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La première partie concerne un problème de théorie des nombres, pour laquel nous développons une approche géométrique basé sur des outils provenant de la géométrie algébrique et de la géométrique combinatoire. Introduites par M. Kontsevich et D. Zagier en 2001, les périodes sont des nombres complexes obtenus comme valeurs des intégrales d'une forme particulier, où le domaine et l'intégrande s'expriment par des polynômes avec coefficients rationnels. La conjecture de périodes de Kontsevich-Zagier affirme que n'importe quelle relation polynomiale entre périodes peut s'obtenir par des relations linéaires entre différentes représentations intégrales, exprimées par des règles classiques du calcul intégrale. En utilisant des résolutions de singularités, on introduit une réduction semi-canonique de périodes en se concentrant sur le fait d'obtenir une méthode algorithmique et constructive respectant les règles classiques de transformation intégrale: nous prouvons que n'importe quelle période non nulle, représentée par une certaine intégrale, peut être exprimée sauf signe comme le volume d'un ensemble semi-algébrique compact. La réduction semi-canonique permet une reformulation de la conjecture de périodes de Kontsevich-Zagier en termes de changement de variables préservant le volume entre ensembles semi-algébriques compacts. Via des triangulations et méthodes de la géométrie-PL, nous étudions les obstructions de cette approche comme la généralisation du 3ème Problème de Hilbert. Nous complétons les travaux de J. Wan dans le développement d'une théorie du degré pour les périodes, basée sur la dimension minimale de l'espace ambiance nécessaire pour obtenir une telle réduction compacte, en donnant une première notion géométrique sur la transcendance de périodes. Nous étendons cet étude en introduisant des notions de complexité géométrique et arithmétique pour le périodes basées sur la complexité polynomiale minimale parmi les réductions semi-canoniques d'une période. La seconde partie s'occupe de la compréhension d'objets provenant de la géométrie algébrique avec une forte connexion avec la géométrique combinatoire, pour lesquels nous avons développé une approche dynamique. Les champs de vecteurs logarithmiques sont un outils algébro-analytique utilisés dans l'étude des sous-variétés et des germes dans des variétés analytiques. Nous nous sommes concentré sur le cas des arrangements de droites dans des espaces affines ou projectifs. On s'est plus particulièrement intéressé à comprendre comment la combinatoire d'un arrangement détermine les relations entre les champs de vecteurs logarithmiques associés: ce problème est connu sous le nom de conjecture de Terao. Nous étudions le module des champs de vecteurs logarithmiques d'un arrangement de droites affin en utilisant la filtration induite par le degré des composantes polynomiales. Nous déterminons qu'il n'existent que deux types de champs de vecteurs polynomiaux qui fixent une infinité de droites. Ensuite, nous décrivons l'influence de la combinatoire de l'arrangement de droites sur le degré minimal attendu pour ce type de champs de vecteurs. Nous prouvons que la combinatoire ne détermine pas le degré minimal des champs de vecteurs logarithmiques d'un arrangement de droites affin, en présentant deux pairs de contre-exemples, chaque qu'un d'eux correspondant à une notion différente de combinatoire. Nous déterminons que la dimension des espaces de filtration suit une croissance quadratique à partir d'un certain degré, en dépendant uniquement de la combinatoire de l'arrangement. A fin d'étudier de façon calculatoire une telle filtration, nous développons une librairie de fonctions sur le software de calcul formel Sage. / The first part concerns a problem of number theory, for which we develop a geometrical approach based on tools coming from algebraic geometry and combinatorial geometry. Introduced by M. Kontsevich and D. Zagier in 2001, periods are complex numbers expressed as values of integrals of a special form, where both the domain and the integrand are expressed using polynomials with rational coefficients. The Kontsevich-Zagier period conjecture affirms that any polynomial relation between periods can be obtained by linear relations between their integral representations, expressed by classical rules of integral calculus. Using resolution of singularities, we introduce a semi-canonical reduction for periods focusing on give constructible and algorithmic methods respecting the classical rules of integral transformations: we prove that any non-zero real period, represented by an integral, can be expressed up to sign as the volume of a compact semi-algebraic set. The semi-canonical reduction permit a reformulation of the Kontsevich-Zagier conjecture in terms of volume-preserving change of variables between compact semi-algebraic sets. Via triangulations and methods of PL–geometry, we study the obstructions of this approach as a generalization of the Third Hilbert Problem. We complete the works of J. Wan to develop a degree theory for periods based on the minimality of the ambient space needed to obtain such a compact reduction, this gives a first geometric notion of transcendence of periods. We extend this study introducing notions of geometric and arithmetic complexities for periods based in the minimal polynomial complexity among the semi-canonical reductions of a period. The second part deals with the understanding of particular objects coming from algebraic geometry with a strong background in combinatorial geometry, for which we develop a dynamical approach. The logarithmic vector fields are an algebraic-analytic tool used to study sub-varieties and germs of analytic manifolds. We are concerned with the case of line arrangements in the affine or projective space. One is interested to study how the combinatorial data of the arrangement determines relations between its associated logarithmic vector fields: this problem is known as the Terao conjecture. We study the module of logarithmic vector fields of an affine line arrangement by the filtration induced by the degree of the polynomial components. We determine that there exist only two types of non-trivial polynomial vector fields fixing an infinitely many lines. Then, we describe the influence of the combinatorics of the arrangement on the expected minimal degree for these kind of vector fields. We prove that the combinatorics do not determine the minimal degree of the logarithmic vector fields of an affine line arrangement, giving two pair of counter-examples, each pair corresponding to a different notion of combinatorics. We determine that the dimension of the filtered spaces follows a quadratic growth from a certain degree, depending only on the combinatorics of the arrangements. We illustrate these formula by computations over some examples. In order to study computationally these filtration, we develop a library of functions in the mathematical software Sage.

