Zugl.: Bremen, Universiẗat, Diss., 2008.

Integrabilität hat sich als ein wichtiges Konzept erwiesen, um die Grenzen einer störungstheoretischen Beschreibung zu überwinden und ein tiefer gehendes Verständnis von speziellen vierdimensionalen Quantenfeldtheorien zu erlangen. Die der Integrabilität zugrunde liegende algebraische Struktur ist der Yangian, welchen man als eine unendlichdimensionale Erweiterung einer Lie-Algebra auffassen kann. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die Yang’sche Symmetrie von super Wilson Schleifen und Fischnetz Feynman Graphen. Im ersten Teil dieser Arbeit diskutieren wir Maldacena–Wilson Schleifen in N=4 SYM Theorie. Unter Ausnutzung der nicht-chiralen Superraumbeschreibung des N=4 SYM Modells konstruieren wir den supersymmetrisch vervollständigten Schleifenoperator, welcher dual ist zu einer durch den vollen AdS5xS5 Superstring beschriebenen Minimalfläche. Wir zeigen, dass dieser Schleifenoperator sowohl globale superkonforme als auch lokale kappa Symmetrie besitzt, wobei wir letztere zur 1/2 BPS Eigenschaft der bosonischen Maldacena–Wilson Schleife in Beziehung setzen. Weiterhin berechnen wir den Einschleifenerwartungswert des Operators und beweisen dessen Endlichkeit. Anschließend beschäftigen wir uns detailliert mit der Yang’schen Symmetrie von glatten super Maldacena–Wilson Schleifen. Wir untersuchen anhand einer generischen Eichtheorie die verschiedenen Möglichkeiten, die Yang’schen Generatoren zu realisieren und begründen unsere Wahl einer Darstellung in Form von eichkovarianten Operatoreinsetzungen. Unter Verwendung dieser Darstellung beweisen wir nachfolgend die Yang’sche Invarianz des vollen Einschleifenerwartungswertes der super Maldacena– Wilson Schleife. Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Fischnetz Feynman Graphen, welche aus viervalenten Vertizes bestehen, die durch skalare Propagatoren miteinander verbunden sind. Wir zeigen, dass diese Diagramme zu allen Schleifenordnungen eine konforme Yang’sche Symmetrie aufweisen und konstruieren explizit die Yang’schen Generatoren, die diese Diagramme vernichten. Für Vielschleifendiagramme gelingt uns Letzteres durch eine Umformulierung der Symmetrie in Form von Eigenwertgleichungen inhomogener Monodromiematrizen, aus deren Entwicklung sich die Generatoren ablesen lassen. Die Yang’sche Symmetrie impliziert, dass Fischnetz Integrale partielle Differenzialgleichungen erfüllen, deren Form wir anhand des Boxintegrals illustrieren. / Quantum integrability has turned out to be an important concept in overcoming the limitations of perturbation theory and reaching a more profound understanding of particular four-dimensional quantum field theories. The algebraic structure that underlies integrability in field and string theory is the Yangian, which can be understood as an infinite-dimensional extension of a Lie algebra. Here, we investigate the Yangian symmetry of super Maldacena–Wilson loops and fishnet Feynman graphs. In the first part of this thesis, we discuss Maldacena–Wilson loops in N=4 SYM theory. Utilizing the non-chiral superspace formulation of the N=4 SYM model, we construct the full supersymmetric completion of this operator, which is the natural object dual to a minimal surface described by the full AdS5xS5 superstring. We show that the super loop operator enjoys global superconformal as well as local kappa symmetry, the latter being related to the 1/2 BPS property of the bosonic Maldacena–Wilson loop. Using a convenient type of transversal gauge, we establish the operators one-loop expectation value and prove it to be finite. We then perform a detailed study of the Yangian symmetries of smooth super Maldacena–Wilson loops. Focusing on a generic gauge theory setup, we analyze in detail the different options for representing the Yangian generators and argue for a representation in terms of gauge-covariant operator insertions. Subsequently, we utilize this approach to prove the Yangian invariance of the full one-loop expectation value. The second part of this thesis is devoted to the study of four-dimensional fishnet Feynman graphs, which are built from four-valent vertices that are joined by scalar propagators. We show that these diagrams feature a conformal all-loop Yangian symmetry, which we phase in terms of generators annihilating these graphs as well as in terms of inhomogeneous monodromy eigenvalue relations. The Yangian symmetry results in novel differential equations for this family of largely unsolved Feynman integrals and we shall study their form by considering the box integral as an example.

