inversion des formes d'ondes construit des images quantitative haute résolution des paramètres physiques du sous-sol, en exploitant le champ d'onde complet, sous la forme d'un problème d'optimisation. Dans ce travail de thèse, je présente l'application de l'inversion des formes d'ondes en domaine fréquentiel, pour imager les paramètres visco-élastiques dans des géometries à deux dimensions à grands offsets. Dans un premier temps les développements méthodologiques et algorithmiques sont présentés. La modélisation de la propagation des ondes P-SV en domaine fréquentiel, le problème direct du processus d'imagerie, est assurée par une méthode d'éléments finis Galerkin discontinus, assurant une grande flexibilité dans le choix des ordres d'interpolation et dans l'utilisation de maillages triangulaires non-structurés. Le problème inverse est résolu sous une forme linéarisée, afin de limiter le nombre de simulations directes, et utilise l'algorithme quasi-Newton L-BFGS permettant de tirer bénéfice de l'estimation "économique" du Hessien. Le processus global d'imagerie est implémenté sous la forme d'un algorithme massivement parallèle destiné aux calculateurs modernes à mémoire distribuée. Dans un deuxième temps, les algorithmes développés sont appliqués à des cas d'étude. Des applications sont menées dans des modèles synthétiques réalistes représentatifs d'environnements terrestres et marins. Ces études montrent les difficultés associées à la reconstruction des paramètres élastiques à partir de données mettant en jeu des phénomènes de propagations complexes (ondes converties, multiples, ondes de surfaces...). Des solutions sont proposées sous forme de processus hiérarchiques multi-échelles, afin de limiter les effets des non-linéarités du problème inverse et ainsi d'améliorer la convergence du processus vers le minimum global. Enfin, la sensibilité de différentes normes et critères de minimisation est analysée, à partir de données bruités issues de modèles synthétiques réalistes, ainsi que sous l'approximation acoustique pour un jeu de données réelles pétrolière. Ces tests montrent certaines limites du formalisme classique basé sur la norme L2 dans l'espace des données, tandis que la norme L1 apparaît comme alternative robuste pour l'inversion de données décimées en domaine fréquentiel.