O estudo de matrizes aleatórias na física tradicionalmente ocorre no contexto dos modelos de Wigner e na estatística por modelos de Wishart, que se conectam através do threefold way de Dyson para matrizes aleatórias reais, complexas e de quaternios indexadas respectivamente pelo índice B = 1; 2; 4 de Dyson. Estudos recentes mostraram o caminho para que estes modelos fossem generalizados para valores reais de B, permitindo o estudo de ensembles com índice arbitrário. Neste trabalho, estudamos as propriedades estatísticas destes sistemas e exploramos a física subjacente nos modelos de Wigner e Wishart e investigamos, através de cálculos numéricos, os efeitos de localização nos modelos de geral. Também introduzimos quebras na simetria desta nova forma e estudamos numericamente os resultados da estatística dos sistemas perturbados. / The study of random matrices in physics has traditionally occurred in the context of Wigner models and in statistics by Wishart models, which are connected through Dyson\'s threefold way for real, complex and quaternion random matrices index by the Dyson _ = 1; 2; 4 index, respectively. Recent studies have shown the way by which these models are generalized for real values of _, allowing for the study the ensembles with arbitrary index. In this work, we study the statistical properties of these systems and explore the underlying physics in Wigner\'s and Wishart\'s models through and investigate through numerical calculations the e_ects of localization in general _ models. We also introduce symmetry breaks in this new form and study numerically the results of the statistics of the disturbed systems.

While many university students get introduced to the concept of statistics early in their education, random matrix theory (RMT) usually first arises (if at all) in graduate level classes. This thesis serves as a friendly introduction to RMT, which is the study of matrices with entries following some probability distribution. Fundamental results, such as Gaussian and Wishart ensembles, are introduced and a discussion of how their corresponding eigenvalues are distributed is presented. Two well-studied applications, namely neural networks and PCA, are discussed where we present how RMT can be applied / Medan många stöter på statistik och sannolikhetslära tidigt under sina universitetsstudier så är det sällan slumpmatristeori (RMT) dyker upp förän på forskarnivå. RMT handlar om att studera matriser där elementen följer någon sannolikhetsfördelning och den här uppsatsen presenterar den mest grundläggande teorin för slumpmatriser. Vi introducerar Gaussian ensembles, Wishart ensembles samt fördelningarna för dem tillhörande egenvärdena. Avslutningsvis så introducerar vi hur slumpmatriser kan användas i neruonnät och i PCA.

Le défi du BigData entraîne un besoin pour les algorithmes d'apprentissage automatisé de s'adapter aux données de grande dimension et de devenir plus efficace. Récemment, une nouvelle direction de recherche est apparue qui consiste à analyser les méthodes d’apprentissage dans le régime moderne où le nombre n et la dimension p des données sont grands et du même ordre. Par rapport au régime conventionnel où n>>p, le régime avec n,p sont grands et comparables est particulièrement intéressant, car les performances d’apprentissage dans ce régime restent sensibles à l’ajustement des hyperparamètres, ouvrant ainsi une voie à la compréhension et à l’amélioration des techniques d’apprentissage pour ces données de grande dimension.L'approche technique de cette thèse s'appuie sur des outils avancés de statistiques de grande dimension, nous permettant de mener des analyses allant au-delà de l'état de l’art. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'apprentissage semi-supervisé sur des grandes données. Motivés par nos résultats théoriques, nous proposons une alternative supérieure à la méthode semi-supervisée de régularisation laplacienne. Les méthodes avec solutions implicites, comme les SVMs et la régression logistique, sont ensuite étudiées sous des modèles de mélanges réalistes, fournissant des détails exhaustifs sur le mécanisme d'apprentissage. Plusieurs conséquences importantes sont ainsi révélées, dont certaines sont même en contradiction avec la croyance commune. / The BigData challenge induces a need for machine learning algorithms to evolve towards large dimensional and more efficient learning engines. Recently, a new direction of research has emerged that consists in analyzing learning methods in the modern regime where the number n and the dimension p of data samples are commensurately large. Compared to the conventional regime where n>>p, the regime with large and comparable n,p is particularly interesting as the learning performance in this regime remains sensitive to the tuning of hyperparameters, thus opening a path into the understanding and improvement of learning techniques for large dimensional datasets.The technical approach employed in this thesis draws on several advanced tools of high dimensional statistics, allowing us to conduct more elaborate analyses beyond the state of the art. The first part of this dissertation is devoted to the study of semi-supervised learning on high dimensional data. Motivated by our theoretical findings, we propose a superior alternative to the standard semi-supervised method of Laplacian regularization. The methods involving implicit optimizations, such as SVMs and logistic regression, are next investigated under realistic mixture models, providing exhaustive details on the learning mechanism. Several important consequences are thus revealed, some of which are even in contradiction with common belief.

