Much effort in recent times has been devoted to the study of low energy transport in multibody gravitational systems. Despite continuing advancements in computational abilities, such studies can often be demanding or time consuming in the three-body and four-body settings. In this work, the Hamiltonian describing the planar circular restricted three-body problem is rewritten for systems having small mass parameters, resulting in a 2D symplectic twist map describing the evolution of a particle's Keplerian motion following successive close approaches with the secondary. This map, like the true dynamics, admits resonances and other invariant structures in its phase space to be analyzed. Particularly, the map contains rotational invariant circles reminiscent of McGehee's invariant tori blocking transport in the true phase space, adding a new quantitative description to existing chaotic zone estimates about the secondary. Used in a patched three-body setting, the map also serves as a tool for investigating transfer trajectories connecting loose captures about one secondary to the other without any propulsion systems. Any identified initial conditions resulting in such a transfer could then serve as initial guesses to be iterated upon in the continuous system. In this work, the projection of the McGehee torus within the interior realm is identified and quantified, and a transfer from Earth to Venus is exemplified. / Master of Science / The transport of a particle between celestial bodies, such as planets and moons, is an important phenomenon in astrodynamics. There are multiple ways to mediate this objective; commonly, the motion can be influenced directly via propulsion systems or, more exotically, by utilizing the passive dynamics admitted by the system (such as gravitational assists). Gravitational assists are traditionally modelled using two-body dynamics. That is, a space- craft or particle performs a flyby within that body's sphere of influence where momentum is exchanged in the process. Doing so provides accurate and reliable results, but the design space effecting the desired outcome is limited when considering the space of all possibilities. Utilizing three-body dynamics, however, provides a significant improvement in the fidelity and variety of trajectories over the two-body approach, and thus a broader space through which to search. Through a series of approximations from the three-body problem, a discrete map describing the evolution of nearly Keplerian orbits through successive close encounters with the body is formed. These encounters occur outside of the body's sphere of influence and are thus uniquely formed from three-body dynamics. The map enables computation of a trajectory's fate (in terms of transit) over numerical integration and also provides a boundary for which transit is no longer possible. Both of these features are explored to develop an algorithm able to rapidly supply guesses of initial conditions for a transfer in higher fidelity models and further develop the existing literature on the chaotic zone surrounding the body.

Desenvolvemos um modelo na forma de um mapeamento bidimensional simplético (conservativo) para estudar a evolução das linhas de campo magnético de um plasma confinado no interior de um tokamak. Na primeira parte, consideramos dois perfis estudados na literatura para a densidade de corrente no plasma: um monotônico e um não-monotônico, que dão origem a diferentes perfis analíticos do fator de segurança. Nas simulações, consideramos inicialmente o sistema no equilíbrio, onde observamos, nas seções de Poincaré, apenas linhas invariantes. Em seguida, adicionamos uma perturbação (corrente externa), onde observamos cadeias de ilhas e caos no sistema. Na segunda parte consideramos um perfil também não-monotônico, mas com uma região na qual a densidade de corrente no plasma torna-se negativa, estudo ainda em aberto na literatura, que causa uma divergência no perfil do fator de segurança. Mesmo considerando o sistema apenas no equilíbrio, surgiram cadeias de ilhas muito pequenas em torno de curvas sem shear e caos localizado no sistema, característica não verificada para os outros perfis estudados no equilíbrio. Variando parâmetros relacionados à expressão da densidade de corrente, conseguimos controlar o aparecimento de regiões com cadeias de ilhas em torno de curvas sem shear e regiões caóticas. Para comprovar os resultados, aplicamos o perfil considerado a um outro mapa simplético da literatura (tokamap). Na parte final, consideramos a configuração do perfil do fator de segurança na forma de um divertor. Nessa configuração também temos uma divergência na expressão do perfil do fator de segurança. Observamos características similares (cadeias de ilhas em torno de curvas sem shear e caos) quando consideramos o perfil não-monotônico com densidade de corrente reversa. / We develop a symplectic (conservative) bidimensional map to study the evolution of magnetic field lines of a confined plasma in a tokamak. First, we considered two profiles for the plasma current density, studied in the literature: monotonic and non-monotonic, which give rise to different profiles for the poloidal magnetic field and different analytical profiles for the safety factor. In our simulations, we consider the system initially at equilibrium, where we observe, in Poincaré sections, only invariant lines. Then, we add a perturbation (external current), where we observe island chains and chaos in the system. In the second part, we consider a non-monotonic profile, but with a region which the current density becomes negative, which causes a divergence in the safety factor profile. Even considering only the sistem at equilibrium, very small island chains appeared around the shearless curves, and localized chaos. This feature was not observed for the other profiles at equilibrium. We can control the appearance of the regions with island chaind around the shearless curves and chaotic regions, by variation of parameters related to the density current expression. To comprove our results, we aplly the same profile to the other symplectic map. Finally, we consider a safety factor profile in a divertor configuration. We also have a divergence on in the safety factor profile. We observe similar features (island chains around shearless curves and localized chaos) when we consider a non-monotonic safety factor profile with a reversed density current.

