A K-teoria algébrica é um ramo da álgebra que associa para cada anel com unidade R, uma sequência de grupos abelianos chamados os n-ésimos K-grupos de R. Em 1970, Daniel Quillen dá uma definição geral dos K-grupos de um anel qualquer R a partir da +-construção do espaço classificante BGL(R). Por outro lado, considerando R um anel comutativo, obtém-se também a definição dos K-grupos de Milnor KMn (R). Usando o produto dos K-grupos de Quillen e Milnor e suas estruturas anti-comutativas, definimos o seguinte homomorfismo tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): Mostraremos nesta dissertação que se R é um anel local com ideal maximal m tal que R / m é um corpo infinito, então esse homomorfismo é um isomorfismo para 0 &le; n &le; 2. Em geral tn nem sempre é injetor ou sobrejetor. Por exemplo quando n = 3, sabe-se que t3 não é sobrejetor e definimos a parte indecomponível de K3(R) como sendo o grupo Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Usando alguns resultados de homologia dos grupos lineares, nesta dissertação mostraremos a existência da sequência exata de Bloch-Wigner para corpos infinitos. Esta sequência dá uma descrição explícita da parte indecomponível do terceiro K-grupo de um corpo infinito. TEOREMA (Sequência exata de Bloch-Wigner). Seja F um corpo infinito e seja p(F) o grupo de pre-Bloch de F, isto é, o grupo quociente do grupo abeliano livre gerado pelos símbolos [a], a &isin; F×, pelo subgrupo gerado por elementos da forma [a] - [b] + [b/a] - [1-a-1 /1-b-1] + [1-a /1-b] com a, b &isin; F× - {1}, a /= b. Então temos a sequência exata TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZFx)&sigma; F×)&sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 onde (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F×; &#8855; ZF×)/<a &#8855; b + b &#8855; a | a, b &isin; F×> e TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) ~ é a única extensão não trivial de Z=2Z por TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) se char(F) &ne; 2 e &mu; 2 &infin; (F) é finito e é TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) caso contrário. O homomorfismo p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×) &sigma; é definido por [a] &rarr; a &#8855; (1-a). O estudo da sequência exata de Bloch-Wigner é justificada pela relação entre o segundo e terceiro K-grupo de um corpo F. / The algebraic K-theory is a branch of algebra that associates to any ring with unit R a sequence of abelian groups called n-th K-groups of R. In 1970, Daniel Quillen gave a general definition of K-groups of any ring R using the +-construction of the classifying space BGL(R). On the other hand, if we consider a commutative ring R, we can define the Milnors K-groups, KMn (R), of R. Using the product of the Quillen and Milnors K-groups and their anti-commutative structure, we define a natural homomorphism tn : KMn (R) &rarr; Kn(R): In this dissertation, we show that if R is a local ring with maximal ideal m such that R=m is infinite, then this map is an isomorphism for 0<= n<= 2. But in general tn is not injective nor is surjective. For example when n = 3, we know that t3 is not surjective and define the indecomposable part of K3(R) as the group Kind3 (R) := coker (KM3 (R) &rarr; t3 K3(R)). Using some results about the homology of linear groups, in this dissertation we will prove the Bloch-Wigner exact sequence over infinite fields. This exact sequence gives us a precise description of the indecomposable part of the third K-group of an infinite field. THEOREM (Bloch-Wigner exact sequence). Let F be an infinite field and let p(F) be the pre-Bloch group of F, that is, the quotient group of the free abelian group generated by symbols [a], a &isin; F× - [1}, by the subgroup generated by the elements of the form [a][b]+ b/a][ 1-a-1/1-b-1]+ [1-a/1-b] with a; b &isin; F×, a =/ b. Then we have the exact sequence TorZ1 (&mu; (F), &mu; (F)) ~ &rarr; Kind3 (F) &rarr; p(F) &rarr; (F× &#8855; ZF×)$sigma; &rarr; K2(F) &rarr; 0 where (F× &#8855; ZF×)&sigma; := (F× &#8855; ZF×) / a &38855; b +b &#8855; a | a; b &isin; F× and TorZ1(&mu;(F);&mu;(F)) is the unique non trivial extension of Z=2Z by TorZ1 (&mu; (F); &mu; (F)) if char(F) =/ 2 and &mu;2 &infin; is finite and is TorZ1 (&mu; (F);&mu; (F)) otherwise. The homomorphism p(F) &rarr; (F×ZF×)%sigma; is defined by [a] &rarr; a &#8855; (1-a). As it is shown, the study of the Bloch-Wigner exact sequence is also justified by the relation between the second and third K-group of a field F.