A dissertação tem como tema as álgebras de Lie. Especificamente álgebras de Lie semi-simples e suas propriedades . Para encontramos essas propriedades estudamos os conceitos básicos da teoria das álgebras de Lie e suas representações. Então fizemos a classificação dessas álgebras por diagramas de Dynkin explicitando quais os possíveis diagramas que são associados a uma álgebra de Lie semi-simples. Por fim, demonstramos vários resultados concernentes a essa classificação, dentre esses, o principal resultado demonstrado foi: os diagramas de Dynkin são um invariante completo das álgebras de Lie semi-simples / The dissertation has the theme Lie algebras. Specifically semi-simple Lie algebras and its properties. To find these properties we studied the basic concepts of the theory of Lie algebras and their representations. Then we did the classification by Dynkin diagrams of these algebras and explaining the possible diagrams that are associated with a semi-simple Lie algebra. Finally, we demonstrate several results related to this classification, among these, the main result demonstrated was: the Dynkin diagrams are a complete invariant of semi-simple Lie algebras

A dissertação tem como tema as álgebras de Lie. Especificamente álgebras de Lie semi-simples e suas propriedades . Para encontramos essas propriedades estudamos os conceitos básicos da teoria das álgebras de Lie e suas representações. Então fizemos a classificação dessas álgebras por diagramas de Dynkin explicitando quais os possíveis diagramas que são associados a uma álgebra de Lie semi-simples. Por fim, demonstramos vários resultados concernentes a essa classificação, dentre esses, o principal resultado demonstrado foi: os diagramas de Dynkin são um invariante completo das álgebras de Lie semi-simples / The dissertation has the theme Lie algebras. Specifically semi-simple Lie algebras and its properties. To find these properties we studied the basic concepts of the theory of Lie algebras and their representations. Then we did the classification by Dynkin diagrams of these algebras and explaining the possible diagrams that are associated with a semi-simple Lie algebra. Finally, we demonstrate several results related to this classification, among these, the main result demonstrated was: the Dynkin diagrams are a complete invariant of semi-simple Lie algebras

L’objet de cette thèse est l’étude de l’existence d’une quantification pour les sous-algèbres de Lie coisotropes des bigèbres de Lie. Une sous-algèbre de Lie coisotrope d’une bigèbre de Lie est une sous-algèbre de Lie qui est aussi un coidéal. Le problème de quantifications d’une sous-algèbre de Lie coisotrope fut posé par V. Drinfeld, lors de son étude de la quantification des espaces de Poisson homogènes G/C. Ces deux problèmes sont liés par le principe de dualité établi par N. Ciccoli et F. Gavarini. Dans cette thèse, nous cherchons à résoudre ce problème de quantification dans différents cadres. Premièrement, nous montrons qu’une quantification existe dans le cadre des bigèbres de Lie simple. Nous trouvons une quantification aux sous-algèbres de Lie coisotropes construites par M. Zambon. Puis nous établissons un lien entre ces quantifications et une classification des sous- algèbres coidéales à droite établie par I. Heckenberger et S. Kolb. Deuxièmement, nous trouvons une obstruction à la quantification universelle en utilisant une quantification d’ordre trois construite par V. Drinfeld. Nous montrons que cette obstruction disparait dans les exemples étudiés précédemment. Finalement, nous généralisons un résultat établi par P. Etingof et D. Kazhdan sur la quantification d’espaces de Poisson homogènes, liés aux sous-algèbres Lagrangiennes du double de Drinfeld. / The aim of this thesis is the study of quantization of coisotropic Lie subalgebras of Lie bialgebras.A coisotropic Lie subalgebra of a Lie bialgebra is a Lie subalgebra which is also a Lie coideal. The problem of quantization of coisotropic Lie subalgebra was set forth by V. Drinfeld, in his study of quantization of Poisson homogeneous spaces G/C. These problems are closely related to the duality principle established by N. Ciccoli and F. Gavarini.In this thesis, we search for an answer to this quantization problem in different settings. Firstly, we show that a quantization exists for simple Lie bialgebras by constructing a quantization of examples provided by M. Zambon. We then establish a link between the quantization which we constructed and a classification of subalgebras right coideals established by I. Heckenberger and S. Kolb. Secondly, we find an obstruction to the quantization in the universal setting by using a third-order quantization constructed by V. Drinfeld. We show that this obstruction vanishes in the examples studied earlier. Finally, we generalize a result of P. Etingof and D. Kazhdan on the quantization of poisson homogeneous spaces, linked to Lagrangian Lie subalgebras of Drinfeld's double.