Το κύριο στοιχείο της διατριβής είναι οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι είναι υβριδικά σχήματα που συνδυάζουν τους Εξελιτκικούς Αλγορίθμους με μεθόδους τοπικής αναζήτησης. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι συγκρίθηκαν με τους Εξελικτικούς Αλγορίθμους σε πληθώρα προβλημάτων ολικής βελτιστοποίησης και είχαν καλύτερα αποτελέσματα. Στο δεύτερο μέρος μελετήθηκαν προβλήματα μη γραμμικής δυναμικής. Αυτά ήταν η εκτίμηση της περιοχής ευστάθειας διατηρητικών απεικονίσεων, η ανίχνευση συντονισμών και ο υπολογισμός περιοδικών τροχιών. Τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά. / The main objective of the thesis was the study of Evolutionary Algorithms. At the first part, Memetic Algorithms were introduced. Memetic Algorithms are hybrid schemes that combine Evolutionary Algorithms and local search methods. Memetic Algorithms were compared to Evolutionary Algorithms in various problems of global optimization and they had better performance. At the second part, problems from nonlinear dynamics were studied. These were the estimation of the stability region of conservative maps, the detection of resonances and the computation of periodic orbits. The results were satisfactory.

Mapas simpléticos são bem conhecidos por preservarem o volume do espaço de fase em dinâmica Hamiltoniana e são particularmente apropriados para problemas que requerem longos tempos de integração. Nesta tese nós desenvolvemos abordagens baseadas em mapas simpléticos para o acoplamento de multi sub-sistemas/domínios astrofísicos/códigos de simulação, para integração eficiente de sistemas de N-corpos auto-gravitantes com grandes variações nas escalas de tempo características. Nós estabelecemos uma família de 48 novos mapas simpléticos baseados numa separação Hamiltoniana recursiva, que permite que o acoplamento ocorra de uma maneira hierárquica, contemplando assim todas as escalas de tempo das interações envolvidas. Nossa formulação é geral o suficiente para permitir que tal método seja utilizado como receita para combinar diferentes fenômenos físicos, que podem ser modelados independentemente por códigos especializados. Nós introduzimos também uma separação Hamiltoniana baseada em Hamiltonianos de Kepler, para resolver o problema gravitacional geral de N-corpos como uma composição de N2 problemas de 2-corpos. O método resultante é exato para cada problema de 2-corpos individual e produz resultados rápidos e precisos para sistemas de N-corpos quase- Keplerianos, como sistemas planetários ou um aglomerado de estrelas que orbita um buraco-negro supermassivo. O método é também apropriado para integração de sistemas de N-corpos com hierarquias intrínsecas, como um aglomerados de estrelas com binárias compactas. Nós apresentamos a implementação dos algoritmos mencionados e descrevemos o nosso código tupan, que está publicamente disponível na seguinte url: https://github.com/ggf84/tupan. / Symplectic maps are well know for preserving the phase space volume in Hamiltonian dynamics and are particularly suited for problems that require long integration times. In this thesis we develop approaches based on symplectic maps for the coupling of multi sub-systems/astrophysics domains/simulation codes for efficient integration of self-gravitating N-body systems with large variation in characteristic time-scales. We establish a family of 48 new symplectic maps based on a recursive Hamiltonian splitting, which allow the coupling to occur in a hierarchical manner, thus contemplating all time-scales of the involved interactions. Our formulation is general enough to allow that such method be used as a recipe to combine different physical phenomena which can be modeled independently by specialized simulation codes. We also introduce a Keplerian-based Hamiltonian splitting for solving the general gravitational Nbody problem as a composition of N2 2-body problems. The resulting method is precise for each individual 2-body solution and produces quick and accurate results for near-Keplerian N-body systems, like planetary systems or a cluster of stars that orbit a supermassive black-hole. The method is also suitable for integration of N-body systems with intrinsic hierarchies, like a star cluster with compact binaries. We present the implementation of the mentioned algorithms and describe our code tupan, which is publicly available on the following url: https://github.com/ggf84/tupan.