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campiknas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-17T15:05:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_EwertonRocha_M.pdf: 3301438 bytes, checksum: 3fe2a609518ad6e7e190afc243b53ea4 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Nesse trabalho, estudaremos o complexo de Morse-Witten via sequências espectrais, utilizando a matriz de conexão sobre z que codifica as orbitas de conexão do uso de Morse associado ao complexo. O algoritmo do Método da Varredura aplicado à matriz de conexão sobre z produz uma sequência espectral (Er; dr), que por sua vez nos fornece informações importantes sobre a dinâmica. Dada a necessidade de computarmos os geradores dos -modulos Erp,q e as diferencias drp,q da seqüência espectral, utilizamos o software Sweeping Algorithm,que calcula os Erp,q e drp,q de forma rápida e eficiente. Apresentamos uma forma de estender o complexo de Morse-Witten, conforme [BaC1] e [BaC]. Tal complexo apresenta informações entre pontos críticos não consecutivos, ate então não obtidas pelo complexo de Morse-Witten. Para esse complexo estendido temos também uma seqüência espectral associada, através da qual obtemos informações dinâmicas, conforme os trabalhos [BaC1] e [BaC] / Abstract: In this work, we study the Morse-Witten Complex via spectral sequences, using the connection matrix over z, which codi_es the connecting orbits of the Morse ow associated to the complex. The Sweeping Method algorithm applied to the connection matrix over z produces a spectral sequence (Er; rd), which in turn gives us important information on the dynamics. Given the need to compute the generators of Z-modules Erp,q and the diferentials drp,q of the spectral sequence, we use the software Sweeping Algorithm, calculates Erp,q and drp,q quickly and efficiently. We present a way to extend the Morse-Witten as [BaC1] and [BaC]. This complex exhibits information between non-consecutive critical points, not obtainable using the Morse-Witten complex. For this extended Morse Complex we also have an associated spectral sequence, whereby dynamical information is also obtained as in [BaC1] and [BaC] / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador: Jose Roberto de França Arruda / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecanica / Made available in DSpace on 2018-08-13T08:53:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Nascimento_RangelFerreirado_D.pdf: 7547341 bytes, checksum: 0793f0ff7763f81b44868f59db73aab6 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Esta tese estuda e investiga o problema de propagação de ondas em estruturas periódicas usando o método de elemento espectral, a relação entre a matriz dinâmica e a matriz de transferência é mostrada para alguns casos, tais como, viga, barra, placa de Levy e modelo de Minddlin Hermman. A partir destas teorias, o método de propagação de ondas usando um modelo de elementos finitos de uma fatia do guia de ondas, WFEM é apresentado e o problema de prever os modos de propagação e os números de onda correspondentes. O objetivo deste trabalho é mostrar que usando o método WFEM e uma fatia do guia de onda modelado com elementos finitos sólido é possível construir elementos finitos espectrais para ser usado em guias de ondas homogêneos sem precisar de malha de refinamento. Tais elementos podem ser usados para modelar guias de ondas com seção transversal constante. A matriz de rigidez dinâmica para o elemento de barra elementar e para o elemento de viga de Euler Bernoulli são obtidos usando a formulação espectral padrão e obtidas usando uma fatia do guia de onda modelado pelo método FEM, são mostrados resultados do método proposto. / Abstract: This thesis, studies and investigates wave propagation problem in periodic structures using the spectral element method, the relation between the dynamic matrix and the transfer matrix is shown for some cases, such as, beam, bar, Levy plate and Mindlin-Herrmann's model. From these