L’objectif en arrière-plan est de montrer que plusieurs modèles de marches aléatoires en milieux aléatoires (MAMA) sont reliés à un modèle-jouet appelé le modèle de piège de Bouchaud. Le domaine des MAMA est très vaste, mais nous nous intéressons particulièrement à une classe de modèle où la marche est réversible et directionnellement transiente. En particulier, nous verrons pourquoi on pense que ces modèles se ressemblent et quel genre de similarités on s’attend à obtenir, une fois qu’on aura présenté le modèle de Bouchaud. Nous verrons aussi quelques techniques de base utilisés de ce domaine, telles que les temps de régénérations. Comme contribution, nous allons démontrer un théorème central limite pour la marche aléatoire β-biaisée sur un arbre de Galton-Watson. / This Master thesis is part of a larger project of linking the behaviours of a certain type of random walks in random environments (RWRE) with those of a toy model called the Bouchaud’s trap model. The domain of RWRE is very wide but our interest will be on a particular kind of models which are reversible and directionally transient. More specifically, we will see why those models have similar behaviours and what kind of results we could expect once we have reviewed the Bouchaud’s trap model. We will also present some basic technic used in this field, such as regeneration times. As a contribution, we will demonstrate a central limit theorem for the β-biased random walk on a Galton-Watson tree.

Nous étudions la mesure spectrale des transformations stationnaires, puis nous l’utilisons pour étudier le théorème ergodique et le théorème limite central. Nous étudions également les martingales avec une nouvelle preuve du théorème central limite, sans analyse de Fourier. Pour le théorème limite central pour marches aléatoires dans un environnement aléatoire sur la dimension 1, on donne deux méthodes pour l’obtenir: approximation pour une martingale et méthode des moments. La méthode des martingales fait résoudre l’équation de Dirichlet (I - P)h = 0, alors que celle des moments résoudre l’équation de Poisson (I - P)h = f. Enfin, nous pouvons utiliser la deuxième méthode pour prouver la relation d’Einstein pour des diffusions réversibles dans un environnement aléatoire dans une dimension. / We study the spectral measure for stationary transformations, and then apply to Ergodic theorem and Central limit theorem. We study also martingale process with a new proof of the central limit theorem without Fourier analysis. For the central limit theorem for random walks in random environment, we give two methods to obtain it: martingale approximation and moments. The method of martingales solves Dirichlet’s equation (I - P)h = 0, and the method of moments solves Poisson’s equation (I - P)h = f. Finally, we can use the second method to prove the Einstein relation for reversible diffusions in random environment in one dimension.

Introduit dans les années 1960, le modèle de la marche aléatoire en milieu aléatoire i.i.d. sur les entiers relatifs (ou MAMA) a récemment été l'objet d'un regain d'intérêt dans la communauté statistique.Divers travaux se sont en particulier intéressés à la question de l'estimation de la loi du milieu à partir de l'observation d'une unique trajectoire de la MAMA.Cette thèse s'inscrit dans cette dynamique.Dans un premier temps, nous considérons le problème d'estimation d'un point de vue fréquentiste. Lorsque la MAMA est transiente à droite ou récurrente, nous construisons le premier estimateur non paramétrique de la densité de la loi du milieu et obtenons une majoration du risque associé mesuré en norme infinie.Dans un deuxième temps, nous envisageons le problème d'estimation sous un angle Bayésien. Lorsque la MAMA est transiente à droite, nous démontrons la consistance à posteriori de l'estimateur Bayésien de la loi du milieu.La principale difficulté mathématique de la thèse a été l'élaboration des outils nécessaires à la preuve du résultat de consistance bayésienne.Nous démontrons pour cela une version quantitative de l'inégalité de concentration de type Mac Diarmid pour chaînes de Markov.Nous étudions également le temps de retour en 0 d'un processus de branchement en milieu aléatoire avec immigration. Nous montrons l'existence d'un moment exponentiel fini uniformément valable sur une classe de processus de branchement en milieu aléatoire. Le processus de branchement en milieu aléatoire constituant une chaîne de Markov, ce résultat permet alors d'expliciter la dépendance des constantes de l'inégalité de concentration en fonction des caractéristiques de ce processus. / Introduced in the 1960s, the model of random walk in i.i.d. environment on integers (or RWRE) raised only recently interest in the statistical community. Various works have in particular focused on the estimation of the environment distribution from a single trajectory of the RWRE.This thesis extends the advances made in those works and offers new approaches to the problem.First, we consider the estimation problem from a frequentist point of view. When the RWRE is transient to the right or recurrent, we build the first non-parametric estimator of the density of the environment distribution and obtain an upper-bound of the associated risk in infinite norm.Then, we consider the estimation problem from a Bayesian perspective. When the RWRE is transient to the right, we prove the posterior consistency of the Bayesian estimator of the environment distribution.The main difficulty of the thesis was to develop the tools necessary to the proof of Bayesian consistency.For this purpose, we demonstrate a quantitative version of a Mac Diarmid's type concentration inequality for Markov chains.We also study the return time to 0 of a branching process with immigration in random environment (or BPIRE). We show the existence of a finite exponential moment uniformly valid on a class of BPIRE. The BPIRE being a Markov chain, this result enables then to make explicit the dependence of the constants of the concentration inequality with respect to the characteristics of the BPIRE.