As sequências espectrais foram criadas por Jean Leray num campo de concentração durante a Segunda Guerra Mundial motivado por problemas inerentes à Topologia Algébrica. Num primeiro momento, surge como uma ferramenta para auxiliar no cálculo da cohomologia de um feixe. Porém, Jean-Louis Koszul apresenta uma formulação puramente algébrica para tais sequencias, que consiste basicamente no cálculo da homologia de um complexo total associado a um complexo duplo. Concentraremos nosso trabalho nas definições e resultados que nos permitem demonstrar os seguintes resultados conhecidos da Álgebra usando sequências espectrais: o Lema dos Cinco, o Lema da Serpente, Balanceamento para o Funtor Tor, Mudança de Base para o Funtor Tor e o Teorema dos Coeficientes Universais. Apresentamos, ao final do trabalho, uma generalização que nos permite entender melhor os funtores derivados à esquerda: as Sequências Espectrais de Grothendieck. / Spectral sequences were created by Jean Leray in a concentration camp during World War II motivated by problems of Algebraic Topology. At first, it appears as a tool to assist in calculating the cohomology of a sheaf. However, Jean-Louis Koszul presents a purely algebraic formulation for these sequences, which basically consists in calculating a total of homology complex associated with a double complex. We will focus our work on the definitions and results that allow us to demonstrate known results of algebra using spectral sequences: The Five Lemma, The Snake Lemma, Balancing of functor Tor, Base Change for Tor and Universal Coefficient Theorem. We present, at the end of this work, a generalization that allows us to better understand the left derivative functors: the Spectral Sequence of Grothendieck.

Submitted by Pablo Gonzalez Pagotto null (pgp_2008@hotmail.com) on 2016-09-28T16:16:44Z No. of bitstreams: 1 final.pdf: 1327249 bytes, checksum: 26bc65e3566fd3813a93f271a02744c1 (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Grisoto (grisotoana@reitoria.unesp.br) on 2016-09-30T14:43:09Z (GMT) No. of bitstreams: 1 pagotto_pg_me_sjrp.pdf: 1327249 bytes, checksum: 26bc65e3566fd3813a93f271a02744c1 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-30T14:43:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 pagotto_pg_me_sjrp.pdf: 1327249 bytes, checksum: 26bc65e3566fd3813a93f271a02744c1 (MD5) Previous issue date: 2016-08-30 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / O objetivo principal deste trabalho é apresentar um estudo sobre Homologia de Espaços Fibrados, baseado no livro Elements of Homotopy Theory de G.W.Whitehead. O conceito de fibração apareceu em torno de 1930 e pode ser visto como uma extensão da teoria de fibrados. Existe uma sequência exata longa que relaciona os grupos de homotopia dos espaços base, total e da fibra de uma fibração. Porém, relacionar os grupos de homologia desses espaços é uma tarefa mais complicada. O caso geral é feito utilizando sequências espectrais. Porém, há casos particulares em que podemos obter relações sem utilizar a maquinaria das sequências espectrais. / The main goal of this work is to present a study on Homology of Fibre Spaces, based on the book of G.W. Whitehead: ``Elements of Homotopy Theory''. The concept of fibration appeared around 1930 and can be seen as an extension of the theory of bundles. There is a long exact sequence that relates the homotopy groups of the total, base and fiber spaces of a fibration. However, relating the homology groups of such spaces is more complicated. The general case is obtained using spectral sequences. Nevertheless there are particular cases where one can obtain such relations without the need of the machinery of spectral sequences. / FAPESP: 2013/22249-0

Thesis (Ph. D.)--University of Oregon, 2008. / Typescript. Includes vita and abstract. Includes bibliographical references (leaves 71-72). Also available online in Scholars' Bank; and in ProQuest, free to University of Oregon users.