theories, the Wave Finite Element Method, WFEM is presented and the problem of predicting the wave propagation modes and the respective wavenumbers. The purpose of this work is to show that using the WFEM method and a slice of the waveguide modeled with solid finite elements, it is possible to develop spectral finite elements to be used in long homogeneous waveguides without the need of mesh refinement. Such elements can be used to model waveguides with constant cross section and long spans. The dynamic stiffness matrix of a simple rod and Bernoulli Euler beam element obtained using the standard spectral formulation and obtained via the FEM model of a slice are shown to be similar, thus validating the proposed method. / Doutorado / Mecanica dos Sólidos e Projeto Mecanico / Doutor em Engenharia Mecânica

O objetivo principal deste trabalho será apresentar um estudo detalhado dos espaços de configurações. Dissertaremos sobre: espaços de configurações clássicos, invariância do bordo, espaço de configurações para superfícies, fibração de Fadell e Neuwirth e espaços de configurações do espaço Euclideano, da esfera e do espaço projetivo complexo. / The main objective of this work will be to present a detailed study of the configuration spaces. We will study: classical configuration spaces, invariance of the boundary, configuration spaces of surfaces, Fadell and Neuwirth fibration and configuration spaces of the Euclidean space and spheres.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T10:15:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lima_DahisyValadaodeSouza_D.pdf: 22146296 bytes, checksum: c88725de657b032422b9e4614ccd91a9 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O tema principal desta tese é o estudo de fluxos gradientes associados a campos vetoriais $-\nabla f$ em variedades fechadas, onde $f$ é uma função do tipo Morse, Morse circular e Morse-Bott. Para obter informações dinâmicas em cada caso, utilizamos ferramentas algébricas e topológicas, tais como sequências espectrais e matrizes de conexão. No contexto de Morse, consideramos um complexo de cadeias $(C,\Delta)$ gerado pelos pontos críticos de $f$ onde $\Delta$ conta (com sinal) o número de linhas do fluxo entre dois pontos críticos consecutivos. Uma análise via sequências espectrais $(E^{r},d^{r})$ é feita para se obter resultados de continuação global em superfícies. Nós relacionamos as diferenciais da $r$-ésima página de $(E^{r},d^{r})$ com cancelamentos dinâmicos entre pontos críticos. No caso de função de Morse circular $f:M \rightarrow S^{1}$, o método da varredura para um complexo de Novikov $(\mathcal{N},\Delta)$ associado $f$ e gerado pelos pontos críticos de $f$ é definido sobre o anel $\mathbb{Z}((t))$. Este método produz a cada etapa matrizes de Novikov. Provamos que a matriz final produzida pelo método da varredura tem entradas polinomiais, o que é surpreendente, já que as matrizes intermediárias podem ter séries infinitas como entradas. Apresentamos resultados que mostram que os módulos e diferenciais de uma sequência espectral associada a $(\mathcal{N},\Delta)$ podem ser recuperados através do método da varredura. Para fluxos gradientes associados a funções de Morse-Bott, as singularidades formam variedades críticas. Usamos a teoria do índice de Conley para obter uma caracterização do conjunto de matrizes de conexão para fluxos Morse-Bott. Obtemos resultados sobre o efeito no conjunto de matrizes de conexão causado por mudanças na ordem parcial e na decomposição de Morse de um conjunto invariante isolado / Abstract: The main theme in this thesis is the study of gradient flows associated to a vector field $-\nabla f$ on closed manifolds, where $f$ is either a Morse function, a circle-valued Morse function or a Morse-Bott function. In order to obtain dynamical information, we make use of algebraic and topological tools such as spectral sequences and connection matrices. In the Morse context, consider a chain complex $(C,\Delta)$ generated by the critical points of $f$, where $\Delta$ counts the number of flow lines between consecutive critical points with signs. A spectral sequence $(E^{r},d^{r})$ analysis is used to obtain results on global continuation of flows on surfaces. A link is established