Dans cette thèse, nous étudions les graphes aléatoires en utilisant des outils de la théorie des matrices aléatoires et l’analyse probabilistique afin de résoudre des problèmes clefs dans le domaine des réseaux complexes et Big Data. Le premier problème qu’on considère est de détecter un sous graphe Erdős–Rényi G(m,p) plante dans un graphe Erdős–Rényi G(n,q). Nous dérivons les distributions d’une statistique basée sur les propriétés spectrales d’une matrice définie du graphe. Ensuite, nous considérons le problème de la récupération des sommets du sous graphe en présence de l’information supplémentaire. Pour cela nous utilisons l’algorithme «Belief Propagation». Le BP sans informations supplémentaires ne réussit à la récupération qu’avec un SNR effectif lambda au-delà d’un seuil. Nous prouvons qu’en présence des informations supplémentaires, ce seuil disparaît et le BP réussi pour n’importe quel lambda. Finalement, nous dérivons des expressions asymptotiques pour PageRank sur une classe de graphes aléatoires non dirigés appelés « fast expanders », en utilisant des techniques théoriques à la matrice aléatoire. Nous montrons que PageRank peut être approché pour les grandes tailles du graphe comme une combinaison convexe du vecteur de dégré normalisé et le vecteur de personnalisation du PageRank, lorsque le vecteur de personnalisation est suffisamment délocalisé. Par la suite, nous caractérisons les formes asymptotiques de PageRank sur le Stochastic Block Model (SBM) et montrons qu’il contient un terme de correction qui est fonction de la structure de la communauté. / In this thesis, we study random graphs using tools from Random Matrix Theory and probability to tackle key problems in complex networks and Big Data. First we study graph anomaly detection. Consider an Erdős-Rényi (ER) graph with edge probability q and size n containing a planted subgraph of size m and probability p. We derive a statistical test based on the eigenvalue and eigenvector properties of a suitably defined matrix to detect the planted subgraph. We analyze the distribution of the derived test statistic using Random Matrix Theoretic techniques. Next, we consider subgraph recovery in this model in the presence of side-information. We analyse the effect of side-information on the detectability threshold of Belief Propagation (BP) applied to the above problem. We show that BP correctly recovers the subgraph even with noisy side-information for any positive value of an effective SNR parameter. This is in contrast to BP without side-information which requires the SNR to be above a certain threshold. Finally, we study the asymptotic behaviour of PageRank on a class of undirected random graphs called fast expanders, using Random Matrix Theoretic techniques. We show that PageRank can be approximated for large graph sizes as a convex combination of the normalized degree vector and the personalization vector of the PageRank, when the personalization vector is sufficiently delocalized. Subsequently, we characterize asymptotic PageRank on Stochastic Block Model (SBM) graphs, and show that it contains a correction term that is a function of the community structure.