viii, 57 p. : ill. A print copy of this thesis is available through the UO Libraries. Search the library catalog for the location and call number. / We introduce a new finite-complexity knot theory, the theory of plumbers' knots, as a model for classical knot theory. The spaces of plumbers' curves admit a combinatorial cell structure, which we exploit to algorithmically solve the classification problem for plumbers' knots of a fixed complexity. We describe cellular subdivision maps on the spaces of plumbers' curves which consistently make the spaces of plumbers' knots and their discriminants into directed systems. In this context, we revisit the construction of the Vassiliev spectral sequence. We construct homotopical resolutions of the discriminants of the spaces of plumbers knots and describe how their cell structures lift to these resolutions. Next, we introduce an inverse system of unstable Vassiliev spectral sequences whose limit includes, on its E ∞ - page, the classical finite-type invariants. Finally, we extend the definition of the Vassiliev derivative to all singularity types of plumbers' curves and use it to construct canonical chain representatives of the resolution of the Alexander dual for any invariant of plumbers' knots. / Committee in charge: Dev Sinha, Chairperson, Mathematics; Hal Sadofsky, Member, Mathematics; Arkady Berenstein, Member, Mathematics; Daniel Dugger, Member, Mathematics; Andrzej Proskurowski, Outside Member, Computer & Information Science

Thesis (Ph.D.)--Mathematics, Georgia Institute of Technology, 2008. / Committee Chair: Prof. Jean Bellissard; Committee Member: Prof. Claude Schochet; Committee Member: Prof. Michael Loss; Committee Member: Prof. Stavros Garoufalidis; Committee Member: Prof. Thang Le.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T21:02:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silveira_MarianaRodriguesda_D.pdf: 1531895 bytes, checksum: 3c73a8eb791483b1f0216d6f2627969b (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho, apresentamos um algoritmo para um complexo de cadeias C e sua diferencial dada por uma matriz de conexão _ que determina uma seqüência espectral associada (Er, dr). Mais especificamente, um sistema gerador de Er em termos da base original de C é obtido bem como a identificação de todas as diferenciais dr p : Er p ! Er p-r. Explorando a implicação dinâmica da diferencial não nula, mostramos a existência de um caminho unindo a singularidade que gera E0 p e a singularidade que gera E0 p-r no caso em que a conexão direta pelo fluxo não existe. Este caminho é composto pela justaposição de órbitas do fluxo e do fluxo reverso e prova ser importante em algumas aplicações / Abstract: In this work, we present an algorithm for a chain complex C and its di_erential given by a connection matrix _ which determines an associated spectral sequence (Er, dr). More specifically, a system spanning Er in terms of the original basis of C is obtained as well as the identi_cation of all di_erentials dr p : Er p ! Er p-r. In exploring the dynamical implication of a nonzero di_erential, we prove the existence of a path joining the singularities generating E0 p and E0 p-r in the case that a direct connection by a _ow line does not exist. This path is made up of juxtaposed orbits of the _ow and of the reverse _ow and which proves to be importantin some applications / Doutorado / Geometria e Topologia/Sistemas Dinamicos / Doutor em Matemática

O objetivo principal deste trabalho será apresentar um estudo detalhado dos espaços de configurações. Dissertaremos sobre: espaços de configurações clássicos, invariância do bordo, espaço de configurações para superfícies, fibração de Fadell e Neuwirth e espaços de configurações do espaço Euclideano, da esfera e do espaço projetivo complexo. / The main objective of this work will be to present a detailed study of the configuration spaces. We will study: classical configuration spaces, invariance of the boundary, configuration spaces of surfaces, Fadell and Neuwirth fibration and configuration spaces of the Euclidean space and spheres.

A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 &le; n &le; 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a &isin; F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b &isin; F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZFx)&sigma; F×)&sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 onde (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F×; &#8855; ZF×)/<a &#8855; b + b &#8855; a | a, b &isin; F×> e TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) se char(F) &ne; 2 e &mu; 2 &infin; (F) é finito e é TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×) &sigma; é definido por [a] &rarr; a &#8855; (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F. / The algebraic K-theory is a branch of algebra that associates to any ring with unit R a sequence of abelian groups called n-th K-groups of R. In 1970, Daniel Quillen gave a general definition of K-groups of any ring R using the +-construction of the classifying space BGL(R). On the other hand, if we consider a commutative ring R, we can define the Milnors K-groups, KMn (R), of R. Using the product of the Quillen and Milnors K-groups and their anti-commutative structure, we define a natural homomorphism tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): In this dissertation, we show that if R is a local ring with maximal ideal m such that R=m is infinite, then this map is an isomorphism for 0<= n<= 2. But in general tn is not injective nor is surjective. For example when n = 3, we know that t3 is not surjective and define the indecomposable part of K3(R) as the group Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Using some results about the homology of linear groups, in this dissertation we will prove the Bloch-Wigner exact sequence over infinite fields. This exact sequence gives us a precise description of the indecomposable part of the third K-group of an infinite field. THEOREM (Bloch-Wigner exact sequence). Let F be an infinite field and let p(F) be the pre-Bloch group of F, that is, the quotient group of the free abelian group generated by symbols [a], a &isin; F× - [1}, by the subgroup generated by the elements of the form [a][b]+ b/a][ 1-a-1/1-b-1]+ [1-a/1-b] with a; b &isin; F×, a =/ b. Then we have the exact sequence TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×)$sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 where (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F× &#8855; ZF×) / a &38855; b +b &#8855; a | a; b &isin; F× and TorZ1(&mu;(F);&mu;(F)) is the unique non trivial extension of Z=2Z by TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) if char(F) =/ 2 and &mu;2 &infin; is finite and is TorZ1 (&mu; (F);&mu; (F)) otherwise. The homomorphism p(F) &rarr; (F×ZF×)%sigma; is defined by [a] &rarr; a &#8855; (1-a). As it is shown, the study of the Bloch-Wigner exact sequence is also justified by the relation between the second and third K-group of a field F.

