A new preconditioner for the quick solution of a crack growth problem in 2D adaptive finite element analysis is proposed. Numerical experiments demonstrate the power of the method.

The preprint delivers an efficient solution technique for the numerical simulation of crack propagation of 2D linear elastic formulations based on finite elements together with the conjugate gradient method in order to solve the corresponding linear equation systems. The developed iterative numerical approach using hierarchical preconditioners comprehends the interesting feature that the hierarchical data structure will not be destroyed during crack propagation. Thus, one gets the possibility to simulate crack advance in a very effective numerical manner including adaptive mesh refinement and mesh coarsening. Test examples are presented to illustrate the efficiency of the given approach. Numerical simulations of crack propagation are compared with experimental data.

A new preconditioner for the quick solution of a crack growth problem in 2D adaptive finite element analysis is proposed. Numerical experiments demonstrate the power of the method.

Die bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomerwerkstoffen zeigen eine deutliche Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie. Endscheidenden Einfluss hat die Art der Beanspruchung, die der Belastung des realen Bauteils entsprechen sollte. In dieser Arbeit wird die Methode zur Analyse des dynamischen Risswachstums von Elastomeren im simultanen Tensile- und Pure-shear-Prüfmodus beschrieben. Die Methode, basierend auf der mechanischen Aufrüstung und Weiterentwicklung eines Tear and Fatigue Analyzers, stellt den Prüfmethoden übergreifende Feststellungen zu aussagekräftigen Kennwertdaten des Bruchverhaltens von Elastomeren vor. Die Schwerpunke der Arbeit wurden in zwei Hauptthemen unterteilt, wobei zuerst eine konstruktive Modifizierung des kommerziellen TFA vorgenommen wurde und anschließend die Untersuchungen zur Beschreibung der bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomerwerkstoffen und dynamischer Beanspruchung mittels modifiziertem TFA durchgeführt wurden. Es wurde aus den Anforderungen an die quantitative, simultane Analyse von SENT- als auch Pure-shear-Prüfkörpern eine konstruktive Modifizierung des kommerziellen TFA vorgenommen. Insbesondere die Schwerpunkte der Modifizierung wurden der Verminderung des Einflusses der Prüfkörperhalterungsfestigkeit auf die Genauigkeit der Analyse und der Untersuchung des Resonanzbereiches des TFA gewidmet. Die hier dokumentierten Ergebnisse durch den modifizierten TFA haben deutlich das unterschiedliche Bruchverhalten in der Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie nachgewiesen. Es wurden umfangreiche Untersuchungen zur Charakterisierung der Rissausbreitungsgeschwindigkeiten in Elastomeren in Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie als auch von der Risslänge durchgeführt, wobei festgestellt wurde, dass die bruchmechanischen Eigenschaften nicht nur von der Risslänge, sondern auch signifikant von der Kerbgeometrie abhängen. Die Ergebnisse haben weiterhin gezeigt, dass ein großer Einfluss der Herstellungsparameter der Prüfkörper unter Berücksichtigung von Kautschukbasis und Kautschukmischungsrezeptur auf die bruchmechanischen Eigenschaften besteht. Die vorgestellte Methode zur Bestimmung der dynamisch-bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomeren stellt zusammen mit der Berücksichtigung der Herstellungsparameter einen genauen Vergleich zwischen den experimentell ermittelten Prüfwerten unabhängig von der Prüfkörpergeometrie dar. / The mechanical properties of rubber materials can be shown to be a function of the geometry of the test specimen. The main affecting parameters are the loading conditions. The present work proposes a new fracture mechanical testing concept for determination of dynamic crack propagation of rubber materials. This concept implements a method of simultaneous tensile- and pure-shear-mode testing. The present approach is based on an upgrade of the Tear and Fatigue Analyzers, on the fracture mechanics theory of dynamically loaded test specimens and on the definition of pure-shear states according to the test specimen’s geometry ratio. The main focus of this work can be divided in two parts. Firstly it is introduced the development of a method for analysis of dynamic crack propagation in filled rubber by simultaneous tensile- and pure shear mode testing. The servo-hydraulic machine with controlled temperature testing chamber is equipped with simultaneously operating two mode test equipment which represents a new fracture testing method. Secondarily the analysis of crack propagation under the dynamic loading conditions is practised with this method. It is shown how the tearing energy and the crack growth rate depend on the test specimen’s geometry ratio and crack length. It is also demonstrated that the values for tearing energies and also crack growth rates for short crack lengths in SENT- as well as in pure-shear test specimens are identical. Another important aspect is related to the different values of tearing energies and crack growth rates for cracks with short and large lengths in pure-shear test specimens. The results show the dependence of fracture behavior on manufacturing the test specimens. The new fracture mechanical testing concept offers a comparison between fracture behavior of rubber materials independent of the test specimens geometry.