La coopération des émetteurs est considérée comme une approche prometteuse pour limiter les interférences dans les réseaux sans fil ayant une réutilisation des ressources spectrales très agressive. La coopération des émetteurs permet l'optimisation conjointe de certains paramètres de transmission. Bien que la coopération des émetteurs existe sous différentes formes, une hypothèse commune est le besoin pour les émetteurs entrant en coopération (i) d’acquérir et de partager des informations concernant le canal de propagation ainsi que (ii) d’effectuer une coopération fondée sur les informations diffusées à l'étape précédente. La conception coordonnée des matrices de précodage et, d’une manière encore plus marquée, la transmission conjointe à différents émetteurs sont des exemples importants de méthodes de coopérations présentant ces propriétés. L’acquisition et l'échange de l’information de canal étant strictement limités, il se pose deux questions importantes: (i) Quelle information doit être renvoyée ou échangée de manière à permettre la coopération la plus efficace? (ii) Quelles méthodes permettent de réaliser les gains de la coopération dans ce contexte de partage limité et imparfait d’information? Dans cette thèse, nous abordons les deux questions précédentes. Dans un premier temps, nous considérons que chaque émetteur acquiert une estimée de canal imparfaite. Dans un second temps, nous étudions la conception de techniques de coopération efficaces dans une configuration d’information de canal imparfaitement partagée entre les émetteurs. Enfin, les futures directions de recherche découlant de ces travaux sont présentées et discutées. / Transmitter cooperation is considered a promising tool for dealing with interference in wireless networks with an aggressive reuse policy of spectral resources. Although transmitter cooperation comes in many flavors, a recurrent assumption behind proposed methods lies in the need for cooperating devices to (i) acquire, share information pertaining to the propagation channel toward the multiple receivers and (ii) perform cooperation based on the disseminated information in the previous step. This holds true for instance for coordinated beamforming methods and, to an even greater extent, for network-MIMO (Joint Processing coordinated multi-point (JP CoMP) in the long term evolution (LTE) terminology). As feedback and exchange of channel state information (CSI) come at a price in terms of signaling overhead, there arise two important questions: (i) What information should be fed back or exchanged such that the CSI acquired at each transmitter is most informative to perform cooperation? (ii) Which techniques can reap the benefits of cooperation while living with an imperfect channel representation that varies from transmitter to transmitter ? In this thesis, we address both aforementioned questions. We consider first each transmitter acquires an initial imperfect CSI based on limited receivers feedback. For the design of efficient cooperation techniques that copes with the imperfect and non-identical CSI configuration at each transmitter, we investigate specifically a regularized zero forcing (RZF) precoder design in large system scenario. Finally, interesting and challenging research directions and open problems are discussed.

Motivée par les récentes avancées dans l'analyse théorique des performances des algorithmes d'apprentissage automatisé, cette thèse s'intéresse à l'analyse de performances et à l'amélioration de la classification nonsupervisée de données et graphes en grande dimension. Spécifiquement, dans la première grande partie de cette thèse, en s'appuyant sur des outils avancés de la théorie des grandes matrices aléatoires, nous analysons les performances de méthodes spectrales sur des modèles de graphes réalistes et denses ainsi que sur des données en grandes dimensions en étudiant notamment les valeurs propres et vecteurs propres des matrices d'affinités de ces données. De nouvelles méthodes améliorées sont proposées sur la base de cette analyse théorique et démontrent à travers de nombreuses simulations que leurs performances sont meilleures comparées aux méthodes de l'état de l'art. Dans la seconde partie de la thèse, nous proposons un nouvel algorithme pour la détection de communautés hétérogènes entre plusieurs couches d'un graphe à plusieurs types d'interaction. Une approche bayésienne variationnelle est utilisée pour approximer la distribution apostériori des variables latentes du modèle. Toutes les méthodes proposées dans cette thèse sont utilisées sur des bases de données synthétiques et sur des données réelles et présentent de meilleures performances en comparaison aux approches standard de classification dans les contextes susmentionnés. / Spurred by recent advances on the theoretical analysis of the performances of the data-driven machine learning algorithms, this thesis tackles the performance analysis and improvement of high dimensional data and graph clustering. Specifically, in the first bigger part of the thesis, using advanced tools from random matrix theory, the performance analysis of spectral methods on dense realistic graph models and on high dimensional kernel random matrices is performed through the study of the eigenvalues and eigenvectors of the similarity matrices characterizing those data. New improved methods are proposed and are shown to outperform state-of-the-art approaches. In a second part, a new algorithm is proposed for the detection of heterogeneous communities from multi-layer graphs using variational Bayes approaches to approximate the posterior distribution of the sought variables. The proposed methods are successfully applied to synthetic benchmarks as well as real-world datasets and are shown to outperform standard approaches to clustering in those specific contexts.

