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1	Krylov subspace methods and their generalizations for solving singular linear operator equations with applications to continuous time Markov chains Schneider, Olaf 16 December 2009 (has links) (PDF) Viele Resultate über MR- und OR-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme bleiben (in leicht modifizierter Form) gültig, wenn der betrachtete Operator nicht invertierbar ist. Neben dem für reguläre Probleme charakteristischen Abbruchverhalten, kann bei einem singulären Gleichungssystem auch ein so genannter singulärer Zusammenbruch auftreten. Für beide Fälle werden verschiedene Charakterisierungen angegeben. Die Unterrauminverse, eine spezielle verallgemeinerte Inverse, beschreibt die Näherungen eines MR-Unterraumkorrektur-Verfahrens. Für Krylov-Unterräume spielt die Drazin-Inverse eine Schlüsselrolle. Bei Krylov-Unterraum-Verfahren kann a-priori entschieden werden, ob ein regulärer oder ein singulärer Abbruch auftritt. Wir können zeigen, dass ein Krylov-Verfahren genau dann für beliebige Startwerte eine Lösung des linearen Gleichungssystems liefert, wenn der Index der Matrix nicht größer als eins und das Gleichungssystem konsistent ist. Die Berechnung stationärer Zustandsverteilungen zeitstetiger Markov-Ketten mit endlichem Zustandsraum stellt eine praktische Aufgabe dar, welche die Lösung eines singulären linearen Gleichungssystems erfordert. Die Eigenschaften der Übergangs-Halbgruppe folgen aus einfachen Annahmen auf rein analytischem und matrixalgebrischen Wege. Insbesondere ist die erzeugende Matrix eine singuläre M-Matrix mit Index 1. Ist die Markov-Kette irreduzibel, so ist die stationäre Zustandsverteilung eindeutig bestimmt. Lineares Gleichungssystem Verallgemeinerte Inverse Krylov-Verfahren Markov-Kette mit stetiger Zeit Endliche Markov-Kette Irreduzible Markov-Kette ddc:510 rvk:SK 820 rvk:SK 915
2	A multigrid method with matrix-dependent transfer operators for 3D diffusion problems with jump coefficients Zhebel, Elena 16 December 2009 (has links) (PDF) Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $Au = f$ mit Koeffizientenmatrix $A$, welche eine spezielle block-tridiagonale Struktur besitzt. Solche lineare Gleichungssysteme entstehen bei der Diskretisierung dreidimensionaler elliptischer Randwertprobleme mit 7- oder 27-Punkte-Stern. In geophysikalischen Anwedungen, insbesondere bei Aufgaben aus der Geoelektrik, haben die Randwertprobleme unstetige Koeffizienten und sind meistens auf nicht-uniformen Gittern diskretisiert. Klassische geometrische Mehrgitterverfahren konvergieren um so langsamer, je stärker die Koeffizientensprünge ausfallen. Außerdem kann die Konvergenz durch die Variation der Gitterabstände beeinträchtigt werden. Zur Lösung wird ein matrix-abhängiges Mehrgitterverfahren vorgestellt. Als Glätter wird eine unvollständige Block LU-Zerlegung verwendet. Die Gittertransferoperationen werden anhand der Einträge der Matrix $A$ ermittelt. Das resultierende Verfahren erweist sich als sehr robust, insbesondere wenn es als Vorkonditionierung für das Verfahren der konjugierten Gradienten eingesetzt wird. Lineares Gleichungssystem unvollständige LU-Zerlegung Mehrgitterverfahren Matrix-abhängiges Mehrgitterverfahren Matrix-abhängige Prolongation IBLU unvollständige Block-LU-Zerlegung Unvollständige Dreieckszerlegung ddc:510 rvk:SK 915
3	Rational Krylov Methods for Operator Functions Güttel, Stefan 26 March 2010 (has links) (PDF) We present a unified and self-contained treatment of rational Krylov methods for approximating the product of a function of a linear operator with a vector. With the help of general rational Krylov decompositions we reveal the connections between seemingly different approximation methods, such as the Rayleigh–Ritz or shift-and-invert method, and derive new methods, for example a restarted rational Krylov method and a related method based on rational interpolation in prescribed nodes. Various theorems known for polynomial Krylov spaces are generalized to the rational Krylov case. Computational issues, such as the computation of so-called matrix Rayleigh quotients or parallel variants of rational Arnoldi algorithms, are discussed. We also present novel estimates for the error arising from inexact linear system solves and the approximation error of the Rayleigh–Ritz method. Rational Krylov methods involve several parameters and we discuss their optimal choice by considering the underlying rational approximation problems. In particular, we present different classes of optimal parameters and collect formulas for the associated convergence rates. Often the parameters leading to best convergence rates are not optimal in terms of computation time required by the resulting rational Krylov method. We explain this observation and present new approaches for computing parameters that are preferable for computations. We give a heuristic explanation of superlinear convergence effects observed with the Rayleigh–Ritz method, utilizing a new theory of the convergence of rational Ritz values. All theoretical results are tested and illustrated by numerical examples. Numerous links to the historical and recent literature are included. rational Krylov operator functions decompositions approximations Rayleigh-Ritz method PAIN method hybrid methods error estimators inexact solves parallel rational Arnoldi parameter optimization potential theory superlinear convergence rationale Krylow-Verfahren Operatorfunktionen Krylow-Zerlegungen Krylow-Approximationen Rayleigh-Ritz Methode PAIN Methode hybride Krylow-Verfahren Fehlerschätzer inexakte Gleichungslöser Parallelisierung optimale Parameter Potenzialtheorie ddc:510 rvk:SK 620 rvk:SK 915

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