Den här uppsatsen behandlar de så kallade Catalantalen, vilket är en talföljd som används inom många olika tillämpningsområden. Tanken är att läsaren först ska få en introduktion/repetition inom de delar av kombinatoriken som är nödvändiga för att sedan kunna förstå Catalantalen och dess användning. Uppsatsen är främst skriven för gymnasieelever som vill fördjupa sig inom kombinatoriken men kan även passa universitetsstuderande inom matematik.Uppsatsen kan kanske även fungera som ett stöd till att förse intresserade elever med ytterligare material och utmaningar.

Universiẗat, Diss., 2002--Bochum.

Die Panjer-Rekursion wird in der vorliegenden Arbeit verallgemeinert auf den Fall, dass die Verteilung der Schadensanzahl durch eine Folge von Vektoren gegeben ist. Es wird ein diskretes Risikomodell untersucht.

Die 2^(k – 1) Typen der ungeordneten Zahlpartitionen mit k Parts (k-Partitionen) werden hier mit Hilfe der geordneten Partitionen von k definiert. Für jeden Typ gibt es eine erzeugende Funktion der geschlossenen Form mit eindeutiger Nummerierung. Die bekannte erzeugende Funktion der k-Partitionen ist die Summe dieser 2^(k – 1) typspezifischen erzeugenden Funktionen. Die Expansion dieser typspezifischen erzeugenden Funktionen in (unendlich lange) Potenzreihen ist rekursiv möglich. Untersucht werden Zerlegungen von erzeugenden Funktionen der einfachen Typen in erzeugende Funktionen anderer Typen. Damit lassen sich Bijektionen zwischen den Partitionen verschiedener Typen aufspüren. Die typspezifischen Betrachtungen werden auf die geordneten Partitionen und auf ihre erzeugenden Funktionen ausgeweitet.

Jede ungeordnete Zahlpartition mit k Parts (k-Partiton) hat einen Typ, der mittels einer geordneten Partition von k definiert werden kann. Es können somit 2^(k - 1) Typen definiert werden. Pro Typ gibt es eine eindeutig nummerierbare erzeugende Funktion der geschlossenen Form. Mit Rekursionen können diese Funktionen in (unendlich lange) Potenzreihen expandiert werden. Mit diesen erzeugenden Funktionen lassen sich Bijektionen zwischen den Partitionsmengen verschiedener Typen aufspüren.

Ulm, Univ., Diss., 2007.

Die 2^(k – 1) Typen der ungeordneten Zahlpartitionen mit k Parts (k-Partitionen) werden hier mit Hilfe der geordneten Partitionen von k definiert. Für jeden Typ gibt es eine erzeugende Funktion der geschlossenen Form mit eindeutiger Nummerierung. Die bekannte erzeugende Funktion der k-Partitionen ist die Summe dieser 2^(k – 1) typspezifischen erzeugenden Funktionen. Die Expansion dieser typspezifischen erzeugenden Funktionen in (unendlich lange) Potenzreihen ist rekursiv möglich. Untersucht werden Zerlegungen von erzeugenden Funktionen der einfachen Typen in erzeugende Funktionen anderer Typen. Damit lassen sich Bijektionen zwischen den Partitionen verschiedener Typen aufspüren. Die typspezifischen Betrachtungen werden auf die geordneten Partitionen und auf ihre erzeugenden Funktionen ausgeweitet.:1. Kurze Vorbetrachtung 2. Die Typen der ungeordneten k-Partitionen 3. Konstruktion einer typspezifischen GF (generating function) 4. Nummerierung und Symbolik für typspezifische GF’s 5. Die Summe aller typspezifischen GF’s 6. Multiplizieren elementarer Potenzreihen, Erzeugungsformeln 7. Rekursives Expandieren typspezifischer GF’s 8. Zahlen, die in k-Partitionen aller 2^(k – 1) Typen zerlegbar sind 9. Die Konjugierten der typspezifischen k-Partitionen 10. GF-Zerlegungen 10.1 Zerlegung der GF des Typs r = 2 10.2 Zerlegung der GF des Typs r = 3 11. Die typspezifischen GF’s der geordneten Partitionen 12. Literaturverzeichnis 13. Nachwort

Jede ungeordnete Zahlpartition mit k Parts (k-Partiton) hat einen Typ, der mittels einer geordneten Partition von k definiert werden kann. Es können somit 2^(k - 1) Typen definiert werden. Pro Typ gibt es eine eindeutig nummerierbare erzeugende Funktion der geschlossenen Form. Mit Rekursionen können diese Funktionen in (unendlich lange) Potenzreihen expandiert werden. Mit diesen erzeugenden Funktionen lassen sich Bijektionen zwischen den Partitionsmengen verschiedener Typen aufspüren.:1. Kurze Vorbetrachtung 2. Typen der ungeordneten k-Partitionen 3. Konstruktion der GF (generating function) des allgemeinen Typs 4. Nummerierung der konstruierten GF 5. Weitere Analysen zur konstruierten GF 6. Die konjugierten der typspezifischen k-Partitionen 7. Vereinfachte GF-Symbolik 8. Eine programmierbare Basis-GF 9. Dekomposition von Q(x, k) in typspezifische GF''s 10. Rekursives Expandieren typspezifischer GF''s 11. GF-Zerlegungen und Bijektionen 12. Zahlen, die in k-Partitionen aller Typen zerlegbar sind 13. Referenzen