In dieser Arbeit wird die Strukturbildung beim Risswachstum im stationären und instationärem Temperaturfeld im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik analysiert und numerisch mittels der Methode der finiten Elemente (FEM) untersucht. Die beim langsamen Eintauchen eines heißen schmalen Glasstreifens in kaltes Wasser mit wachsender Temperaturdifferenz oder Eintauchgeschwindigkeit beobachteten Übergänge zwischen keinem, einem geraden und einem oszillierenden Riss werden in ein morphologisches Diagramm eingetragen und die Art des Überganges zur oszillierenden Rissausbreitung bestimmt. Die theoretischen Ergebnisse werden mit Experimenten verschiedener Autoren verglichen. Gleichartige Untersuchungen werden für die Ausbreitung mehrerer Risse durchgeführt. Beim Abschrecken einer erwärmten breiten Probe entstehen hierarchisch geordnete Risslängenstrukturen. Das Skalenverhalten der Rissdichte in Abhängigkeit von der Risslänge wird untersucht. Die Theorie liefert ohne Fitparameter eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Experiment. / This paper investigates the formation of crack patterns in stationary and transient temperature fields analytically with linear elastic fracture mechanics and numerically with the finite elements method (FEM). In particular, we consider the experimental situation of a narrow thin strip of hot glass slowly lowered into cold water, with temperature difference and velocity as variable parameters. The parameter regions of no crack, one straight crack and one oscillating crack are determined. The type of phase transition related to the borderline between straight and oscillating crack is characterized. The theoretical results are compared with those of other authors. Similar investigations and comparisions are done for the propagation of multiple cracks. Quenching of a wide thin strip leads to a hierarchy of cracks whose scaling properties are analyzed. Without any fitting, theory and experiment agree surprisingly well.

In dieser Arbeit wird die Strukturbildung beim Risswachstum im stationären und instationärem Temperaturfeld im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik analysiert und numerisch mittels der Methode der finiten Elemente (FEM) untersucht. Die beim langsamen Eintauchen eines heißen schmalen Glasstreifens in kaltes Wasser mit wachsender Temperaturdifferenz oder Eintauchgeschwindigkeit beobachteten Übergänge zwischen keinem, einem geraden und einem oszillierenden Riss werden in ein morphologisches Diagramm eingetragen und die Art des Überganges zur oszillierenden Rissausbreitung bestimmt. Die theoretischen Ergebnisse werden mit Experimenten verschiedener Autoren verglichen. Gleichartige Untersuchungen werden für die Ausbreitung mehrerer Risse durchgeführt. Beim Abschrecken einer erwärmten breiten Probe entstehen hierarchisch geordnete Risslängenstrukturen. Das Skalenverhalten der Rissdichte in Abhängigkeit von der Risslänge wird untersucht. Die Theorie liefert ohne Fitparameter eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Experiment. / This paper investigates the formation of crack patterns in stationary and transient temperature fields analytically with linear elastic fracture mechanics and numerically with the finite elements method (FEM). In particular, we consider the experimental situation of a narrow thin strip of hot glass slowly lowered into cold water, with temperature difference and velocity as variable parameters. The parameter regions of no crack, one straight crack and one oscillating crack are determined. The type of phase transition related to the borderline between straight and oscillating crack is characterized. The theoretical results are compared with those of other authors. Similar investigations and comparisions are done for the propagation of multiple cracks. Quenching of a wide thin strip leads to a hierarchy of cracks whose scaling properties are analyzed. Without any fitting, theory and experiment agree surprisingly well.