In dieser Dissertation untersuchen und entwickeln wir neue Methoden, die dabei helfen sollen eine effektive semiklassische Beschreibung der kanonischen Loop-Quantengravitation und der Spinfoam-Gravitation zu bestimmen. Einer kurzen Einführung in die Loop-Quantengravitation folgen drei Forschungsartikel, die die Resultate der Doktorarbeit präsentieren. Im ersten Artikel behandeln wir das Problem der Zeit und einen neuen Vorschlag zur Implementierung von Eigenzeit durch Randbedingungen an Pfadintegrale: wir untersuchen eine konkrete Realisierung dieses Formalismus für die freie Skalarfeldtheorie. Im zweiten Artikel übersetzen wir semiklassische Zustände der linearisierten Gravitation in Zustände der Loop-Quantengravitation. Deren Eigenschaften deuten an, wie sich Semiklassizität im Loop-Formalismus manifestiert, and wie man dies benützen könnte, um semiklassische Entwicklungen herzuleiten. Im dritten Teil schlagen wir eine neue Formulierung von Spinfoam-Modellen vor, die vollständig Triangulierungs- und Hintergrund-unabhängig ist: mit Hilfe einer Symmetrie-Bedingung identifizieren wir Spinfoam-Modelle, deren Triangulierungs-Abhängigkeit auf natürliche Weise entfernt werden kann. / In this Ph.D. thesis, we explore and develop new methods that should help in determining an effective semiclassical description of canonical loop quantum gravity and spin foam gravity. A brief introduction to loop quantum gravity is followed by three research papers that present the results of the Ph.D. project. In the first article, we deal with the problem of time and a new proposal for implementing proper time as boundary conditions in a sum over histories: we investigate a concrete realization of this formalism for free scalar field theory. In the second article, we translate semiclassical states of linearized gravity into states of loop quantum gravity. The properties of the latter indicate how semiclassicality manifests itself in the loop framework, and how this may be exploited for doing semiclassical expansions. In the third part, we propose a new formulation of spin foam models that is fully triangulation- and background-independent: by means of a symmetry condition, we identify spin foam models whose triangulation-dependence can be naturally removed.

In der Z-Boson-Resonanzphysik sind mehrere Präzisionsobservablen in einem perfekten Zustand, bei dem die theoretische Unsicherheit niedriger ist als die gegenwärtige experimentelle Unsicherheit. Das Konzept für den zukünftigen Teilchenbeschleuniger Future Circular Collider (FCC), will eine Verbesserung der Messungen für die Präzisionsobservablen um ein bis zwei signifikante Stellen erreichen. Damit werden die Vorhersagen des elektroschwachen Standardmodells in eine Situation versetzt, in der vollständige Zweischleifenkorrekturen zusammen mit den führenden Dreischleifenkorrekturen obligatorisch werden. 2016 wurden die vollständigen Zweischleifenkorrekturen für den effektiven schwachen Mischungswinkel für die bottom Quarks sin^2/theta/^b_eff berechnet, indem die fehlenden bosonischen Zweischleifenkorrekturen bereitgestellt wurden. Dabei liegt die Schwierigkeit in der Berechnung der entsprechenden Zwei-Schleifen Vertex-Feynman-Integrale, die mehrere massive Teilchen einschließen. Gegenwärtig ist die analytische Rechnung der meisten dieser Integrale schwierig und deswegen werden rein numerische Techniken, mittels Sektorzerlegungsansatz und der Integralansatz nach Mellin-Barnes, angewandt. Es war bis vor kurzem nicht bekannt, wie Mellin-Barnes-Integraldarstellungen in den minkowskischen Integrationsgebieten numerisch behandelt werden können. Um dieses Problem anzugehen, stellen wir eine Vielzahl von ein- und mehrdimensionaler Techniken vor, die ein Teil des neuen Programms MBnumerics.m sind, welches in dieser Dissertation entwickelt wurde. Der Sektorzerlegungsansatz und der Integralansatz nach Mellin-Barnes sind zusammen ausreichend, um elektroschwache Zweischleifenkorrekturen für die Präzisionsobservablen der Annihilation von e^+e^- in zwei Fermionen in der Z-Bosonresonanz auszurechnen. Aktuell führt dies zu der genauesten Vorhersage für den effektiven elektroschwachen Mischungswinkel für bottom Quarks sin^2/theta/^b_eff = 0.232312. / In the Z-boson resonance physics several precision observables are in a perfect state, where the theory uncertainty is lower than the present experimental uncertainty. The ambitious concepts for the future collider, Future Circular Collider (FCC), aim for an improvement of measurements for the precision observables by one to two significant digits. This will put the Electroweak Standard Model predictions in a situation where complete two-loop corrections together with the leading three-loop corrections will become mandatory. The complete two-loop corrections for effective weak mixing angle for bottom quarks sin^2/theta/^b_eff were reported recently, by providing the missing bosonic two-loop corrections. The difficult task in this computation is the calculation of the corresponding two-loop vertex Feynman integrals which include several massive particles. At present the analytic evaluation for most of these integrals is out of reach and purely numerical techniques were applied. Only two methods, sector decomposition approach and the Mellin-Barnes integral approach, are known to extract infrared and ultraviolet singularities in a systematic way for a general Feynman integral with fully automatized algorithms. It was not known until recently how to treat Mellin-Barnes integral representations in Minkowskian regions numerically. To address this problem we introduce and discuss in detail a variety of one- and multi-dimensional techniques, which are part of a new program MBnumerics.m developed in this thesis work. Two techniques, sector decomposition and Mellin-Barnes integral approach, are together sufficient to treat electroweak two-loop corrections to the precision observables for the e^+e^- annihilation into two fermions at the Z-boson resonance. This leads to the most precise prediction at present for the effective weak mixing angle for bottom quarks: sin^2/theta/^b_eff=0.232312.

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