Dans cette thèse je m'intéresse à des propriétés de rigidité de certaines constructions d'algèbres de von Neumann. Ces constructions relient la théorie des groupes et la théorie ergodique au monde des algèbres d'opérateurs. Il est donc naturel de s'interroger sur la force de ce lien et sur la possibilité d'un enrichissement mutuel dans ces différents domaines. Le Chapitre II traite des actions Gaussiennes. Ce sont des actions de groupes discrets préservant une mesure de probabilité qui généralisent les actions de Bernoulli. Dans un premier temps, j'étudie les propriétés d'ergodicité de ces actions à partir d'une analyse de leurs algèbres de von Neumann (voir Theorem II.1.22 et Corollary II.2.16). Ensuite, je classifie les algèbres de von Neumann associées à certaines actions Gaussiennes, à isomorphisme près, en montrant un résultat de W*-Superrigidité (Theorem II.4.5). Ces résultats généralisent des travaux analogues sur les actions de Bernoulli ([KT08,CI10,Io11,IPV13]).Dans le Chapitre III, j'étudie les produits libres amalgamés d'algèbres de von Neumann. Ce chapitre résulte d'une collaboration avec C. Houdayer et S. Raum. Nous analysons les sous-Algèbres de Cartan de tels produits libres amalgamés. Nous déduisons notamment de notre analyse que le produit libre de deux algèbres de von Neumann n'est jamais obtenu à partir d'une action d'un groupe sur un espace mesuré.Enfin, le Chapitre IV porte sur les algèbres de von Neumann associées à des groupes hyperboliques. Ce chapitre est obtenu en collaboration avec A. Carderi. Nous utilisons la géométrie des groupes hyperboliques pour fournir de nouveaux exemples de sous-Algèbres maximales moyennables (mais de type I) dans des facteurs II_1. / The purpose of this dissertation is to put on light rigidity properties of several constructions of von Neumann algebras. These constructions relate group theory and ergodic theory to operator algebras.In Chapter II, we study von Neumann algebras associated with measure-Preserving actions of discrete groups: Gaussian actions. These actions are somehow a generalization of Bernoulli actions. We have two goals in this chapter. The first goal is to use the von Neumann algebra associated with an action as a tool to deduce properties of the initial action (see Corollary II.2.16). The second aim is to prove structural results and classification results for von Neumann algebras associated with Gaussian actions. The most striking rigidity result of the chapter is Theorem II.4.5, which states that in some cases the von Neumann algebra associated with a Gaussian action entirely remembers the action, up to conjugacy. Our results generalize similar results for Bernoulli actions ([KT08,CI10,Io11,IPV13]).In Chapter III, we study amalgamated free products of von Neumann algebras. The content of this chapter is obtained in collaboration with C. Houdayer and S. Raum. We investigate Cartan subalgebras in such amalgamated free products. In particular, we deduce that the free product of two von Neumann algebras is never obtained as a group-Measure space construction of a non-Singular action of a discrete countable group on a measured space.Finally, Chapter IV is concerned with von Neumann algebras associated with hyperbolic groups. The content of this chapter is obtained in collaboration with A. Carderi. We use the geometry of hyperbolic groups to provide new examples of maximal amenable (and yet type I) subalgebras in type II_1 factors.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Dans ce travail, nous exploitons des propriétés déjà connues pour les systèmes de poids des représentations afin de les définir pour les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples, traitées individuellement, et nous étendons certaines de ces propriétés aux orbites des groupes de Coxeter non cristallographiques. D'abord, nous considérons les points d'une orbite d'un groupe de Coxeter fini G comme les sommets d'un polytope (G-polytope) centré à l'origine d'un espace euclidien réel à n dimensions. Nous introduisons les produits et les puissances symétrisées de G-polytopes et nous en décrivons la décomposition en des sommes de G-polytopes. Plusieurs invariants des G-polytopes sont présentés. Ensuite, les orbites des groupes de Weyl des algèbres de Lie simples de tous types sont réduites en l'union d'orbites des groupes de Weyl des sous-algèbres réductives maximales de l'algèbre. Nous listons les matrices qui transforment les points des orbites de l'algèbre en des points des orbites des sous-algèbres pour tous les cas n<=8 ainsi que pour plusieurs séries infinies des paires d'algèbre-sous-algèbre. De nombreux exemples de règles de branchement sont présentés. Finalement, nous fournissons une nouvelle description, uniforme et complète, des centralisateurs des sous-groupes réguliers maximaux des groupes de Lie simples de tous types et de tous rangs. Nous présentons des formules explicites pour l'action de tels centralisateurs sur les représentations irréductibles des algèbres de Lie simples et montrons qu'elles peuvent être utilisées dans le calcul des règles de branchement impliquant ces sous-algèbres. / In this work, we exploit properties well known for weight systems of representations to define them for individual orbits of the Weyl groups of simple Lie algebras, and we extend some of these properties to orbits of non-crystallographic Coxeter groups. Points of an orbit of a finite Coxeter group G are considered as vertices of a polytope (G-polytope) centered at the origin of a real n-dimensional Euclidean space. Products and symmetrized powers of G-polytopes are introduced and their decomposition into the sums of G-polytopes is described. Several invariants of G-polytopes are found. The orbits of Weyl groups of simple Lie algebras of all types are reduced to the union of orbits of the Weyl groups of maximal reductive subalgebras of the algebra. Matrices transforming points of the orbits of the algebra into points of subalgebra orbits are listed for all cases n<=8 and for many infinite series of algebra-subalgebra pairs. Numerous examples of branching rules are shown. Finally, we present a new, uniform and comprehensive description of centralizers of the maximal regular subgroups in compact simple Lie groups of all types and ranks. Explicit formulas for the action of such centralizers on irreducible representations of the simple Lie algebras are given and shown to have application to computation of the branching rules with respect to these subalgebras.