Ever since its introduction in 1952, the Mean-Variance (MV) portfolio selection theory has remained a centerpiece within the realm of e_cient asset allocation. However, in scienti_c circles, the theory has stirred controversy. A strand of criticism has emerged that points to the phenomenon that Mean-Variance Optimization su_ers from the severe drawback of estimation errors contained in the expected return vector and the covariance matrix, resulting in portfolios that may signi_cantly deviate from the true optimal portfolio. While a substantial amount of e_ort has been devoted to estimating the expected return vector in this context, much less is written about the covariance matrix input. In recent times, however, research that points to the importance of the covariance matrix in MV optimization has emerged. As a result, there has been a growing interest whether MV optimization can be enhanced by improving the estimate of the covariance matrix. Hence, this thesis was set forth by the purpose to investigate whether nancial practitioners and institutions can allocate portfolios consisting of assets in a more e_cient manner by changing the covariance matrix input in mean-variance optimization. In the quest of chieving this purpose, an out-of-sample analysis of MV optimized portfolios was performed, where the performance of ve prominent covariance matrix estimators were compared, holding all other things equal in the MV optimization. The optimization was performed under realistic investment constraints, taking incurred transaction costs into account, and for an investment asset universe ranging from equity to bonds. The empirical _ndings in this study suggest one dominant estimator: the covariance matrix estimator implied by the Gerber Statistic (GS). Speci_cally, by using this covariance matrix estimator in lieu of the traditional sample covariance matrix, the MV optimization rendered more e_cient portfolios in terms of higher Sharpe ratios, higher risk-adjusted returns and lower maximum drawdowns. The outperformance was protruding during recessionary times. This suggests that an investor that employs traditional MVO in quantitative asset allocation can improve their asset picking abilities by changing to the, in theory, more robust GS  ovariance matrix estimator in times of volatile nancial markets.

One of the problems with the modern radio communication is the lack of availableradio frequencies. Recent studies have shown that, while the available licensed radiospectrum becomes more occupied, the assigned spectrum is significantly underutilized.To alleviate the situation, cognitive radio (CR) technology has been proposedto provide an opportunistic access to the licensed spectrum areas. Secondary CRsystems need to cyclically detect the presence of a primary user by continuouslysensing the spectrum area of interest. Radiowave propagation effects like fading andshadowing often complicate sensing of spectrum holes. When spectrum sensing isperformed in a cooperative manner, then the resulting sensing performance can beimproved and stabilized. In this thesis, two fully distributed and adaptive cooperative Primary User (PU)detection solutions for CR networks are studied. In the first part of this thesis we study a distributed energy detection schemewithout using any fusion center. Due to reduced communication such a topologyis more energy efficient. We propose the usage of distributed, diffusion least meansquare (LMS) type of power estimation algorithms with different network topologies.We analyze the resulting energy detection performance by using a commonframework and verify the theoretical findings through simulations. In the second part of this thesis we propose a fully distributed detection scheme,based on the largest eigenvalue of adaptively estimated correlation matrices, assumingthat the primary user signal is temporally correlated. Different forms of diffusionLMS algorithms are used for estimating and averaging the correlation matrices overthe CR network. The resulting detection performance is analyzed using a commonframework. In order to obtain analytic results on the detection performance, theadaptive correlation matrix estimates are approximated by a Wishart distribution.The theoretical findings are verified through simulations. / <p>QC 20170908</p>