Die bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomerwerkstoffen zeigen eine deutliche Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie. Endscheidenden Einfluss hat die Art der Beanspruchung, die der Belastung des realen Bauteils entsprechen sollte. In dieser Arbeit wird die Methode zur Analyse des dynamischen Risswachstums von Elastomeren im simultanen Tensile- und Pure-shear-Prüfmodus beschrieben. Die Methode, basierend auf der mechanischen Aufrüstung und Weiterentwicklung eines Tear and Fatigue Analyzers, stellt den Prüfmethoden übergreifende Feststellungen zu aussagekräftigen Kennwertdaten des Bruchverhaltens von Elastomeren vor. Die Schwerpunke der Arbeit wurden in zwei Hauptthemen unterteilt, wobei zuerst eine konstruktive Modifizierung des kommerziellen TFA vorgenommen wurde und anschließend die Untersuchungen zur Beschreibung der bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomerwerkstoffen und dynamischer Beanspruchung mittels modifiziertem TFA durchgeführt wurden. Es wurde aus den Anforderungen an die quantitative, simultane Analyse von SENT- als auch Pure-shear-Prüfkörpern eine konstruktive Modifizierung des kommerziellen TFA vorgenommen. Insbesondere die Schwerpunkte der Modifizierung wurden der Verminderung des Einflusses der Prüfkörperhalterungsfestigkeit auf die Genauigkeit der Analyse und der Untersuchung des Resonanzbereiches des TFA gewidmet. Die hier dokumentierten Ergebnisse durch den modifizierten TFA haben deutlich das unterschiedliche Bruchverhalten in der Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie nachgewiesen. Es wurden umfangreiche Untersuchungen zur Charakterisierung der Rissausbreitungsgeschwindigkeiten in Elastomeren in Abhängigkeit von der Prüfkörpergeometrie als auch von der Risslänge durchgeführt, wobei festgestellt wurde, dass die bruchmechanischen Eigenschaften nicht nur von der Risslänge, sondern auch signifikant von der Kerbgeometrie abhängen. Die Ergebnisse haben weiterhin gezeigt, dass ein großer Einfluss der Herstellungsparameter der Prüfkörper unter Berücksichtigung von Kautschukbasis und Kautschukmischungsrezeptur auf die bruchmechanischen Eigenschaften besteht. Die vorgestellte Methode zur Bestimmung der dynamisch-bruchmechanischen Eigenschaften von Elastomeren stellt zusammen mit der Berücksichtigung der Herstellungsparameter einen genauen Vergleich zwischen den experimentell ermittelten Prüfwerten unabhängig von der Prüfkörpergeometrie dar. / The mechanical properties of rubber materials can be shown to be a function of the geometry of the test specimen. The main affecting parameters are the loading conditions. The present work proposes a new fracture mechanical testing concept for determination of dynamic crack propagation of rubber materials. This concept implements a method of simultaneous tensile- and pure-shear-mode testing. The present approach is based on an upgrade of the Tear and Fatigue Analyzers, on the fracture mechanics theory of dynamically loaded test specimens and on the definition of pure-shear states according to the test specimen’s geometry ratio. The main focus of this work can be divided in two parts. Firstly it is introduced the development of a method for analysis of dynamic crack propagation in filled rubber by simultaneous tensile- and pure shear mode testing. The servo-hydraulic machine with controlled temperature testing chamber is equipped with simultaneously operating two mode test equipment which represents a new fracture testing method. Secondarily the analysis of crack propagation under the dynamic loading conditions is practised with this method. It is shown how the tearing energy and the crack growth rate depend on the test specimen’s geometry ratio and crack length. It is also demonstrated that the values for tearing energies and also crack growth rates for short crack lengths in SENT- as well as in pure-shear test specimens are identical. Another important aspect is related to the different values of tearing energies and crack growth rates for cracks with short and large lengths in pure-shear test specimens. The results show the dependence of fracture behavior on manufacturing the test specimens. The new fracture mechanical testing concept offers a comparison between fracture behavior of rubber materials independent of the test specimens geometry.

Die Arbeit führt Methoden zur Durchführung von Zugversuchen und bruchmechanischen Versu-chen ein und liefert mechanische Kennwerte für zwei kohlenstoffgebundene FFW im Bereich von RT bis 1500°C. Dafür standen ein grobkörniges MgO-C und ein feinkörniges Al2O3-C zur Ver-fügung. Die Werkstoffe zeigten bis 1200°C keine Duktilität und sprachen spröde. Die Schädigung erfolgte ausschließlich durch Risswachstum. Dieses fand beim MgO-C temperaturunabhängig auf Grund der rissbehafteten Mikrostruktur durch stabiles Risswachstum bereits vorhandener Risse statt. Es kam dabei zur Bildung von Rissnetzwerken sowie zu zahlreichen energiedissipierenden Prozessen. Beim Al2O3-C trat be RT instabiles Risswachstum auf. Bei hohen Temperaturen kam es durch thermisch aktivierte Prozesse zu duktilem Verhalten und stabilem Risswachstum. Beim grobkörnigen MgO-C wurden große Verformungen durch das starre Oxidgerüst verhindert. Zu-sätzlich zeigten die Werkstoffe auf Grund ihrer Mikrostruktur eine Zunahme der Festigkeit mit steigender Temperatur. Aus den Versuchen wurde ein Heißpressverfahren zur Herstellung von gradierten Werkstoffen abgeleitet.:1 Einleitung 2 Grundlagen 2.1 Feuerfestwerkstoffe 2.1.1 Einsatz und Beanspruchung von FFW 2.1.2 Einteilung von FFW 2.2 Kohlenstoffgebundene FFW 2.2.1 Kohlenstoff und seine Terminologie 2.2.2 Grundlegende Eigenschaften kohlenstoffgebundener FFW 2.2.3 Anwendungen kohlenstoffgebundener FFW 2.2.4 Aufbau und Mikrostruktur kohlenstoffgebundener FFW 2.2.5 Herstellungsparameter kohlenstoffgebundener FFW 2.2.6 Chemische Eigenschaften kohlenstoffgebundener FFW 2.3 Mechanische Eigenschaften kohlenstoffgebundener FFW 2.3.1 Mechanische Eigenschaften kohlenstoffgebundener FFW bei RT 2.3.2 Mechanische Eigenschaften kohlenstoffgebundener FFW bei HT 2.4 Grundlagen zur Werkstoffprüfung bei RT und hohen Temperaturen 2.4.1 Streuung und Einfluss der Probengröße 2.4.2 Belastungsrate 2.4.3 Zugversuche 2.4.4 Druckversuche 2.4.5 Biegeversuche 2.4.6 Bruchmechanische Untersuchungen 2.4.7 Temperaturwechselbeständigkeit 2.4.8 Kriechen 2.4.9 Spannungsrelaxation 2.4.10 Härtemessung 2.4.11 Hochtemperaturprüfung in Kaltkammerofen mit induktiver Heizung 2.4.12 Temperaturmessung mit Thermoelement, Pyrometrie, Thermographie 2.4.13 Bestimmung elastischer Konstanten mittels akustischer Methoden 2.4.14 Optische in situ Schadensbeschreibung mittels Mikroskopie und DIC 2.5 Heißpressverfahren 3 Experimentelles 3.1 Werkstoffe 3.1.1 Kohlenstoffgebundenes Magnesiumoxid (MgO-C) 3.1.2 Kohlenstoffgebundenes Aluminiumoxid (Al2O3-C) 3.1.3 Graphit (ISEM 8) 3.2 Mechanische Tests 3.2.1 Prüfmaschine für Druck- und Biegeversuche 3.2.2 Prüfmaschine für Zug-Druck-Versuche 3.2.3 Probengeometrien 3.2.4 Druckversuche 3.2.5 Biegeversuche 3.2.6 Bruchmechanische Versuche 3.2.7 Versuche mit Zugbeanspruchung 3.2.8 Versuchsabläufe der Hochtemperaturversuche 3.2.9 Temperaturmessung mittels Thermographie 3.3 Weitere Versuchsmethoden 3.3.1 Mikrostrukturuntersuchung mittels Mikroskopie und Röntgenbeugung 3.3.2 Porositäts- und Dichtemessung 3.3.3 Härtemessung 3.3.4 Dynamischer E-Modul 4 Methodische Erkenntnisse und Voruntersuchungen 4.1 Temperaturmessung und -verteilung 4.1.1 Temperaturmessung mittels Thermoelement und Pyrometer 4.1.2 Emissionskoeffizient und Probenbeschichtung 4.1.3 Temperaturverteilung 4.2 Dehnungsmessung 4.3 Zugversuche an Keramiken 4.3.1 Übertragung von Zugkräften 4.3.2 Axialität in Zugversuchen 4.4 Bruchmechanische Versuche 4.4.1 Kerbeinbringung 4.4.2 Überprüfung des optischen Messsystems 4.4.3 Bestimmung der Risslänge während des Versuchs 4.5 Überprüfung der Messmethodik mit dem Referenzwerkstoff Graphit ISEM-8 5 Ergebnisse 5.1 Mikrostrukturbeschreibung der untersuchten FFW 5.1.1 Mikrostruktur des MgO-C’s 5.1.2 Mikrostruktur des Al2O3-C’s 5.2 Mechanisches Verhalten bei RT 5.2.1 Mechanisches Verhalten von MgO-C bei RT 5.2.2 Mechanisches Verhalten von Al2O3-C bei RT 5.3 Mechanische Eigenschaften bei HT 5.3.1 Mechanisches Verhalten von MgO-C bei HT 5.3.2 Mechanisches Verhalten von Al2O3-C bei HT 5.4 Heißpressverfahren für kohlenstoffgebundene FFW 5.4.1 Beschreibung des Heißpressverfahrens 5.4.2 Physikalische Eigenschaften und Mikrostruktur des Presslings 5.4.3 Mechanische Eigenschaften des Presslings 6 Diskussion 7 Zusammenfassung und Ausblick Literatur Anhang

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

Zur numerischen Simulation piezoelektrischer Probleme mit linearem Materialgesetz wird die adaptive Finite-Element-Methode genutzt. Bei der Lösung der entstehenden Gleichungssysteme vom Sattelpunktstyp wird auf eine Variante des Bramble-Pasciak-CG zurückgegriffen. Die Einbettung von Projektionstechniken in den Löser erlaubt eine Behandlung von verschiedenen Problembesonderheiten, speziell wird hier auf die Fälle konstanten Potentials auf Teilrändern sowie Kontaktprobleme an wachsenden Rissen eingegangen. Erste numerische Ergebnisse werden an einigen Beispielen demonstriert.