Cotutelle de thèse avec Université Paris Cité / Cette thèse s'inscrit dans le vaste domaine de la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres y étant reliées. Elle est divisée en trois sous-projets, tous motivés par des problèmes provenant de la théorie des systèmes intégrables quantiques et de l'étude des algèbres amassées. La thèse a donné lieu à deux articles publiés et à une prépublication. Le premier sous-projet s’intéresse à la structure algébrique d’une famille remarquable de systèmes physiques: les chaînes de spins XXZ périodiques. Le résultat central du sous-projet est la description explicite et totale de la structure de Jordan–Hölder de ces chaînes de spins pour une action naturelle des algèbres de Temperley–Lieb affines. D’autres résultats issus de ce sous-projet contiennent : une description explicite de la structure des modules projectifs de dimension finie du groupe quantique Uqsl2 (en q racine de l’unité) et une généralisation partielle de la célèbre dualité de Schur–Weyl quantique. Le second sous-projet s'intéresse à la construction de R-matrices pour la catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel d'une algèbre de lacets quantique arbitraire. Les résultats principaux du projet sont la définition d'un foncteur F inversible et exact liant la catégorie O de l'algèbre de Borel Uq(b) à celle de Uq'(b) (pour q'=1/q) avec la preuve que ce foncteur F intervertit les sous-catégories O^± de Hernandez–Leclerc (tout en étant compatible avec les produits tensoriels et la simplicité des modules). Ces résultats, qui répondent à une question de Hernandez–Leclerc, permettent de construire des R-matrices pour la sous-catégorie O^+ via des R-matrices ``duales" (définies récemment par Hernandez pour O^-) et peuvent servir à déduire de nouvelles relations pour l'anneau de Grothendieck de la catégorie O. Enfin, le dernier sous-projet introduit la notion d'inflations pour les représentations des algèbres affines quantiques décalées. Ces inflations, qui sont des préimages particulières pour certains foncteurs de restriction canoniques issus des inclusions de diagrammes de Dynkin, simplifient l'étude des modules sur les algèbres affines quantiques décalées et ont, via ce fait, plusieurs applications en théorie des systèmes intégrables. Le résultat principal de ce dernier sous-projet est un théorème d'existence pour les inflations d'objets simples de la catégorie O^sh en type A–B–G (ou en tout type pour les simples de dimension finie de cette catégorie). / This thesis falls within the study of the representation theory of quantum groups and of related algebras. It is divided into three subprojects, all motivated by problems arising from the theory of quantum integrable systems and the study of cluster algebras. The thesis has resulted in two published articles and one prepublication. The first subproject focuses on the algebraic structure of a remarkable family of physical systems: the periodic XXZ spin chains. The principal result of the subproject is the explicit and complete description of the Jordan–Hölder structure of these chains for a natural action of the affine Temperley–Lieb algebras. Other results from this subproject include an explicit description of the structure of finite-dimensional projective modules for the quantum group Uqsl2 (at q a root of unity) and a partial generalization of the quantum Schur-Weyl duality. The second subproject tackles the problem of constructing R-matrices for the category O associated to the Borel subalgebra of an arbitrary quantum loop algebra. The main results of the subproject are the definition of an exact invertible functor F linking the category O of the Borel algebra Uq(b) to that of Uq'(b) (for q'=1/q) with the proof that this functor interchanges the subcategories O^± of Hernandez–Leclerc (while being also compatible with tensor products and irreducibility). These results, which answer a question of Hernandez–Leclerc, enable the construction of R-matrices for the subcategory O^+ via ``dual'' R-matrices (in O^-) and allow the deduction of new relations for the Grothendieck ring of the category O. At last, the third subproject introduces the concept of inflations for representations of shifted quantum affine algebras. These inflations, which are special preimages for canonical restriction functors coming from Dynkin diagrams inclusions, simplify the study of modules over shifted quantum affine algebras and have, by this fact, many applications in the theory of integrable systems. The central result of this final subproject is an existence theorem for inflations of simple modules of the category O^sh in type A–B–G (or in any type for finite-dimensional simple modules of this category).