between the differentials on the $r$-th page of $(E^{r},d^{r})$ and cancellation of critical points. In the circle-valued Morse case $f:M \rightarrow S^{1}$, a sweeping algorithm for the Novikov chain complex $(\mathcal{N},\Delta)$ associated to $f$ and generated by the critical points of $f$ is defined over the ring $\mathbb{Z}((t))$. This algorithm produces at each stage Novikov matrices. We prove that the last Novikov matrix has polynomial entries which is quite surprising since the matrices in the intermediary stages may have infinite series entries. We also present results showing that the modules and differentials of the spectral sequence associated to $(\mathcal{N},\Delta)$ can be retrieved through the sweeping algorithm. For gradient flows associated to Morse-Bott functions, the singularities form critical manifolds. We use the Conley index theory for the critical manifolds in order to characterize the set of connection matrices for Morse-Bott flows. Results are obtained on the effects on the set of connection matrices caused by a change in the partial ordering and Morse decomposition of isolated invariant sets / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:09:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_EwertonRocha_D.pdf: 1632095 bytes, checksum: 5dc3208efc5649260ca62805c3e8e1b6 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nessa tese, apresentamos uma unificação da teoria das matrizes de transição algébrica, singular, topológica e direcional ao introduzir a matriz de transição (generalizada), a qual engloba todas as quatros citadas anteriormente. Alguns resultados de existência são apresentados bem como a verificação de que cada matriz de transição supracitada são casos particulares da matriz de transição (generalizada). Além disso, nós abordamos como as aplicações das quatros matrizes de transiçao, na teoria do índice de Conley, se traduzem para a matriz de transição (generalizada). Quando a matriz de transição (generalizada) satisfizer o requerimento adicional de cobrir o isomorfismo do índice de Conley F definido pelo fluxo, pode-se provar propriedades de existência e de conexão de órbitas. Essa matriz de transição com a propriedade de cobrir o isomorfismo F é definida como matriz de transição topológica generalizada e a utilizamos para obter conexões de órbitas num fluxo Morse-Smale sem órbitas periódicas bem como para obter conexões de órbitas numa continuação associada à sequência espectral dinâmica / Abstract: In this thesis, we present a unification of the theory of algebraic, singular, topological and directional transition matrices by introducing the (generalized) transition matrix which encompasses each of the previous four. Some transition matrix existence results are presented as well as the verification that each of the previous transition matrices are cases of the (generalized) transition matrix. Furthermore, we address how applications of the previous transition matrices to the Conley Index theory carry over to the (generalized) transition matrix. When this more general transition matrix satisfies the additional requirement that it covers flow-defined Conley-index isomorphisms, one proves algebraic and connection-existence properties. These general transition matrices with this covering property are referred to as generalized topological transition matrices and are used to consider connecting orbits of Morse-Smale flows without periodic orbits, as well as those in a continuation associated to a dynamical spectral sequence / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

There has been in the past ten to fifteen years a surge of activity concerning the cohomology of semi-direct product groups of the form $\mathbb{Z}^{n}\rtimes$G with G finite. A problem first stated by Adem-Ge-Pan-Petrosyan asks for suitable conditions for the Lyndon-Hochschild-Serre Spectral Sequence associated to this group extension to collapse at second page of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. In this thesis we use facts from integer representation theory to reduce this problem to only considering representatives from each genus of representations, and establish techniques for constructing new examples in which the spectral sequence collapses.