Mapas simpléticos são bem conhecidos por preservarem o volume do espaço de fase em dinâmica Hamiltoniana e são particularmente apropriados para problemas que requerem longos tempos de integração. Nesta tese nós desenvolvemos abordagens baseadas em mapas simpléticos para o acoplamento de multi sub-sistemas/domínios astrofísicos/códigos de simulação, para integração eficiente de sistemas de N-corpos auto-gravitantes com grandes variações nas escalas de tempo características. Nós estabelecemos uma família de 48 novos mapas simpléticos baseados numa separação Hamiltoniana recursiva, que permite que o acoplamento ocorra de uma maneira hierárquica, contemplando assim todas as escalas de tempo das interações envolvidas. Nossa formulação é geral o suficiente para permitir que tal método seja utilizado como receita para combinar diferentes fenômenos físicos, que podem ser modelados independentemente por códigos especializados. Nós introduzimos também uma separação Hamiltoniana baseada em Hamiltonianos de Kepler, para resolver o problema gravitacional geral de N-corpos como uma composição de N2 problemas de 2-corpos. O método resultante é exato para cada problema de 2-corpos individual e produz resultados rápidos e precisos para sistemas de N-corpos quase- Keplerianos, como sistemas planetários ou um aglomerado de estrelas que orbita um buraco-negro supermassivo. O método é também apropriado para integração de sistemas de N-corpos com hierarquias intrínsecas, como um aglomerados de estrelas com binárias compactas. Nós apresentamos a implementação dos algoritmos mencionados e descrevemos o nosso código tupan, que está publicamente disponível na seguinte url: https://github.com/ggf84/tupan. / Symplectic maps are well know for preserving the phase space volume in Hamiltonian dynamics and are particularly suited for problems that require long integration times. In this thesis we develop approaches based on symplectic maps for the coupling of multi sub-systems/astrophysics domains/simulation codes for efficient integration of self-gravitating N-body systems with large variation in characteristic time-scales. We establish a family of 48 new symplectic maps based on a recursive Hamiltonian splitting, which allow the coupling to occur in a hierarchical manner, thus contemplating all time-scales of the involved interactions. Our formulation is general enough to allow that such method be used as a recipe to combine different physical phenomena which can be modeled independently by specialized simulation codes. We also introduce a Keplerian-based Hamiltonian splitting for solving the general gravitational Nbody problem as a composition of N2 2-body problems. The resulting method is precise for each individual 2-body solution and produces quick and accurate results for near-Keplerian N-body systems, like planetary systems or a cluster of stars that orbit a supermassive black-hole. The method is also suitable for integration of N-body systems with intrinsic hierarchies, like a star cluster with compact binaries. We present the implementation of the mentioned algorithms and describe our code tupan, which is publicly available on the following url: https://github.com/ggf84/tupan.