Submitted by Bruno Caldeira Carlotti de Souza null (brunoccarlotti@gmail.com) on 2017-03-02T01:45:21Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Bruno C. C. de Souza.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-03-07T18:32:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 souza_bcc_me_sjrp.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-07T18:32:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 souza_bcc_me_sjrp.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) Previous issue date: 2017-02-23 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo principal deste trabalho é apresentar detalhadamente um estudo sobre um critério, que aparece na referência Coincidence for maps of spaces with finite group action de D. L. Gonçalves, J. Jaworowski, P. L. Q. Pergher e A. Volovikov, para a existência de (H,G)-coincidências de aplicações cujo contradomínio é um CW-complexo finito Y de dimensão k e cujo domínio é um espaço X paracompacto, Hausdorff, conexo e localmente conexo por caminhos e munido de uma G-ação livre, de modo que exista um inteiro m tal que os grupos i-dimensionais de homologia de X sejam triviais nas dimensões 0<i<m e a cohomologia (m+1)-dimensional de G não seja trivial. Para a realização deste estudo foram necessários alguns resultados da teoria de cohomologia de grupos finitos, com ênfase em grupos de cohomologia periódica segundo a teoria de cohomologia de Tate, alguns resultados da teoria de fibrados e algumas noções da teoria de sequências espectrais cohomológicas. / The mais objective of this work is to present in detail a study about a criterion, which appears in the reference Coincidence for maps of spaces with finite group actions by D. L. Gonçalves, J. Jaworowski, P. L. Q. Pergher and A. Volovikov, for existence of (H,G)-coincidences of maps into a finite CW-complex Y with dimension k and whose domain is a paracompact, Hausdorff, connected and locally pathconnected space X with a free action of G, in a way that there exists an integer m such that the ith-homology group of X is trivial for 0<i<m and the (m+1)th-cohomology group of G is nontrivial. For the study of this criterion were needed some results of the theory of cohomology of finite groups, with emphasis on groups with periodic cohomology according to Tate cohomology theory, some results of the theory of fiber bundles and some notions of the theory of cohomological spectral sequences.

We study the K-theory and cohomology of spaces of aperiodic and repetitive tilings with finite local complexity. Given such a tiling, we build a spectral sequence converging to its K-theory and define a new cohomology (PV cohomology) that appears naturally in the second page of this spectral sequence. This spectral sequence can be seen as a generalization of the Leray-Serre spectral sequence and the PV cohomology generalizes the cohomology of the base space of a Serre fibration with local coefficients in the K-theory of its fiber. We prove that the PV cohomology of such a tiling is isomorphic to the Cech cohomology of its hull. We give examples of explicit calculations of PV cohomology for a class of 1-dimensional tilings (obtained by cut-and-projection of a 2-dimensional lattice). We also study the groupoid of the transversal of the hull of such tilings and show that they can be recovered: 1) from inverse limit of simpler groupoids (which are quotients of free categories generated by finite graphs), and 2) from an inverse semi group that arises from PV cohomology. The underslying Delone set of punctures of such tilings modelizes the atomics positions in an aperiodic solid at zero temperature. We also present a study of (classical and harmonic) vibrational waves of low energy on such solids (acoustic phonons). We establish that the energy functional (the "matrix of spring constants" which describes the vibrations of the atoms around their equilibrium positions) behaves like a Laplacian at low energy.