Spectral sequences were developed during the mid-twentieth century as a way of computing (co)homology, and have wide uses in both algebraic topology and algebraic geometry.  Grothendieck introduced in his Tôhoku paper the Grothendieck spectral sequence, which given left exact functors $F$ and $G$ between abelian categories, uses the right-derived functors of $F$ and $G$ as initial data and converges to the right-derived functors of the composition $G\circ F.$  This thesis focuses on instead constructing a spectral sequence that uses the derived functors of $G$ and $G\circ F$ as initial data and converges to the derived functors of $F.$ Our approach takes inspiration from the construction of the Eilenberg-Moore spectral sequence, which given a fibration of topological spaces can calculate the singular cohomology of the fiber from the singular cohomology of the base space and total space. The Eilenberg-Moore spectral sequence can be constructed through the use of differential graded algebras and their bar construction, since this defines a double complex for which the column-wise filtration of the corresponding total complex induces the spectral sequence. The correct analogue of this with respect to composite functors is the bar construction for monads. Specifically, we let $G$ have an exact left adjoint $H$, which makes $G\circ H$ into a monad. Then, we extend our adjunction so that the derived functor $RG$ has left adjoint $RH$ in the corresponding derived categories, making $RG\circ RH$ into a monad. This allows us to apply the bar construction in the derived category, but we show that there emerge issues in obtaining a double complex and subsequent total complex from this construction.  Additionally, we present the essential theory of spectral sequences in general, and of the Serre, Eilenberg-Moore and Grothendieck spectral sequences in particular. / Spektralsekvenser utvecklades under mitten av 1900-talet som ett verktyg för att beräkna (ko)homologi, och har många användningsområden inom både algebraisk topologi och algebraisk geometri. Grothendieck introducerade i sin Tôhoku-artikel Grothendieck-spektralsekvensen, som givet vänsterexakta funktorer $F$ och $G$ mellan abelska kategorier använder de högerderiverade funktorerna av $F$ och $G$ som initialdata och som konvergerar till de högerderiverade funktorerna av kompositionen $G\circ F$. Denna masteruppsats fokuserar på att istället konstruera en spektralsekvens som använder de deriverade funktorerna av $G$ och $G\circ F$ som initialdata och konvergerar till de deriverade funktorerna av $F$. Vår metod tar inspiration från konstruktionen av Eilenberg-Moore-spektralsekvensen, som givet en fibrering av topologiska rum kan beräkna den singulära kohomologin av fibern från den singulära kohomologin av basrummet och totalrummet. Eilenberg-Moore spektralsekvensen kan konstrueras genom användningen av graderade differentialalgebror och deras bar-konstruktion, eftersom detta definierar ett dubbelkomplex vars kolumnvisa filtrering av det resulterande totalkomplexet inducerar spektralsekvensen. Vad gäller kompositioner av funktorer så är den korrekta analogin till detta bar-konstruktionen för monader. Specifikt så låter vi $G$ ha en exakt vänsteradjungerad funktor $H$, vilket gör $G\circ H$ till en monad. Sedan utvidgar vi denna adjunktion sådant att den deriverade funktorn $RG$ har vänsteradjunkt $RH$ i den deriverade kategorin, vilket gör $RG\circ RH$ till en monad. Detta ger oss möjligheten att använda bar-konstruktionen i den deriverade kategorin, men vi visar att det uppstår problem när vi ska definiera ett dubbelkomplex och resulterande totalkomplex från denna konstruktion. Utöver detta så innehåller denna uppsats en genomgång av den viktigaste teorin om spektralsekvenser i allmänhet, och om Serre-, Eilenberg-Moore- och Grothendieck-spektralsekvensen i synnerhet.

We study relative homological algebra and relative Hochschild cohomology. We dualise the construction in [Cib+21b] for a ring extension B ⊆ A to construct a long nearly exact sequence for the relative Hochschild cohomology HH∗(A|B), the Hochschild cohomology HH∗(A) and the Hochschild cohomology HH∗(B,A). Parallel to this we also study corings and the associated Cartier cohomology and Hochschild cohomology. Given an A-coring C and its right algebra R we have induced maps ExtiA(M, N) → ExtiR(R⊗A M, R⊗A N) by the induction functor. We characterise the vanishing of the Hochschild cohomology of the coring in terms of these induced maps being isomorphisms for degrees greater than or equal to one.

The axiomatic theory of ` Zelazko defines a variety of general spectra where specified axioms are satisfied. However, there arise a number of spectra, usually defined for a single element of a Banach algebra, that are not covered by the axiomatic theory of ` Zelazko. V. Kordula and V. M¨uller addressed this issue and created the theory of regularities. Their unique idea was to describe the underlying set of elements on which the spectrum is defined. The axioms of a regularity provide important consequences. We prove that the set of Koliha-Drazin invertible elements, which includes the Drazin invertible elements, forms a regularity. The properties of the spectrum corresponding to a regularity are also investigated. / Mathematical Sciences / M. Sc. (Mathematics)