Mapas simpléticos são bem conhecidos por preservarem o volume do espaço de fase em dinâmica Hamiltoniana e são particularmente apropriados para problemas que requerem longos tempos de integração. Nesta tese nós desenvolvemos abordagens baseadas em mapas simpléticos para o acoplamento de multi sub-sistemas/domínios astrofísicos/códigos de simulação, para integração eficiente de sistemas de N-corpos auto-gravitantes com grandes variações nas escalas de tempo características. Nós estabelecemos uma família de 48 novos mapas simpléticos baseados numa separação Hamiltoniana recursiva, que permite que o acoplamento ocorra de uma maneira hierárquica, contemplando assim todas as escalas de tempo das interações envolvidas. Nossa formulação é geral o suficiente para permitir que tal método seja utilizado como receita para combinar diferentes fenômenos físicos, que podem ser modelados independentemente por códigos especializados. Nós introduzimos também uma separação Hamiltoniana baseada em Hamiltonianos de Kepler, para resolver o problema gravitacional geral de N-corpos como uma composição de N2 problemas de 2-corpos. O método resultante é exato para cada problema de 2-corpos individual e produz resultados rápidos e precisos para sistemas de N-corpos quase- Keplerianos, como sistemas planetários ou um aglomerado de estrelas que orbita um buraco-negro supermassivo. O método é também apropriado para integração de sistemas de N-corpos com hierarquias intrínsecas, como um aglomerados de estrelas com binárias compactas. Nós apresentamos a implementação dos algoritmos mencionados e descrevemos o nosso código tupan, que está publicamente disponível na seguinte url: https://github.com/ggf84/tupan. / Symplectic maps are well know for preserving the phase space volume in Hamiltonian dynamics and are particularly suited for problems that require long integration times. In this thesis we develop approaches based on symplectic maps for the coupling of multi sub-systems/astrophysics domains/simulation codes for efficient integration of self-gravitating N-body systems with large variation in characteristic time-scales. We establish a family of 48 new symplectic maps based on a recursive Hamiltonian splitting, which allow the coupling to occur in a hierarchical manner, thus contemplating all time-scales of the involved interactions. Our formulation is general enough to allow that such method be used as a recipe to combine different physical phenomena which can be modeled independently by specialized simulation codes. We also introduce a Keplerian-based Hamiltonian splitting for solving the general gravitational Nbody problem as a composition of N2 2-body problems. The resulting method is precise for each individual 2-body solution and produces quick and accurate results for near-Keplerian N-body systems, like planetary systems or a cluster of stars that orbit a supermassive black-hole. The method is also suitable for integration of N-body systems with intrinsic hierarchies, like a star cluster with compact binaries. We present the implementation of the mentioned algorithms and describe our code tupan, which is publicly available on the following url: https://github.com/ggf84/tupan.

Desenvolvemos um modelo na forma de um mapeamento bidimensional simplético (conservativo) para estudar a evolução das linhas de campo magnético de um plasma confinado no interior de um tokamak. Na primeira parte, consideramos dois perfis estudados na literatura para a densidade de corrente no plasma: um monotônico e um não-monotônico, que dão origem a diferentes perfis analíticos do fator de segurança. Nas simulações, consideramos inicialmente o sistema no equilíbrio, onde observamos, nas seções de Poincaré, apenas linhas invariantes. Em seguida, adicionamos uma perturbação (corrente externa), onde observamos cadeias de ilhas e caos no sistema. Na segunda parte consideramos um perfil também não-monotônico, mas com uma região na qual a densidade de corrente no plasma torna-se negativa, estudo ainda em aberto na literatura, que causa uma divergência no perfil do fator de segurança. Mesmo considerando o sistema apenas no equilíbrio, surgiram cadeias de ilhas muito pequenas em torno de curvas sem shear e caos localizado no sistema, característica não verificada para os outros perfis estudados no equilíbrio. Variando parâmetros relacionados à expressão da densidade de corrente, conseguimos controlar o aparecimento de regiões com cadeias de ilhas em torno de curvas sem shear e regiões caóticas. Para comprovar os resultados, aplicamos o perfil considerado a um outro mapa simplético da literatura (tokamap). Na parte final, consideramos a configuração do perfil do fator de segurança na forma de um divertor. Nessa configuração também temos uma divergência na expressão do perfil do fator de segurança. Observamos características similares (cadeias de ilhas em torno de curvas sem shear e caos) quando consideramos o perfil não-monotônico com densidade de corrente reversa. / We develop a symplectic (conservative) bidimensional map to study the evolution of magnetic field lines of a confined plasma in a tokamak. First, we considered two profiles for the plasma current density, studied in the literature: monotonic and non-monotonic, which give rise to different profiles for the poloidal magnetic field and different analytical profiles for the safety factor. In our simulations, we consider the system initially at equilibrium, where we observe, in Poincaré sections, only invariant lines. Then, we add a perturbation (external current), where we observe island chains and chaos in the system. In the second part, we consider a non-monotonic profile, but with a region which the current density becomes negative, which causes a divergence in the safety factor profile. Even considering only the sistem at equilibrium, very small island chains appeared around the shearless curves, and localized chaos. This feature was not observed for the other profiles at equilibrium. We can control the appearance of the regions with island chaind around the shearless curves and chaotic regions, by variation of parameters related to the density current expression. To comprove our results, we aplly the same profile to the other symplectic map. Finally, we consider a safety factor profile in a divertor configuration. We also have a divergence on in the safety factor profile. We observe similar features (island chains around shearless curves and localized chaos) when we consider a non-monotonic safety factor profile with a reversed density current.