Le sujet principal de cette thèse est la physique des verres de spin. Les verres de spin ont été introduits au début des années 70 pour décrire alliages magnétiques diluées. Ils ont désormais été considerés pour comprendre le comportement de liquides sousrefroidis. Parmis les systèmes qui peuvent être décrits par le langage des systèmes desordonnés, on trouve les problèmes d’optimisation combinatoire. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons les modèles de verre de spin avec intéraction de Kac pour investiguer la phase de basse température des liquides sous-refroidis. Dans les chapitres qui suivent, nous montrons comment certaines caractéristiques des modèles de verre de spin peuvent être obtenues à partir de résultats de la théorie des matrices aléatoires en connection avec la statistique des valeurs extrêmes. Dans la dernière partie de la thèse, nous considérons la connexion entre la théorie desverres de spin et la science computationnelle, et présentons un nouvel algorithme qui peut être appliqué à certains problèmes dans le domaine des finances. / The main subject of this thesis is the physics of spin glasses. After their introduction in the 70s in order to describe dilute magnetic alloys, spin-glass models have been considered prototype models to understand the behavior of supercooled liquids. Among the systems that can be described and analyzed using the language of disordered systems, there are problems of combinatorial optimization. In the first part of the thesis, we consider spin-glass models with Kac interactions in order to investigate the supercooled phase of glass-forming liquids. Afterwards, we show how some features of spin-glass models can be described by ubiquitous results of Random Matrix Theory in connection with Extreme Value Statistics. Finally, from the interaction of spin-glass theory and computer science, we put forward a new algorithm of immediate application in Financial problems.

Il est attendu que les radios flexibles constituent un tournant technologique majeur dans le domaine des communications sans fil. Le point de vue adopté en radios flexibles est de considérer les canaux de communication comme un ensemble de ressources qui peuvent être accédées sur demande par un réseau primaire sous licence ou de manière opportuniste par un réseau secondaire à plus faible priorité. Du point de vue de la couche physique, le réseau primaire n’a aucune information sur l’existence de réseaux secondaires, de sorte que ces derniers doivent explorer l’environnement aérien de manière autonome à la recherche d’opportunités spectrales et exploiter ces ressources de manière optimale. Les phases d’exploration et d’exploitation, qui impliquent la gestion de nombreux agents, doivent être très fiables, rapides et efficaces. L’objectif de cette thèse est de modéliser, d’analyser et de proposer des solutions efficaces et quasi optimales pour ces dernières opérations.En ce qui concerne la phase d’exploration, nous calculons le test optimal de Neyman-Pearson de détection de plusieurs sources primaires via un réseau de capteurs. Cette procédure permet à un réseau secondaire d’établir la présence de ressources spectrales disponibles. La complexité calculatoire de l’approche optimale appelle cependant la mise en place de méthodes moins onéreuses, que nous rappelons et discutons. Nous étendons alors le test de détection en l’estimation aveugle de la position de sources multiples, qui permet l’acquisition d’informations détaillées sur les ressources spectrales disponibles.Le second volet de cette thèse est consacré à la phase d’exploitation optimale des ressources au niveau du réseau secondaire. Pour ce faire, nous obtenons une approximation fine du débit ergodique d’un canal multi-antennes à accès multiples et proposons des solutions peu coûteuses en termes de feedback afin que les réseaux secondaires s’adaptent rapidement aux évolutions rapides du réseau primaire. / Future cognitive radio networks are expected to come as a disruptive technological advance in the currently saturated field of wireless communications. The idea behind cognitive radios is to think of the wireless channels as a pool of communication resources, which can be accessed on-demand by a primary licensed network or opportunistically preempted (or overlaid) by a secondary network with lower access priority. From a physical layer point of view, the primary network is ideally oblivious of the existence of a co-localized secondary networks. The latter are therefore required to autonomously explore the air in search for resource left-overs, and then to optimally exploit the available resource. The exploration and exploitation procedures, which involve multiple interacting agents, are requested to be highly reliable, fast and efficient. The objective of the thesis is to model, analyse and propose computationally efficient and close-to-optimal solutions to the above operations.Regarding the exploration phase, we first resort to the maximum entropy principle to derive communication models with many unknowns, from which we derive the optimal multi-source multi-sensor Neyman-Pearson signal sensing procedure. The latter allows for a secondary network to detect the presence of spectral left-overs. The computational complexity of the optimal approach however calls for simpler techniques, which are recollected and discussed. We then proceed to the extension of the signal sensing approach to the more advanced blind user localization, which provides further valuable information to overlay occupied spectral resources.The second part of the thesis is dedicaded to the exploitation phase, that is, the optimal sharing of available resources. To this end, we derive an (asymptotically accurate) approximated expression for the uplink ergodic sum rate of a multi-antenna multiple-access channel and propose solutions for cognitive radios to adapt rapidly to the evolution of the primary network at a minimum feedback cost for the secondary networks.