Das Ziel dieser Dissertation ist die Erforschung einer gewissen Invariante von Singularitäten über einem Grundkörper k von positiver Charakteristik. Sei x \in X ein singulärer Punkt auf einem k-Schema. Dann ist die lokale rigide Kohomologie im Grad i definiert als H^i_{rig, {x}}(X), also als die rigide Kohomologie von X mit Träger in der Teilmenge {x}. In Kapitel 2 zeigen wir, dass die lokale rigide Kohomologie tatsächlich eine Invariante ist. Das heißt: Sind x'' \in X'' und x \in X kontaktäquivalente singuläre Punkte auf k-Schemata, dann sind die Vektorräume H_{rig, {x}}(X) und H_{rig, {x''}}(X'') zueinander isomorph. Dieser Isomorphismus ist kompatibel mit der Wirkung des Frobenius auf der rigiden Kohomologie. In den Kapiteln 3 und 4 beschäftigen wir uns mit gewichtet homogenen Singularitäten von Hyperflächen. Der Hauptsatz des dritten Kapitels besagt, dass die lokale rigide Kohomologie einer solchen Singularität isomorph ist zu dem G-invarianten Teil von H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Hier bezeichnet \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k eine gewisse glatte projektive Hyperfläche und G ist eine endliche Gruppe, die auf der rigiden Kohomologie des Komplements wirkt. Dank einem Algorithmus von Abbott, Kedlaya und Roe ist es möglich, den Frobenius-Automorphismus auf H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}) annähernd zu berechnen. In Kapitel 4 formulieren wir eine Anpassung dieses Algorithmus, mithilfe derer Berechnungen auf dem G-invarianten Teil gemacht werden können. Der angepasste Algorithmus kann vollständig mithilfe gewichtet homogener Polynome formuliert werden, was für unsere Anwendungen sehr natürlich scheint. In Kapitel 5 formulieren wir einige Vermutungen und offene Probleme, die mit den Ergebnissen der früheren Kapitel zusammenhängen. / The goal of this thesis is to study a certain invariant of isolated singularities over a base field k of positive characteristic. This invariant is called the local rigid cohomology. For a singular point x \in X on a k-scheme, the i-th local rigid cohomology is defined as H^i_{rig, {x}}(X), the i-th rigid cohomology of X with supports in the subset {x}. In chapter 2 we show that the local rigid cohomology is indeed an invariant. That is: if x'' \in X'' and x \in X are contact-equivalent singularities on k-schemes, then the local rigid cohomology spaces H_{rig, {x}}(X) and H_{rig, {x''}}(X'') are isomorphic. The isomorphism that we construct is moreover compatible with the Frobenius action on rigid cohomology. In chapters 3 and 4 we focus our attention on weighted homogeneous hypersurface singularities. Our goal in chapter 3 is to show that for such a singularity, the local rigid cohomology may be identified with the G-invariants of a certain rigid cohomology space $H_{rig}(\Proj^{n-1}_k \setminus \widetilde{S}_{\infty}). Here \widetilde{S}_{\infty} \subset \Proj^{n-1}_k is a smooth projective hypersurface, and G is a certain finite group acting on the rigid cohomology of its complement. It is known that the rigid cohomology of a smooth projective hypersurface is amenable to direct computation. Indeed, an algorithm by Abbott, Kedlaya and Roe allows one to approximate the Frobenius on such a rigid cohomology space. In chapter 4 we will modify this algorithm to deal with the G-invariant part of cohomology. The modified algorithm can be formulated entirely in terms of weighted homogeneous polynomials, which seems natural for our applications. Chapter 5 is a collection of conjectures and open problems that are related to the earlier chapters.