The escape of trajectories is a ubiquitous phenomenon in open dynamical systems and stochastic processes. If escape occurs repetitively for a statistical ensemble of trajectories, the population of remaining trajectories often undergoes an exponential decay characterised by the so-called escape rate. Its inverse defines the lifetime of the decaying state, which represents an intrinsic property of the system. This paradigm is fundamental to nucleation theory and reaction-rate theory in chemistry, physics, and biology.<p><p>In many circumstances, escape is activated by the presence of noise, which may be of internal or external origin. This is the case for thermally activated escape over a potential energy barrier and, more generally, for noise-induced escape in continuous-time or discrete-time dynamics. <p><p>In the weak-noise limit, the escape rate is often observed to decrease exponentially with the inverse of the noise amplitude, a behaviour which is given by the van't Hoff-Arrhenius law of chemical kinetics. In particular, the two important quantities to determine in this case are the exponential dependence (the ``activation energy') and its prefactor.<p><p>The purpose of the present thesis is to develop an analytical method to determine these two quantities. We consider in particular one-dimensional continuous and discrete-time systems perturbed by Gaussian white noise and we focus on the escape from the basin of attraction of an attracting fixed point.<p><p>In both classes of systems, using path-integral methods, a formula is deduced for the noise-induced escape rate from the attracting fixed point across an unstable fixed point, which forms the boundary of the basin of attraction. The calculation starts from the trace formula for the eigenvalues of the operator ruling the time evolution of the probability density in noisy maps. The escape rate is determined by the loop formed by two heteroclinic orbits connecting back and forth the two fixed points in a two-dimensional auxiliary deterministic dynamical system. The escape rate is obtained, including the expression of the prefactor to van't Hoff-Arrhenius exponential factor./L'échappement des trajectoires est un phénomène omniprésent dans les systèmes dynamiques ouverts et les processus stochastiques. Si l'échappement se produit de façon répétitive pour un ensemble statistique de trajectoires, la population des trajectoires restantes subit souvent une décroissance exponentielle caractérisée par le taux d'échappement. L'inverse du taux d'échappement définit alors la durée de vie de l'état transitoire associé, ce qui représente une propriété intrinsèque du système. Ce paradigme est fondamental pour la théorie de la nucléation et, de manière générale, pour la théorie des taux de transitions en chimie, en physique et en biologie.<p><p>Dans de nombreux cas, l'échappement est induit par la présence de bruit, qui peut être d'origine interne ou externe. Ceci concerne en particulier l'échappement activé thermiquement à travers une barrière d'énergie potentielle, et plus généralement, l'échappement dû au bruit dans les systèmes dynamiques à temps continu ou à temps discret.<p><p>Dans la limite de faible bruit, on observe souvent une décroissance exponentielle du taux d'échappement en fonction de l'inverse de l'amplitude du bruit, un comportement qui est régi par la loi de van't Hoff-Arrhenius de la cinétique chimique. En particulier, les deux quantités importantes de cette loi sont le coefficient de la dépendance exponentielle (c'est-à-dire ``l'énergie d'activation') et son préfacteur.<p><p>L'objectif de cette thèse est de développer une théorie analytique pour déterminer ces deux quantités. La théorie que nous présentons concerne les systèmes unidimensionnels à temps continu ou discret perturbés par un bruit blanc gaussien et nous considérons le problème de l'échappement du bassin d'attraction d'un point fixe attractif. Pour s'échapper, les trajectoires du système bruité initialement contenues dans ce bassin d'attraction doivent alors traverser un point fixe instable qui forme la limite du bassin.<p><p>Dans le présent travail, et pour les deux types de systèmes, une formule est dérivée pour le taux d'échappement du point fixe attractif en utilisant des méthodes d'intégrales de chemin. Le calcul utilise la formule de trace pour les valeurs propres de l'opérateur gouvernant l'évolution temporelle de la densité de probabilité dans le système bruité. Le taux d'échappement est déterminé en considérant la boucle formée par deux orbites hétéroclines liant dans les deux sens les deux points fixes dans un système dynamique auxiliaire symplectique et bidimensionnel. On obtient alors le taux d'échappement, comprenant l'expression du préfacteur de l'exponentielle de la loi de van't Hoff-Arrhenius. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished